第 1 章 什么是数学?

第 1 章 什么是数学?

中学将所有的时间都用在数学内容的教授上,重点讲如何学习和应用不同的套路解决数学问题,却很少(如果还有的话)花时间尝试去向学生传递数学是什么。这有点像用执行一系列传球使球进门来描述足球。两者都精确地描述了不同的关键特征,但它们都忽略了整体是什么及其来龙去脉。

在了解了课程要求后,我能够理解为什么会这样,但我认为这是错的。尤其是在今天,对数学的性质、外延、能力和局限有一个一般性的认识,这对任何公民都是有用的。1多年来,我遇到过许多人,他们都拥有与数学紧密相关的专业的毕业证书,例如工程、物理、计算机科学甚至数学专业。这些人告诉我,直到完成所有中学和大学教育,他们对现代数学构成的概况都没有很好的了解。直到后来,他们时不时地在生活中瞥见这门学科的真实本质,才开始领会到,数学已渗透进现代生活的方方面面。2

1如果你对此还没有概念,请返回阅读本书的导论。这对理解本章及全书都很关键。

2参见上一条脚注。

1.1 不止是算术

今天,在科学与工程中所用到的大多数数学,它们的历史都没有超过三四百年,许多还不到一百年。然而,常规中学必修课中所包含的数学的历史至少都有那么久了,有些甚至已经超过两千年!

教那么旧的东西并没有什么错。俗话说得好,没坏就别修。代数(“algebra”一词来自阿拉伯语“al-jabr”,意为“复位”或者“碎片重拼”)是由 8、9 世纪的阿拉伯商人为了提高他们的商业交易效率而发展起来的。尽管现在我们是在电子表格宏命令中应用代数,而不是像在中世纪那样用掰手指计算,但代数依然和当时(8、9 世纪)一样重要和有用。不过,时代在推移,社会也在发展。在这个过程中,对新数学的需求产生了,并且需求及时地得到了满足。教育也需要跟上步伐。

可以说,数学是从数与算术的发明开始的。人们相信,大约在一万年前,随着货币的诞生,就有了它。(是的,它的起源显然与钱有关!)

接下来的几个世纪,古埃及人和古巴比伦人扩充了这门学科,把几何和三角学也纳入了进来。3在那些文明中,数学大多是很实用的,很像一本“烹饪书”。(“对一个数或者一个几何图形这样做,然后这样做,你就会得到答案。”)

3其他文明也发展了数学,例如中国和日本。不过那些文明的数学看起来对现代西方数学并没有直接影响,所以我不会在本书中谈论它们。

公元前 500 年至公元 300 年这段时间是古希腊数学时期。古希腊数学家相当注重几何。事实上,他们用几何的方法处理数,把它们看作长度的测量值。而当他们发现存在一些他们的数所无法对应的长度时(实质上是发现了无理数),他们对数的研究基本走到了尽头。4

4有一个被反复提及的故事,说有一位年轻的希腊数学家发现有一些长度无法用希腊人已有的数表示,人们唯恐这个糟糕的消息走漏便把他投入大海淹死。据我所知,没有证据支持这个不现实的传说。这很可惜,因为它的确是一个好故事。

实际上,古希腊人使数学变成了一个研究领域,而不仅仅是一系列测量、计数以及会计的技术。公元前 500 年左右,米利都(现在是土耳其的一部分)的泰勒斯引入了这样的思想:精确表达的数学论断能够通过形式化的论证符合逻辑地加以证明。这个创新的思想标志着定理的诞生,而定理是当今数学的基石。欧几里得的《几何原本》的出版,使古希腊人的这套形式化方法达到了巅峰。据说这本书是一直以来仅次于《圣经》的、流传最广的书。5

5考虑到今天规模庞大的大众平装书,“流传广”的定义大概需要包含这本书流传的年数。

大体上,中学数学就是以我在上面列出的所有发展为基础,再加上两个来自 17 世纪的进展:微积分和概率论。实际上,最近三百年的数学根本没有走进中学课堂。然而,当今世界上所用到的大部分数学都是最近两百年间发展的,连倒数第三个百年间的都用不上!

