第 4 章 洗牌

第 4 章 洗牌

数学家对洗牌的了解越来越深入,但尽管进展显著,问题仍然棘手……

无论在用扑克牌玩魔术时,还是在打牌发牌之前,我们都会洗牌。这样做是为了适当地打乱牌的顺序,使得发给每个玩家的牌不会有任何偏向。但这到底意味着什么?数学能帮助我们更好地确定这个问题吗?

当听到数学上有新进展时,很多人都会大吃一惊。对于他们来说,这门有着千年历史的学科已经成熟到了越来越罕有新发现的地步。他们觉得,对于洗牌这样平淡无奇的课题来说,一定没什么新东西可谈了。大错特错!数学研究不仅处于前所未有的活跃状态,而且,即使像洗牌那样看似基础而古老的课题,每年也会涌现新的知识。最近的一些研究终于能回答牌友们都会问到的关于洗牌打乱次序的某些问题了。

1. 外侧和内侧法罗洗牌法

外侧法罗(Faro Out,又叫 Pharaon Out)洗牌是一种确定性的洗牌法:将一叠牌的上半部分和下半部分完美地交错叠放在一起,使得这叠牌的第一张牌在洗牌后仍然是第一张;如果它变成了第二张的话,就是内侧法罗(Faro In)洗牌。尽管这很难做到,但是不少魔术师还有一些数学家能成功地将一叠牌刚好分成拥有相同数量的两半,然后再将它们完美地交错叠放起来。

与所有不涉及随机性的洗牌法一样,外侧法罗洗牌法在重复多次之后,纸牌会变回原来的顺序。对于一套 52 张的扑克牌来说,这只需要重复 8 次。

这种洗牌曾经被用来作弊。在 1726 年,于伦敦匿名出版的《现代博彩中的技艺和奥秘》(Whole Art and Mystery of Modern Gaming)一书第一个提出了这一想法。1919 年,C. T. 乔丹的著作中出现过在魔术中利用法罗洗牌法的想法。数学家保罗·莱维在 1940 年至 1950 年间也研究过这个问题,他证明了,如果牌的数目是 2 的某个次方,比如 2^k,那么重复 k 次外侧法罗洗牌后,一叠牌就会恢复原状。

英国伦敦的计算机科学家亚历克斯·埃尔姆斯利在 1975 年发现了能够将一叠牌中的第一张牌移到第 n 个位置的洗牌方法。关于这类洗牌法的完整理论是在 1983 年由佩尔西·迪亚科尼斯、葛立恒和威廉·坎特提出的。但直到 2006 年,迪亚科尼斯和葛立恒才在一般情况下,找出了要将原来排第 n 张的牌移动到第一张所需的外侧和内侧法罗洗牌的序列。

洗牌方法有两大类,分别是确定性洗牌和随机性洗牌,它们引出了不同的问题和不同的数学。在确定性洗牌中,第一次洗牌和将纸牌恢复原状之后再进行第二次洗牌得到的结果完全一样,其中没有随机性扰乱的余地。

随机性洗牌每次得到的顺序都不一样,因为它依赖于随机因素,连洗牌人也无法预计,除非他作弊了。

我们从最简单的确定性洗牌开始,这就是外侧法罗洗牌法(也叫完美洗牌)。

我们先将一叠牌分成牌数完全相同的两叠,上面的记作 A,下面的记作 B。然后将它们交错叠合在一起,使得来自 A 和 B 的牌一先一后完美交错,并确保 A 最上方的牌在洗牌后仍然在这叠牌的最上方(最后一张牌也会留在原来的位置)。举个例子:一叠牌 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 会被分成两份,即 (1, 2, 3, 4) 和 (5, 6, 7, 8),然后在交错叠合之后,就会得到 (1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8) 的顺序。如果在洗牌的过程中,我们将 A 的第一张牌放到第二个位置,就会得到 (5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4),这种洗牌法就是内侧法罗洗牌。在包含 8 张牌的一叠牌上连续进行 3 次外侧法罗洗牌,就会回到一开始的顺序:(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) → (1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8) → (1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8) → (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)。

