很多人一提到数学就头疼,数学就像一个大魔王伴随小学、中学、直至大学毕业,好了!终于不用再学数学了。难道你真的能躲得开数学吗?每天早晨准时敲响的闹钟、每天出门乘坐的公交地铁、每天打卡上下班,数学的影子藏在我们生活的背后,几乎无处不在,并默默地支撑着我们的生活正常运转。

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(这样一个钟表,不计算一下还真不知道是几点了 图片来自网络)

很多人不喜欢数学,也许只是对它不够了解,其实我们的生活中存在着很多有意思的数学,只是你还没有发现。当然,很多人不喜欢数学应该也和我们的应试教育有关,很多数学老师都是一副严肃的面孔,每天都在用加减乘除、各种方程、非常枯燥的内容摧残着小朋友们幼小的心灵。还好小编在中学的时候遇到一位非常有意思的数学老师,将枯燥的内容讲的生动有趣,从那时起小编也开始慢慢喜欢上了数学。希望每一位学生都能遇到一位有意思的数学老师。

世间总是学生常有,而讲课有趣的数学老师不常用,此问题何解呢?以书为师,以书为友,看看那些书中有意思的数学知识,说不定从此你也能喜欢上数学。

有意思的数学题

(《思考的乐趣》内文插图)

文科背景的朋友们经常会问我一个问题:数学到底哪里有趣了,数学之美又在哪里?此时,我通常会讲一些简单而又深刻的算术游戏,让每个只会算术的人都能或多或少地体会到一些数学的美妙。如果你从小就被数学考试折磨,对数学一点好感都没有,那么这些内容会改变你的态度。

数字黑洞
任意选一个四位数(数字不能全相同),把所有数字从大到小排列,再把所有数字从小到大排列,用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作,7步以内必然会得到6174。不信你可以亲自动手试试。

唯一的解
经典数字谜题:用1到9组成一个九位数,使得这个数的第一位能被1整除,前两位组成的两位数能被2整除,前三位组成的三位数能被3整除,以此类推,一直到整个九位数能被9整除。

没错,真的有这样猛的数:381 654 729。其中3能被1整除,38能被2整除,381能被3整除,一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来,也可以利用计算机编程找到。

另一个有趣的事实是,在所有由1到9所组成的362 880个不同的九位数中, 381 654 729是唯一一个满足要求的数!

一个小魔术
在一张纸上并排画11个小方格,叫你的好朋友背对着你(让你看不到他在纸上写什么),在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第3个方格开始,在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第10个方格里的数。并告诉你第10个方格里的数是多少,将这个数乘以1.618得出的近似整数(四舍五入),就可得出你预测到的第11个格子里的数。你的朋友会非常惊奇地发现,把第11个方格里的数计算出来,所得的结果与你的预测一模一样!

其实,不管最初两个数是什么,按照这种方式加下去,相邻两数之比总会越来越趋近于1.618——这个数正是传说中的“黄金分割”。

选自《思考的乐趣》


图书ISBN码的神奇功能

大家一定都在书籍的背面看过ISBN码(国际标准书号)吧。ISBN的10个数字不但确认这本书是独一无二的,而且还能告诉我们这本书的出版国家及出版商。但是,这些还不是ISBN的全部功能,其本身还隐含了一个神奇功能。

假如我要订购一本书,知道它的ISBN码,但由于赶时间,在输入号码的时候不小心打错了。你大概认为我最后会收到另外一本书吧,但情况并不会这样,因为ISBN码有一种神奇的功能:它能自我检测到错误。下面,我们就来看一下它是如何做的。

以下是一些真实的ISBN号码,来自我最喜欢的几本书。 enter image description here

表字:ISBN digit-ISBN码, When multiplied-相乘之后,Total-总数

在每一位数字下面,我都将该数字与它所在位置的序号进行了乘法运算。第一位数字0乘以1,第二位数字5乘以2,第三位2乘以3,依次类推。然后,我再把所有这些结果相加,并把最后的总数放在每排的最后一个位置上。从中看出什么端倪了吗?我再多给出几个把真实的ISBN码进行上述运算后所得出的数字:264,99, 253。