因此,不论是谁,如果他对数学的看法被典型的中学教学所禁锢,那他不可能意识到数学研究是一个繁荣的世界性活动,也不可能会接受,数学已在很大程度上渗入了当今社会与生活的大多数行业。例如,他们不可能知道美国哪家机构雇佣了最多的数学博士。(尽管准确数字是一个官方秘密,但答案几乎肯定是美国国家安全局。这些数学家中的大多数人从事密码破解,通过监控系统截取加密信息,以供当局读取。尽管情报当局还是不会承认这一点,但至少人们通常是这么认为的。虽然大多数美国人可能知道国家安全局从事密码破解,但许多人没有意识到密码破解需要数学,也就不会觉得国家安全局是一家雇佣了大量高级数学家的机构。)

大约在过去一百年间,数学活动剧增,发展尤为迅猛。20 世纪初,数学能被合理地看作由约十二个不同的学科组成:算术、几何、微积分以及另外一些。现如今,这些范畴的数目大约为六七十,具体数目取决于你如何统计。一些学科,像代数或者拓扑,已分裂成不同的子领域;其他一些学科,例如复杂性理论或者动力系统理论,则是全新的研究领域。

数学的显著发展,使得在 20 世纪 80 年代出现了一个新的数学定义:关于模式的科学(science of patterns)。6根据该描述,数学家定义并分析抽象模式 —— 数值模式、形状模式、运动模式、行为模式、群体投票模式、重复概率事件模式,等等。这些模式可能是真实的,也可能是想象的;可能是可见的,也可能是思想化的;可能是静态的,也可能是动态的;可能是定性的,也可能是定量的;可能是实用的,也可能是消遣的。它们可能来自我们周围,来自对科学的追求,也可能来自人类大脑的内部运作。不同的模式造就数学的不同分支。例如,

6本书作者基思·德夫林另有一本书《数学:关于模式的科学》(Mathematics: The Science of Patterns)对该定义进行了详细阐述。—— 译者注

  • 算术和数论研究数与计算的模式。
  • 几何研究形状的模式。
  • 微积分让我们能够处理运动的模式。
  • 逻辑研究推理的模式。
  • 概率论处理概率的模式。
  • 拓扑研究封闭性与位置的模式。
  • 分形几何研究自然世界中发现的自相似性。

1.2 数学符号

现代数学有一个甚至普通人一眼就能看出来的特征,那就是使用抽象符号:代数表达式、看起来很复杂的公式,以及几何图表。数学家对抽象符号的依赖反映出他们所研究的模式的抽象性质。

现实的不同方面需要用不同的形式描述。例如,研究地形或者向某人描述如何在陌生城镇中寻找路线时,最恰当的方法是画一张地图。用文字远没有这样做恰当。类似地,带注释的线条画(蓝图)最适合用来表示建筑物的结构,而音乐符号最适合用来在纸上描绘音乐。对于不同种类的、抽象的、形式化的模式和抽象结构来说,最恰当的描述和分析的手段是使用数学符号、概念和算法。

例如,可以这样用日常语言来陈述加法交换律:

两个数相加时,它们的顺序并不重要。

然而,它通常被写成符号形式:

m+n=n+m.

虽然对于上面那样简单的例子来说,符号形式并没有什么明显优势,但大多数数学模式之复杂和抽象化,使得应用除形式化符号以外的任何工具都会带来过多的烦琐。因此,数学的发展也包括了抽象符号使用的一个稳步增长。

尽管通常认为现代形式的符号数学是由 16 世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达引入的,但代数符号似乎最早出现在亚历山大港的丢番图(生活于公元 250 年左右)的著作中。他的 13 卷论著《算术》(现仅存 6 卷)通常被认为是第一本代数课本。值得一提的是,丢番图使用了特殊的符号来表示方程中的未知数以及未知数的幂,并且用符号来表示减法和相等。

现如今,数学书中有一种符号泛滥的倾向。然而,正如音乐符号不是音乐,数学符号也不是数学。一页音符代表着一份音乐作品,但只有当纸上的音符被唱出或被乐器演奏出时,你听到的才是音乐本身。音乐通过表演而变得鲜活起来,成为我们经验的一部分。音乐并不存在于纸上,而是存在于我们的脑海中。数学也一样。纸上的符号仅仅只是数学的表示,只是当有能力的表演者阅读它们时(对数学而言,是某些经过数学训练的人),印在纸上的符号才变得有了生命力 —— 数学像抽象的交响乐一样,在读者的脑海里生存和呼吸。