魔术师很了解这些洗牌法,他们还知道怎么多次重复进行这样完美的洗牌。有个短片展示了英国利兹大学的数学家凯文·休斯敦如何用一叠 52 张的牌完成了连续 8 次外侧法罗洗牌,使牌回到了原来的顺序。对于外侧法罗洗牌来说,将一叠牌的顺序复原需要的洗牌次数 k 取决于牌的张数 n。具体的值由以下列表给出:(n,k) = (2, 1), (4, 2), (6, 4), (8, 3), (10, 6), (12, 10), (14, 12), (16, 4), (18, 8), (20, 18), (22, 6), (24, 11), (26, 20), (28, 18), (30, 28), (32, 5), (34, 10), (36, 12), (38, 36), (40, 12), (42, 20), (44, 14), (46, 12), (48, 23), (50, 21), (52, 8)。

如果你想继续延伸这个表格,没有问题,但要记住,如果 n 是偶数,那么利用外侧法罗洗牌使牌序复原所需的次数 k 是能使 2^k-1n-1 的倍数的最小值。

无论有多少张牌,重复进行外侧法罗洗牌总会回到原来的牌序,而这个性质对于所有确定性洗牌都成立。无论洗牌方法如何,只要重复同样的确定性洗牌,一叠牌总会回到一开始的顺序。这个性质来自人们自从 19 世纪就知道的群论知识。

2. 耍赖的赌场

洗牌很重要。2012 年 4 月,在美国大西洋城(美国东岸以博彩闻名的城市)的金砖赌场发生的事情也说明了这一点,这座赌场差点在迷你百家乐游戏中输掉 150 万美元。为赌场提供扑克牌的厂家本来应该提供洗好的扑克牌,却错误地提供了没有洗过的牌。于是,粗心的赌桌荷官用到了一副没有洗过的牌,而且没有留意到这个失误。赌客们注意到了这些发出的牌有规律,并利用这些规律连续赢了 41 盘(赌注当然越来越大)。赌厅的监督人员察觉到了这些不正常的胜利,匆忙采取了行动。他们怀疑出现了精妙的诈骗行为,后来才发现并没有这回事。

于是,赌场拒绝向赌客们发放他们赢得的赌金,但这些赌客并没有违反任何规则。赌客们的索偿纠纷被诉诸法庭。赌场为自己辩护的理由就是,那是一场非法赌局,因为用到的牌没有被洗过;赌场也控诉了提供扑克牌的厂家犯下了最初的错误。而为赌客辩护的律师则提出了这样的辩护理由:“新泽西州没有任何法律允许金砖赌场以‘用到了按顺序排好的扑克牌’为理由,判定赌局失效。”

要计算经某种确定性洗牌后复原牌序所需的次数,方法并不复杂:我们先确定洗牌中每个循环的大小(对于 8 张牌的外侧法罗洗牌来说,第 2 张牌会变成第 3 张,然后再变成第 5 张,最后重新回到第 2 张,这就是一个三阶的循环),然后再计算这些循环的最小公倍数就可以了。

被控制的移动

然而,这个结果只是一个开始,有关外侧和内侧法罗洗牌的完整理论要等到 1983 年才由佩尔西·迪亚科尼斯、葛立恒和威廉·坎特提出。在外侧和内侧法罗洗牌的诸多性质中,下面这个非常美妙的性质也可以作为魔术的原理。如果以特定的顺序连续进行外侧和内侧法罗洗牌,我们就能将最顶端的那张牌洗到任意的位置 n。方法如下:先将整数 n-1 写成二进制,比如对于 n=7n-1 就是 6,写成二进制就是 110;要将最顶端的那张牌移动到位置 n,我们需要逐位读取二进制数字,如果是 1 就进行内侧洗牌,如果是 0 就进行外侧洗牌,对于 110 来说,也就是按顺序进行内侧、内侧、外侧的法罗洗牌。我们来验证一下:(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) →内侧 (5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4) →内侧 (7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2) →外侧 (7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2)。最顶端的牌的确变成了第 7 张。

反方向的问题是由英国人亚历克斯·埃尔姆斯利提出的(上述将第一张牌移动到任意位置的方法也是他发现的),但在 30 年间仍然悬而未决。需要以什么顺序进行内侧和外侧的法罗洗牌,才能将第 n 张牌洗到顶端?直到 2007 年,迪亚科尼斯和葛立恒才给出了一般情况的解答。这个解答有点复杂,在这里不好解释……魔术师就算想利用这种技巧,也很难记住具体怎么操作,所以这只是理论上存在的魔术手法。