现在看出来了吗?以上运算所得出的数字均能被11整除。这一点并不是什么离奇的巧合,而是得益于巧妙的数学设计。在ISBN码的10位数字中,只有前9位包含相应的书籍信息,之所以增加第10位数字,就是为了让经过上述运算所得出的数字能够被11整除。你或许注意到有些书的ISBN码上的第10位不是数字,而是字母X。例如,还有一本我很喜欢的书的ISBN码就是080501246X。这里的X所表示的其实是数字10(取自罗马数字)。在这种情况下,我们就要在上述相乘的结果中再加上一个10的平方,如此便可得到一个能被11整除的数字。

这样一来,如果我在输入ISBN码时输错了某几位数字,根据此序列计算出的数字便不能被11整除,于是,电脑便会提示输入错误,并引导我再输一遍。

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《世界是数字的》的ISBN码

中国现行出版的图书采用的是13位国际ISBN号,中国大陆地区的图书书号以978-7为开头。按如下方法计算:用1分别乘ISBN的前12位中的奇数位的数字(从左边开始数起),用3乘以偶数位的数字,将各个乘积之和相加,之后再加上第13位数字,将得到的结果除以10,看看是否除尽了呢?换本书试试是否也能除尽?

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选自《神奇的数学》


大家来解题

颠倒过来的年份

有些数字颠倒过来看是一样的:0、1、8。还有两个数字是成对出现的,一个数字是另一个的倒写:6、9。其余的数字2、3、4、5和7倒过来看不像数字。(当然,你可以把7写得潦草一些,使它倒过来像2,不过还是别这样写了。)将1691这个年份倒过来,读起来还是一样的。

过去离现在最近的哪一年,倒过来看是一样的年份?

未来的哪一年是下一个倒过来看一样的年份?

16根火柴

用16根火柴拼成5个大小相同的正方形。

要求只移动2根火柴,使正方形数目减为4个。所有火柴都必须用上,每根火柴都应是其中一个正方形的一部分。所有正方形的大小都必须相同。

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16根火柴拼成5个大小相同的正方形

吞咽的大象

大象总是穿粉红色裤子。
每种吃蜂蜜的动物都会吹风笛。
容易吞咽的动物都吃蜂蜜。
穿粉红色裤子的动物都不会吹风笛。
因此:
大象很容易吞咽。
这一推断是否正确?

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选自《数学万花筒2:五彩缤纷的数学问题及知识》


数字的精确度

数字中最重要的部分是指数。除此之外,第二重要的就是系数(与10的幂次相乘的那个数)的第一位数字了。系数中的第二位以及后面的位仅仅是用来对第一位稍作修正的。

系数的位数(也叫做“有效数字的个数”)表明了我们对该数了解的程度。例如,朋友告诉你开车的路线时,“向东行驶几十英里然后在Obscure胡同左拐”与“向东行驶25.2英里然后在Obscure胡同左拐”这两种说法差别很大。前一种说法很含糊且不准确,你可能想在12-36英里的某处找到Obscure胡同;如果没能找到左拐的地方,你可能会开出很远然后才掉头再次寻找。后一种说法就很精确了,你可以做好准备在25.1-25.3英里处找到Obscure胡同;即使错过了,你也会在开到26英里时及时掉转车头。第二种说法中的额外位数表明,你的朋友已经仔细地测量过这段距离了。

类似地,下面的故事表明,过度地追求精确也是愚笨的。假如你问博物馆的警卫某块恐龙的化石距今多少年了。他回答七千五百万零三年。看着你一脸狐疑的样子,他解释道,当他三年前来这里当警卫时,化石已经有七千五百万年历史了。

我们中的很多人在使用计算器时也会犯同样的错误。假设23.0加仑的汽油可以供我们行驶327英里。如果用327除以23,在计算器上会得到14.2173913…,但是这不能作为本题的答案。我们并没有把路程和油耗的数据精确到十亿分之一,因此答案不可能如此精确。则正确的油耗应该为327英里/23.0加仑≈14.2英里/加仑。 科学计算中有很多用于处理有效数字的法则。值得庆幸的是,大部分法则我们都不需要。