再说一遍,之所以要使用抽象符号,是因为数学帮助我们识别和研究的那些模式是抽象的。例如,在帮助我们理解宇宙中那些看不见的模式上,数学发挥了至关重要的作用。1623 年,伽利略写道:

只有那些懂得自然是用什么语言书写的人,才能读懂自然这本巨著,而这种语言就是数学。7

7出自《试金者》(The Assayer)。这段被经常提及的话是对他原话的转述。

事实上,物理学能被精确地描述成透过数学镜片所看到的宇宙。

举一个例子,正因为用数学系统化地阐述及理解物理定律,我们今天才有了航空旅行。当一架飞机从头顶飞过时,你看不到任何支撑它的东西。只有通过数学,我们才能“看见”那使它保持在高空里的、不可见的力。该情形中的那些力被 17 世纪的牛顿辨别了出来,他还发展了研究它们所需要的数学。尽管直到几个世纪后,技术发展到了一定程度,我们才能真正利用牛顿的数学(已被此期间发展起来的大量其他数学所加强)去制造飞机。这个例子很好地说明了我最喜欢的用来描述数学是什么的一个模因:数学把不可见变为可见

1.3 现代大学数学

在简要概述过数学的历史发展后,我可以开始说明,为什么现代大学数学从根本上与中学所教的数学不一样。

尽管在很久之前,数学家就将研究对象的领域扩张到了数(以及表示数的代数符号)以外,但直到一百五十年前,他们仍然把数学看成主要是关于计算的科学。也就是说,精通数学实际上意味着能计算或者利用符号表达式解决问题。大体上说,中学数学仍然在很大程度上以这个早先的传统为基础。

然而,19 世纪期间,由于数学家处理的问题变得前所未有的复杂,他们开始发现,有时候,早先关于数学的那些直觉不足以指导他们的工作。反直觉的(有时甚至是悖论式的)结果使他们领悟到,他们发展起来的用来解决重要实际问题的一些方法会带来一些他们无法解释的结果。例如巴拿赫 -- 塔斯基悖论。这个悖论说,从理论上讲,取一个球,你能用某种方式将它切成几部分,然后把它们重新组合得到两个一模一样的球,每个都与原来的球同样大小。因为数学是正确的,所以即便它挑战了我们的想象,巴拿赫 -- 塔斯基的结果也必须作为一个事实被接受。

因此,人们明白了,数学能够通往只有通过数学自身才能理解的领域。为了做到不用其他方法验证便能确保我们可以相信利用数学方法所得到的发现,数学家转向了数学内的方法,并用它们检验这门学科自身。

19 世纪中期,这种自省使人们采用了一种新的、不同的数学理念,关注点不再放在演算或者计算答案上,而是放在系统化阐述及理解抽象概念和关系上。这是从强调到强调理解的转移。人们不再认为数学对象主要由公式给出,而是将它们看成概念化性质的载体。证明不再是依据规则而进行的项的转化,而是始于概念的逻辑推理过程。

这场革命(它确实足以称得上是一场革命)完全改变了数学家看待他们的学科的方式。然而,在世界其他地方,这场改变还没有发生。除了专业数学家,人们最早发现情况有变是在新的着眼点从大学本科必修课中体现出来的时候。作为一名学习数学的大学生,如果你觉得自己在最初接触到这种“新数学”时头昏脑涨,你可以把它们怪到狄利克雷、戴德金、黎曼以及其他所有帮助引入这种新方法的数学家头上。

作为对接下来内容的一个预告,我将给出这场改变的一个例子。19 世纪之前,数学家习惯了这样一个事实:诸如 y=x^2+3x-5 这样的式子给出一个函数,使得由任何给定的数 x,能够得到一个新的数 y。然后,革命者狄利克雷来了。他说,忘掉那些式子,仅关注在输入 -- 输出的行为这方面,函数了什么。根据狄利克雷的说法,一个函数是任何能由旧的数得到新的数的规则。这条规则并不一定能被一个代数公式表达。事实上,没有理由要将注意力局限在数上。一个函数可以是任何一条由一种对象出发得到新对象的规则。

有了这个定义,这个由如下规则定义的实数上的函数便合法化了:

如果 x 是有理数,令 f(x)=0;如果 x 是无理数,令 f(x)=1

试着为这个怪物般的函数作图吧!