因为那些实际的洗牌方法依靠随机性,所以“老千”和魔术师都用不上,但对于担心公平性的玩家来说正好适合。

牌桌上常用的随机洗牌法有五六种,这还没算上机器洗牌。现在,人们用的最多的洗牌法就是美式洗牌法,又叫燕尾洗牌法。它跟法罗洗牌的操作很像,但交错叠合并不完美,却因此更容易操作。

将一叠牌分成大致相等的 A 和 B 两份之后,我们将它们交错叠合,得到的新牌顺序如下:先是几张 A 顶端的牌,然后是几张 B 顶端的牌,接下来又是几张 A 中的牌(紧接着之前 A 中的牌),然后是几张 B 中的牌(紧接着之前 B 中的牌),等等。这种洗牌法看起来不错,因为即使仅洗牌一次,由多叠薄薄的纸牌交错堆叠得到的新顺序也会以不可预计的方式将一开始的牌序洗乱。这很可能是一种错觉,但怎样才能打破这种印象?

1912 年,亨利·庞加莱在他的《概率计算》(Calcul des Probabilités)一书中花了 8 个章节讨论洗牌问题,其中,他提出了一个有关随机性洗牌的一般性结论,这一结论自然而然对美式洗牌也适用。庞加莱证明,长远来看,这些洗牌法确实可以将牌洗乱。

n 张牌的排列方法一共有 n(n-1)(n-2)\cdots1 种,我们将这个乘积记作 n!,即 n 的阶乘。如果洗牌后没有特定的牌序比其他牌序更容易出现,那么我们就说牌洗均匀了。庞加莱用的方法就是如今所说的“马尔可夫链”的前身。他借此证明了,越进行随机性洗牌,一叠牌处于某种特定顺序的概率就越接近 1/n!。这跟我们的直觉相符:只要随机性洗牌的次数足够多,我们就会得到预想的结果,也就是在所有可能的牌序中,公平地做出随机选择。

遗憾的是,庞加莱并没有说明这些不同顺序出现的概率会以什么速度趋近于 1/n!,所以他的工作并没有说清,在牌桌上实际需要洗多少次牌才足够。法国数学家埃米尔·博雷尔、雅克·阿达马和保罗·莱维也对洗牌的问题感兴趣。博雷尔认为对于一套 52 张牌来说,只需 7 次美式洗牌就足够了,但他没有给出证明。

美式洗牌的数学模型

此后,能严谨地证明这个断言的数学理论才逐步成型,我们接下来会讲到这个理论。我们会多次看到“佩尔西·迪亚科尼斯”这个名字,这位杰出的美国数学家一开始走的是专业魔术师的道路,后来成了美国斯坦福大学的统计学教授。

人们在精确计算洗牌次数上迈出的第一步,要归功于美国数学家埃德加·吉尔伯特和克劳德·香农。他们在 1955 年提出了一个贴近现实的模型,描述了美式洗牌时会发生的事情。他们假设,一叠牌分成(一般不相等的)两份,各自有 pp' 张牌(p+p'=n)的概率是 {\rm C}(n,p)/2^n。在这里,{\rm C}(n,p) 就是著名的牛顿二项式系数,它等于 n!/[p!(n-p)!]。这个关于切分一叠牌的概率的假设对应着二项分布,即一条“钟形曲线”,这也是这类现象最可能出现的情况。

比如说,如果你要将一副 8 张的牌分成两份,二项分布告诉我们,分成 4 – 4 的概率是 27.4%,分成 3 – 5(或 5 – 3)的概率是 21.9%,分成 2 – 6(或 6 – 2)的概率是 10.9%,分成 1 – 7(或 7 – 1)的概率是 3.1%,而分成 0 – 8(或 8 – 0)的概率是 0.4%。最后这种情况有点怪,但即使不考虑它,结果也差不多。在吉尔伯特和香农的模型中,将得到的两叠牌交叉叠合的过程也再简洁自然不过了:当我们将一叠 p 张牌 A 和另一叠 p' 张牌 B 叠合时,所得新顺序的第一张牌为 A 中第一张牌的概率是 p/(p+p'),为 B 中第一张牌的概率是 p'/(p+p')。在确定新顺序顶端的一部分牌之后,剩下部分也可以照此操作,只是处理的这叠纸牌变薄了。