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选自《这也能想到?——巧妙解答无厘头问题 》


零的出现

在很早的时候,我们是以一种不稳定的方式进入数字之岛的。我们以为“1”是“数字字符表”的开始,并且它进一步引出了2,3,4,5等其他数字。这些数字的作用是,对那些真实存在的物体,如苹果、香蕉、梨等进行计数。直到后来,我们才学会,当盒子里边已经没有苹果时,如何计数里边的苹果数。

即使是那些推动科学和数学突飞猛进的古希腊人,以及因精湛的工程技术而名垂青史的罗马人,对于空盒子里边的苹果数也无能为力。他们无法给“没有”找个合适的名字,罗马人通过组合使用I,V,X,L,C,D以及M 来计数,但是0 在哪里呢?他们无法对“没有”计数。

使用符号表示“虚无”已经有了几千年的历史。玛雅文明(如今的墨西哥)已经以各种形式使用0。之后不久,受巴比伦文化的影响,天文学家托勒密在他的数字系统中使用一种类似于我们今天的0的符号作为占位符。作为占位符,这些0 被用来区分不同的例子(当代的记号),例如75 和705,而不像巴比伦人那样需要根据上下文关系来辨别。这就像语言中引入“逗号”一样——二者都是为了帮助人们正确地理解原意。但是,就像逗号的使用需要一系列的规则,0 的使用同样需要一些规则。

在7 世纪,印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta)将0 作为一个“数字”对待,而不仅仅是一个占位符,并且建立了一套使用规则。这些规则包括“正数和零相加的结果仍为正数”及“零和零相加仍得零”。在认为零是数字而不是占位符这一点上,他确实有了很大的进步。包含了0 的印度—阿拉伯数字系统最早是由比萨的列奥纳多(即斐波那契)于1202 年在他的Liber Abaci(《计算之书》)中发表的,随后在西方推广开来,在北非得到发展,并在印度—阿拉伯用于四则运算的教学中,他认识到了将0 与印度符号1、2、3、4、5、6、7、8 和9 组合运用的力量。

零进入数字系统也带来了一个问题,这个问题婆罗摩笈多曾简要提出过:究竟如何对待这个“闯入者”?他仅仅是开了个头,但是他的说法太含糊了。如何以一种更为精确的方式将零融入到现有的算术系统中呢?显然需要作一些调整。对于加法和乘法来说,0 的加入很容易,但是减法和除法操作对这个“外来者”似乎并不那么友好。需要有一些方法保证0 和已被接受的算术相协调。

没有0 将万事难行。科学的进步都依靠它。我们常谈论0 度经线,温度标尺上的0℃,以及类似的0 能量、0 重力等。这种思想同样进入了非科学的语言里,例如零时(发动进攻等的时刻)、零容忍(指对轻微过失都不予放过的严厉执法政策)。

不过它还有更多的用途。如果你从纽约的第五大道走进帝国大厦,你所在的华丽门厅是大厦第1 层。这里实际上利用了数字来排序,1 表示“第一”,2 表示“第二”等,直到102 代表“第一百零二”。在欧洲确实存在第0 层,只是大家不愿意这么叫。

没有0 就不成数学。它处在数学概念的最核心位置,使得数字系统、代数、几何得以成立。在数字序列中,0 将正数和负数区分开来,因此占据了一个享有特权的位置。在十进制系统中,0 作为占位符,使我们既可以使用很大的数,也可以使用很精微的数字。

经过了数百年的研究历程,0 已经被接受和使用,成为了人类最伟大的发明之一。19 世纪,美国数学家G.B. Halsted 改编了莎士比亚的《仲夏夜之梦》里的名言来描述它,称它是推动进步的发动机,不仅赋予了“虚无 缥缈,落脚的场所、名字、图形和符号,而且赋予它有益的力量,这正是印度民族自出现以来所表现的特征”。

当0 被引入时,必然会被认为是非常怪诞的。但是数学家们习惯于紧紧抓牢这些看似奇怪,而后又被证明十分有用的概念。在今天,相同的事情发生在集合论里(集合的概念是一组元素的聚集)。在这个理论中,∅ 代表集合中没有任何元素,称为“空集”。虽然看起来也是一个十分奇怪的思想,但是就像0 一样,它是不可或缺的。

选自《你不可不知的50个数学知识》


寻找恋人的思考题

假设现在必须有规律地服用一种胶囊,每4 天停用1 次。也就是3 天服用,1 天停用,3 天服用,1 天停用,按照这种周期循环服药,有难度吧?