数学家开始研究这种抽象的函数的性质。这种函数并非由某个公式给出,而是由它们的行为给定的。例如,函数是否具有这样的性质,使得当你赋予它不同的初始值时,它总能给出不同的答案?(这个性质被叫作单射性。)

在被称为实分析的新学科的发展过程中,这种抽象的、概念化的方法硕果累累。数学家凭借自己的努力,研究了诸如函数的连续性和可微性等抽象概念。法国和德国数学家发明了连续性和可微性的 \epsilon-\delta 定义。直到今天,每一代要学习微积分后续数学课程的学生为了掌握它,都要耗费很大气力。

还有,19 世纪 50 年代,黎曼用可微性定义了一个复函数,8而由公式给出的该函数的定义则被他看作是第二定义。

8即黎曼 \zeta 函数。—— 译者注

著名德国数学家高斯(1777---1855)提出了剩余类(你在代数课上很可能会遇到它),这是我们现在视为标准的方法的先驱。这种方法将数学结构定义为带有特定运算的集合,而这些运算的行为由公理指定。

继高斯之后,戴德金研究了理想(ideal)等新概念,它们每个都被定义为一族带有特定运算的对象。(再一次地,在学过微积分后,你可能很快就会碰上这些概念。)

接下来还有更多改变。

像大多数革命一样,19 世纪发生的这些改变,很早便已萌芽。古希腊人无疑对把数学作为一种概念上的探索很有兴趣,而不仅仅只是将其看作计算。17 世纪微积分学的共同发明人莱布尼茨,也曾深入地思考过这两种进路。但直到 19 世纪,数学在很大程度上还是被看作一系列解题的算法。然而,对于今天这些完全是学习着已经革新后的数学概念长大的数学家来说,数学不过就是 19 世纪那场革命的产物。这场革命可能并不轰轰烈烈,并在很大程度上已经被遗忘了,但革命已经完成,并且影响深远。而且,它为本书作好了铺垫,毕竟本书的主要目的是,提供进入现代数学的新世界(或者说,至少学习以数学的方式思考)所需要的基本思想工具。

目前,尽管 19 世纪后的数学概念已成为了微积分之后的大学数学课程的主要内容,但它在中学数学中并没有太大影响,这也就是你需要这样一本书来帮助你完成这次过渡的原因。曾经有过一次将这种新方法引入中学课堂的尝试,但这次尝试出了大错,并很快被放弃了。这就是 20 世纪 60 年代所谓的“新数学”(New Math)运动。当时出错的地方在于,当革新的信息从著名大学传递到中学时,它们被严重地曲解了。

对 19 世纪中期前后的数学家来说,计算与理解,两者一直都很重要。19 世纪的革命,只是在对数学的看法上,关注点发生了转移:计算与理解,哪个是数学的本质,哪个只发挥派生或支持的作用。不幸的是,在 20 世纪 60 年代,传递到全国中学教师那里的信息往往是,“忘掉微积分技巧吧,只要关注概念就好”。这种荒谬的、极其糟糕的策略使得讽刺作家(同时也是一位数学家)汤姆·莱勒(Tom Lehrer)在他的歌《新数学》(New Math)中写道:“方法才重要,别管是否得到了正确答案。”数年后,大部分“新数学”(请注意,它其实早已超过了一百岁)从中学教学大纲中被删除了。

自由社会里教育政策制定的性质,使得在可预见的未来,这样的改变不太可能再次发生,即使在第二次时,它有可能做得更好。人们也不清楚(至少对我来说),这样一种改变本身是否是可欲的。有一些教育方面的观点就认为(尽管由于缺乏确凿证据,观点是否成立还颇有争议),在能够思考抽象数学对象的性质前,人类思维需要对这些对象的计算达到一定水平的掌握才行。

1.4 你为什么需要学这些?

现在你应该明白了,19 世纪的这场转变是发生在专业数学圈中的变化,数学家从把数学看作是计算性的,转变成看作是概念性的。作为专业人士,他们对数学的本质更感兴趣。但对大多数科学家、工程师以及其他在日常工作中使用数学方法的人来说,情况大致上还是和以前一样,到今天还是如此。计算(并且得到正确的结果)依然和从前一样重要,并且它的运用,比起历史上的任何时期,都要更为广泛。

因此,对任何不属于数学圈的人来说,这场转变看起来更像是数学活动的扩张,而不是关注点的改变。如今学数学的大学生不仅仅要学习解题套路,(额外地)被要求掌握其背后的概念,并能够证明他们所使用的方法是合理的。

如此要求是否合理?专业数学家需要这种概念性的理解,因为他们的工作是发展新的数学并检验它的正确性。但为什么也这样要求那些学生,他们日后的职业(比如工程师)只是会把数学当作工具而已啊?