在 1988 年,迪亚科尼斯所做的实验证实了吉尔伯特和香农的模型很令人满意,也就是说,这是一个有关美式洗牌过程的合理数学模型——它有点理想化,但不过分。接下来就是要利用这个模型来计算,要将牌的顺序打得足够乱,需要洗多少次牌。戴夫·拜尔和迪亚科尼斯(又是他!)在 1992 年发表了一篇论文,解答了这个问题,答案的基础是一个优美的数学思想。首先,考虑美式洗牌及其理论模型的一个推广:这次不再将牌仅分成两份,而是将其分成 a 份;然后,把它们同时交错叠合起来。更准确地说,我们从这些小叠纸牌中一张一张地抽取纸牌,来组成一叠新的完整纸牌,而每次取到某叠牌的第一张牌的概率与这叠牌的数目成正比。这个扩展的数学模型原理和分成两叠的美式洗牌一样,这一洗牌法叫“a - 美式洗牌法”,在现实中需要 a 只手才能实现。

然后就是一切的关键。数学家证明了先进行一次 a - 美式洗牌,再进行一次 b - 美式洗牌,就相当于进行了一次 ab - 美式洗牌。这个美妙的结果说明了,如果进行 k 次常规的美式洗牌(也就是 2 - 美式洗牌)的话,那么这相当于一次 2^k - 美式洗牌。正因为有了这种简明阐释连续 k 次美式洗牌的方法,我们才能得知,在连续 k 次美式洗牌之后,得出的一个给定顺序的准确概率——这也能让我们了解,一种洗牌法有多接近于每种顺序都以 1/n! 的概率出现的“完美洗牌”。

3. 迪亚科尼斯,魔术师与数学家

佩尔西·迪亚科尼斯在确定性洗牌和概率性洗牌上都做了数学研究,他对掷硬币得到正面或反面的物理问题也感兴趣。他的研究成果大大拓展了人们对洗牌的了解。

迪亚科尼斯的职业生涯堪称独一无二。他出生于 1945 年,在 14 岁时,为了追随加拿大魔术师戴·弗农,他离开了家,并在弗农的训练下,成为一位职业魔术师。他用“佩尔西·沃伦”这个名字在魔术界混迹十几年。在 1971 年,他按照自己先前的计划重拾学业,而且可以说相当成功,因为他在 1974 年就在美国哈佛大学完成了博士答辩。

他的朋友马丁·加德纳曾说,迪亚科尼斯为了支付学费,曾经用扑克赌博。加德纳还开玩笑说,迪亚科尼斯“发二张”和“发底张”的技术炉火纯青,这让他在发牌时能发出一叠牌中的第二张或最底端的牌,而不是最顶端的牌。如今,迪亚科尼斯是美国斯坦福大学的统计学教授,他和葛立恒合著了一部关于魔术中用到的数学想法的精彩著作——《魔法数学——大魔术的数学灵魂》。

出人意料的公式

衡量一次 a - 美式洗牌均匀程度的公式非常有趣,甚至可以说令人吃惊——这个相当简单的公式竟然能描述如此复杂的洗牌结果。下面就是结果和公式:

在对一副 \boldsymbol{n} 张牌进行一次 \boldsymbol{a} - 美式洗牌后,得到牌序 \boldsymbol{Q}(比如 \boldsymbol{Q=(3,8,5,2,4,6,7,1)})的概率为 \boldsymbol{C(a+n-{\rm sm}(Q),n)/2a^n}

其中,C 与之前一样代表了牛顿的二项式系数,而 {\rm sm}(Q)Q 分解为递增数列时得到的数列个数。在上述例子中,{\rm sm}(Q) 等于 4,因为 (3, 8, 5, 2, 4, 6, 7, 1) 可以分解为 4 个递增数列:(3, 8), (5), (2, 4, 6, 7), (1)。

我们来看看拜尔和迪亚科尼斯这个美妙公式的应用。我们从排好的一叠牌 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 开始,然后连续进行 3 次 2 - 美式洗牌,这相当于一次 8 - 美式洗牌(a=8),我们得到 (3, 8, 5, 2, 4, 6, 7, 1) 的概率就是 C(8+8-4,8)/8^8=12!(8!4!8^8)=2.95\times10^{-5}

这跟我们期望的 1/8!,即 2.48\times10^{-5} 差不多。完美洗牌得到 (3, 8, 5, 2, 4, 6, 7, 1) 的概率(1/8!)和连续进行 3 次 2 - 美式洗牌得到同一顺序的概率,二者之间的差异是 0.47\times10^{-5} 。当然,对于所有顺序 Q 来说,如果理想概率 1/n! 和实际概率之间的差距足够小,或者更进一步,将所有可能的 n! 种顺序的概率差距加起来,得到的和足够小,那么我们才能说,这一系列美式洗牌满足我们的要求。