灵机一动,妙法自然来。那就每天都吃药吧。只是,每4 粒中有1 粒是“没有药效”的假胶囊。事先准备好标有日期的盒子,并在其中放入每天需要服用的药,不是更好吗?

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事先将“假胶囊”放入标有日期的盒子里

这样一来,就无需判断“今天是服药日还是停药日”了。正因为有了“没有”药效的药,才形成了“每天服用1粒胶囊”的简单法则。

寻找恋人

在一个小王国中,有8 个村子(A ~ H)。如图所示,各个村之间有道路相连(黑点表示村子,线表示道路)。而你要寻找流浪在这个王国的你唯一的恋人。

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某个小王国的8个村子和道路

你的恋人住在这8 个村子中的某一个里。她每过1 个月便顺着道路去另一个村子,每个月都一定会换村子,然而选择哪个村子是随机的,预测不了。例如,如果恋人这个月住在G 村,那么下个月就住在“C、F、H 中的某个村子”。

目前你手头上掌握的确凿信息只有:1 年前(12 个月前),恋人住在G 村。请求出这个月恋人住在A 村的概率。

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选自《程序员的数学》


数学的意义

我们今天所拥有的数学根植于早期计数文化,其源头可追溯至大约公元前3000年。 当然,一开始时只是用来处理实际问题。 诸如市场商贸、税款支付、土地丈量、仰观星辰和历法设计等问题,都要应用到数字、计算和某些基础的几何知识。 但是到了大约一千年后,埃及人开始研究他们所使用的数字系统的性质,而不大考虑是否具有明显的应用价值。 他们还出于好奇心与智力上的愉悦感而创造数学谜题,就像我们今天享受报纸上的那些数独游戏一样。 数学开始关注自身,数学家由此而产生。

大约公元前500年时,古希腊人开始了大步前行,一种真正具有数学思想的文化繁荣发展起来。 他们的著作影响了其后的各个时代,直到今天仍为我们所研究。 数学被视为最高之美德,因而成为正统教育中的固有组成部分。 毕达哥拉斯(Pythagoras),柏拉图(Plato),阿基米德(Archimedes),欧几里得(Euclid),他们只是那些推崇数学并影响后世千百年的希腊先贤中的一部分代表人物而已。

基督教时代的前几个世纪是倒退时期,那些热衷于数学的人会发现他们被驱逐到了文化世界的边缘。 大约在公元400年时,希波的圣奥古斯丁(St Augustine of Hippo)提出,“一个好的基督徒应该提防数学家和那些作出空洞预言的人”,谴责他们签订了“与魔鬼之间的契约,去蒙昧人们的心灵,束缚处于地狱枷锁之中的人们”。 在那个年代里,与数学家这个词紧密联系在一起的,是占星术士的邪恶行径,人们认为数学在潜在意义上是邪恶的异端主张,这种猜忌使数学在很长时间里毫无进展。

在16世纪,哲学家弗朗西斯•培根(Francis Bacon)哀叹“纯粹数学之出色用途”仍未为人所知,不过有一件事标志着情况开始好转,伽利略(Galileo)获得了帕多瓦大学的数学教授职位。 伽利略与罗马天主教之间的冲突,即教廷对他的某些发现的抵制,表明对于数学以及数学与物理学和天文学之间联系的容忍仍是很有限的。 但是到了17世纪晚期,一场数学与科学的变革发生了,主角是伊萨克•牛顿(Issac Newton)和他的同时代者,他们永久性地改变了文化世界中的力量对比。 18世纪末和19世纪初的浪漫主义者可能会指责这种新的世界观,威廉•布莱克(William Blake)也许会嘲讽牛顿,但是作为科学的语言,数学已前途无忧。 19世纪中,我们目睹了数学在各地大学中确立地位,更见证了大批新颖而卓越的研究著述。 数学从此得到普遍认可。