有两个答案,两者都相当合理。(剧透一下:仅仅只是表面看上去有两个答案,深究下去,它们其实是一样的。)

第一个,教育不完全只是为了获取将来职业生涯中所要用到的特定工具。为了我们的文化瑰宝代代相传,数学作为人类文明最伟大的创造之一,应该与科学、文学、历史以及艺术一起被传授。活着并不只是为了工作和职业。教育是为人生而作的准备,而掌握特定的工作技能只是其中一部分。

第一个回答肯定不需要更多的解释了吧。第二个回答则是针对“作为工作所需要的工具”的议题。

毋庸置疑,许多工作需要数学技能。许多人在找工作时发现,他们缺乏数学背景。事实上,在大多数行业中,几乎任意层次的对数学的需求实际上都比通常预计的要高。

许多年来,我们已经习惯于这个事实:工业社会的进步需要具有数学技能的劳动力。然而,如果你更仔细地观察一下,这些人可分为两类。一类由这样的人组成:对给定的数学问题(即已用数学术语表述的问题),能够找到它的数学解。另一类则由这样的人组成:拿到一个新问题后,比如说是制造业方面的,能够用数学的方法识别和描述该问题的关键特征,并用数学化的描述精确地分析这个问题。

在过去,对拥有第一类技能的雇员的需求很大,而对拥有第二类技能的人才的需求很小。我们的数学教育过程大体上能够满足这两种需求。虽然数学教育一直以来关注于生产第一类工作者,但他们当中的一些人势必也擅于第二种活动。于是一切都好。但在当今世界中,公司必须持续不断地创新以保持在商业竞争中立于不败之地,从而需求转向了第二类人:拥有数学思维的人,他们能够跳出盒子思考,而不是只在盒子内思考。现在,突然之间,问题来了。

对于拥有一系列数学技能、能够长期独自工作、深入关注某一特定数学问题的人来说,对他们的需求一直存在,并且我们的教育系统也应该支持他们的发展。但在 21 世纪,对第二类人才的需求更大。由于我们并没有为这样的个体命名(“有数学能力的人”或者甚至公众观念里的“数学家”,通常指的是第一类人),我建议给他们起一个名字:创新的数学思考者(innovative mathematical thinkers)。

这类新的个体(好吧,这其实并不新鲜,我只是认为之前没有人注意过他们),首先需要对数学有一个很好的概念性的理解,知道它的能力、范围、何时及如何被应用,以及它的局限。他们也需要扎实地掌握一些基本的数学技能,但并不需要特别高超。更为重要的一条是,他们能够在团队工作(通常是跨学科的团队)中发挥作用,能用新的方式看待事物、能快速学习和迅速掌握可能需要的新技能,并擅长将旧方法运用于新形势中。

我们如何才能教育出这样的个体?我们要致力于对概念性思考的教育。这种思考隐藏在所有具体的数学技能之后。还记得那句古话吧?“授人以鱼,不如授之以渔。”对 21 世纪的数学教育来说,也是如此。现在已经有了那么多不同的数学技能,并且新的技能也一直在发展之中,想在 K-16 教育中完全包含它们是不可能的。到一名大学新生毕业参加工作时,那些在大学里学过的许多具体的技能很可能已不再重要了,而新的技能却大为风行。教育的重点必须是学习如何去学。

数学中不断增长的复杂度使得 19 世纪的数学家将对计算技能的关注转移(或扩张,如果你喜欢这样说的话)到对潜在的、基本的、概念性的思考能力的关注上。一百五十年后的今天,在更复杂的数学的协助下,社会又发生了改变。关注点的转移不再仅仅对数学家很重要,而是对每个人都很重要,如果他们是以要将数学应用于现实的心态来学习数学的话。

所以,现在你不仅知道了为什么 19 世纪的数学家转移了数学研究的关注点,而且也知道了为什么从 20 世纪 50 年代开始,大学里学数学的学生也被要求掌握概念性数学思维。换句话说,现在你知道了为什么你的大学想让你学这门过渡课程(或参考这本书)。但愿你现在也意识到了为什么这对的生活如此重要,而不仅仅是为了解决通过大学数学课程的燃眉之急。

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