《600个世界著名数学征解问题》（冯贝叶编译，哈尔滨工业大学出版社，2017 年 1 月第 1 版）第 2 章第 34 题：

B-2-34. (AMM E1844) 在平面上是否存在三个点 A, B, C 使得对平面上任意一点 P，距离 PA, PB, PC 不都是有理数。

注：原文是“都不是”，有误。

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书上的答案：

解        存在。
设 A = (0, 0), B = (√2, 0), C = (π, 0), P = (x, y)，如果距离 PA, PB, PC 都是有理数，那么
       ¹/₂ (PA² - PB² + 2) = √2x
和   PA² - PC² = 2πx - π²
也都是有理数，由此可以推出 π 是代数数，矛盾。因此 A, B, C 就是满足要求的三个点。

注：原文是“也都是无理数”，有误。

解答中隐含地利用了以下定理：

定理1   代数数系数多项式方程的根都是代数数。

书上的答案后面还有使用小字号排版的以下内容：

注       (1) 如果把上面证明中有理数都换成代数数，那么证明仍然成立，因此结论可加强为平面上存在三个点 A, B, C，使得对平面上任意一点 P，距离 PA, PB, PC 不可能都是代数数。
(2) 不仅在平面中，在一般的 Hilbert 空间中，这一结论仍然成立。设 A 和 B 是两个固定点，C 是它们的中点，P 是任意一点，那么由平行四边形定律可知
AB² = 2 PA² + 2 PB² - 4 PC²
取 AB = ，那么 PA, PB, PC 不可能都是有理数。

此外，如果取 AB = π，那么 PA, PB, PC 不可能都是代数数。

这里的平行四边形其中三个顶点是 P, A, B，平行四边形的相关性质（第 1 条就是平行四边形定律）：

• 平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和
• 平行四边形的两条对角线互相平分
• 平行四边形的对边长度相等

我有以下问题：

C-1. 对于平面上的两个点 A = (0, 0) 和 B = (π, 0)，是否存在一点 P，使得距离 PA, PB 都是代数数？

C-2. 在平面上是否存在两个点 A, B 使得对平面上任意一点 P，距离 PA, PB 不都是有理数？

参考资料

1. Wikipedia: Algebraic number: The field of algebraic numbers
2. Wikipedia: Transcendental number
3. Wikipedia: Hilbert space
4. Wikipedia: Parallelogram
5. Wikipedia: Parallelogram law