关于数学有一种流行的争论,即,究竟是实际需求孕育了数学创造,还是新的数学知识给实际应用创造了机会。 从历史的角度来看,对实用性的考虑是数学发展的驱动力,但是当这门学问的内在生命开始萌发后,就会出现这样的可能性:“纯粹的”数学思维可以独自为新的应用创造空间。 好的数学基本上不会远离潜在的应用,但是你绝对不知道应用的时刻会在什么时候来到。 敏锐的洞见也许会在下个星期出现,但也可能沉寂达50年甚至500年之久。

在数学发展的历史长河中,遍布着纯数学理论找到实际应用的例子。 古希腊人建立了圆锥曲线的理论,后来人们发现,这正是17世纪时约翰尼斯•开普勒(Johannes Kepler)与伊萨克•牛顿断言行星以椭圆轨迹运行时所需要的工具。 多维数组的理论,“矩阵代数”,是在1850年代中为处理数学内部问题而建立起来的,而它恰好就是70年后快速发展的量子理论中的“矩阵力学”所需需要的。 而当乔治•布尔(George Boole)建立一个将逻辑转化为代数的系统时,他也绝对无法想到,他为一个世纪之后的计算机编程提供了一种语言。

就在50年前,富于影响力的英国数学家哈代(G。H。Hardy)还曾说,他在从事数学研究时不会受限于必须为其思想找到“实际用处”的想法。 事实上,令他感到欣慰的是,那时的数论仍是远离实际应用的。 但是今天,他可能已无法再称许这种隔离状态,因为在这个世界中,他的纯数学对于计算机安全领域来说具有极其重要的意义(见“我们能创造一种不可破解的密码吗?”和“还有什么未解之谜吗?”)。 今天我们有很多种关于维度的理论,但是当曼德尔布罗特(Benoît Mandelbrot)在1970年代中致力于“分形”研究时,大概很少有人会猜测出它们的潜在应用(见“为什么三维还不够用?”)。

但是数学家确实也是在意需求的。 在18世纪中,詹姆斯•瓦特遇到了如何将蒸汽机中活塞的直线运动转化为旋转运动的问题,其结果是工业革命期间诞生了几何联动理论。 当第二次世界大战中需要密码破解者时(见“我们能创造一种不可破解的密码吗?”),拥有专业才能的数学家从各大学应征而来,结果是世界上第一台电子计算机的建成。

因此,纯粹数学与应用数学之间始终保持着一种共生关系,在电子时代,这一点更是显得格外真实。 没有数学,就不可能有计算机,数字摄影技术根本不会出现,手机也只是凭空幻想。 但是今天,职业数学家的“纯粹”研究也将大大受益于计算机的计算能力:这次轮到“应用数学”反哺“纯粹数学”了。

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选择《影响数学发展的20个大问题》


这个墓穴埋葬着丢番图

在很多个世纪以前的古亚历山大,一位老人埋葬了自己的儿子。这位心碎的老人为了转移自己的悲伤,开始整理大量的代数问题,并将这些问题及其解法汇编成书,取名《算术》(Arithmetica)。这些就是人们对亚历山大的丢番图几乎所有的了解,而这些了解绝大多数来自其好友在他去世后不久所写的一个谜题:1

行人啊,请稍驻足,这里埋葬着丢番图。上帝赋予他一生的六分之一,享受童年的幸福;再过十二分之一,两颊长胡;又过了七分之一,燃起结婚的蜡烛。爱子的降生盼了五年之久,可怜那迟来的儿郞啊,只活到父亲岁数的一半,便进入冰冷的坟墓。悲伤只有通过数学来消除,四年后,他自己也走完了人生旅途。2

1 托马斯·希恩,Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra,second edition(Cambridge University Press,1910,Dover Publications,1964),3。

2 Greek Mathematical Works II: Aristarchus to Pappus of Alexandria(Loeb Classical Library No. 362),由Ivor Thomas翻译(Harvard University Press,1941),512–3。

这篇墓志铭对丢番图儿子的死亡说得不是很清楚。其中提到,他只活到了“父亲岁数的一半”,但这是指儿子死时父亲年龄的一半,还是指他父亲寿命的一半?不论怎样理解,都可以解答。但如果是后一种理解“只活到他父亲寿命的一半”,我们得出的岁数会是一个漂亮而又简洁的整数。

我们假设丢番图的寿命为x。丢番图生命中每个时期的年数要么是他寿命的几分之几(例如,x除以6是他的童年时光),要么是一个整数(例如,从他结婚到儿子出生有5年的时光)。丢番图生命中所有时期的年份之和为x,所以这个谜题可以用下面这个简单的代数式来表示:

所有分母的最小公倍数是84,将等号两边同时乘以84得到:

14x + 7x +12x + 420 + 42x + 336 = 84x

分别整理带有x的项和常数项,得到:

84x - 14x - 7x -12x - 42x = 420 + 336

即:

9x = 756

方程的解是:

x = 84

所以,丢番图的童年时光是14年,7年后他长大成人。又过了12年,在33岁的时候,他结了婚,5年后有了儿子。儿子死于42岁,丢番图当时80岁,4年后丢番图去世。

事实上,有一个更快捷的方法来解这个谜题:如果深入探索出题人的内心想法,你就会发现他并不想用分数来增加麻烦。丢番图寿命的“十二分之一”和“七分之一”必然是整数,所以他的寿命年数一定可以被7和12整除(自然也会被2和6整除)。只需将12乘以7就能得到84。这个看起来也像是合适的高龄岁数,所以它极有可能是对的。

丢番图去世时也许是84岁,但是对于历史来说,更重要的问题是找到具体时间。人们曾经猜测,丢番图的时代是在公元前150年到公元280年之间3,那是一个令人向往的时期。这样的话,丢番图就活在欧几里得(活跃在约公元前295年4)和埃拉托色尼(约公元前276—前195年)等早期亚历山大数学家们之后,这也说明他与亚历山大的海伦(活跃在公元62年)处于同一时期。海伦的著作涉及了力学、气体力学以及自动控制,他似乎还发明了一种原始蒸汽机。丢番图也许还认识那位凭著作《天文学大成》而被世人铭记的亚历山大天文学家托勒密(约公元100—170)。那本书包含了世界上第一个三角函数表,并且建立了直到十六七世纪哥白尼革命时才被推翻的描述天体运动的数学。

3 这些日期来自Simon Hornblower and Antony Sprawforth,eds.,Oxford Classical Dictionary,revised third edition(Oxford University Press,2003),483。

4 这些亚历山大数学家们的生活年代来自Charles Coulston Gillispie,ed.,Dictionary of Scientific Biography (Scribners,1970)。

不幸的是,丢番图也许从未见过这些亚历山大的数学家和科学家们。过去一百多年来,古典学者们之间的共识是,丢番图大约活跃在公元250年,他现存的主要著作《算术》很可能也追溯到那个时期。这样的话,丢番图的出生时间大概是在托勒密去世时间的前后。曾经编辑了权威的希腊版《算术》(1893~1895年出版)的保罗·塔纳里注意到,这本书写着献给“尊敬的狄奥尼修”。虽然这是一个常用名,但塔纳里猜测,这个狄奥尼修就是那个曾在公元232~247年担任亚历山大传道学校校长,以及之后在公元248~265年担任亚历山大主教的狄奥尼修。因此,丢番图可能是个基督徒。5如果是这样,下面这一事实就有点讽刺意味了:对《算术》的一个早期但遗失了的评注是由塞翁的女儿希帕蒂亚(约公元370—415)所写的,她是亚历山大最后一位伟大的数学家,后来被一帮反对她“异教徒”哲学思想的基督教暴徒杀害。

5 希恩,Diophantus of Alexandria,2,note 2。希恩本人好像也对此持怀疑态度。

古希腊数学家在几何学和天文学领域一直是最强的。丢番图在种族上是希腊人,但与众不同的是,他用“数字的科学”,即我们所知的代数,来缓解儿子去世的悲痛。他似乎是代数上很多创新的源头,包括他在问题中使用的符号和缩写,这标志着数学问题从文字描述到现代代数表示法的转变。

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选自《图灵的秘密》

其实数学真的没那么可怕,那些存在于生活中的数学趣事,那些存在于生活背后的数学原理,当你真的去了解它的时候,你会发现数学的世界是那么的多彩和美丽。