这个求和能衡量重复 k 次的美式洗牌能否被接受。为方便比较,我们让差距最大只能取到 1,这样一来,当我们计算美式洗牌与理想情况(所有顺序都是等概率的)的差距时,应当将所有可能的概率差距的一半相加。表 1 是拜尔和迪亚科尼斯计算出来的结果,展示了对一叠 n 张牌连续进行 k 次美式洗牌后,其结果与完美洗牌的差距:差距越接近 1,洗牌结果越糟糕;差距越小,洗牌越均匀。

表 1

这张表展现了对于 n 张牌来说,进行 k 次美式洗牌后得到的结果与完美洗牌的差距。在完美洗牌中,每种牌序都以相同的概率 1/n! 出现。

当差距比 1/10 还小的时候,我们认为对应的洗牌就是可以接受的:平均来说,得到每个顺序的可能性与进行无数次同一种洗牌方法得到的完美洗牌的差距不超过 10%。对于一叠 52 张的牌来说,我们得到的正是博雷尔猜想的结果:用美式洗牌洗七八次,就足够令人满意了。下图中的曲线给出了 a - 美式洗牌用在 52 张牌上时得到的结果。这里 a 的取值都是 2 的乘方,对应着重复进行 1 次、2 次、3 次等的美式洗牌。

针对一叠 52 张牌和不同的 a 值,a - 美式洗牌与完美洗牌的结果的差距。

这条曲线上明显有一个“洗匀阈值”:洗 1 次、2 次、3 次、4 次、5 次都不足够。从第 6 次开始,洗牌结果就算可以接受了,但只有达到 10 次(对应 a=2^{10}=1024)洗牌,差距才真正接近 0。

自拜尔和迪亚科尼斯在 1992 年发表这篇论文之后,各种其他研究,以及考虑了在更严格的差距概念下得到的计算结果都表明,如果说 7 次美式洗牌对于 52 张牌来说足够了的话,那么,想要真正防备任何作弊或者意外,应该要洗差不多 12 次牌。要注意的是,上面这个漂亮的公式并不会让计算变得容易多少:因为一叠 n 张牌有n! 种可能顺序(对于 52 张牌来说,差不多就是 8.1\times10^{67} 种顺序),所以,要计算所有概率差距的一半的和,也就是衡量洗牌质量的标准,还需要一些技巧。

博彩行业并没有对这些结果置若罔闻。比如说在今天,某些洗牌机的程序会采用以上建议的 7 次美式洗牌。设计洗牌机的工程师们对迪亚科尼斯的才华也是赞赏有加。

实验桌上的洗牌机

有一家公司希望将一种洗牌机投入商用,这种洗牌机的基本原理与美式洗牌的不同,所以,公司咨询了迪亚科尼斯,希望他可以证明这台机器能将牌洗匀。这台机器将牌分成 10 叠,每次会将每张牌随机分到其中一叠的顶端或底端。

在这样将牌分发成 10 叠后,机器又会用随机次序将分好的 10 叠牌叠在一起。这台机器在每一步用到的随机数值都源于伪随机发生器。

迪亚科尼斯的团队对这台机器的研究成果令业界很失望,因为其数学结论如下:第一,将 10 叠牌随机叠在一起的这最后一步毫无用处,也就是说,这台机器本身的复杂性毫无意义;第二,只用机器的方法洗一次牌并不够,某些作弊方法仍能实现;第三,用机器的方法洗两次牌,就能得到令人满意的结果。但第三个结论无法让工程师满意,因为出于加快游戏节奏的目的,他们希望能打造一台能一次性洗好牌的机器。

最近,人们研究了四类相关的新问题。

一、其他洗牌方法。除了美式洗牌之外,人们还研究了不少其他随机洗牌法。比如,人们对所谓的随机插入洗牌法很有兴趣,这种洗牌法就是不停进行如下的操作:取第一张牌,然后将其随机插入到剩下的牌中。对于这种随机洗牌法,莱尔纳·佩赫利万在 2010 年证明了,如果我们希望牌被洗乱到可以接受的程度,那就要重复大概 4n\log_2(n) 次操作。

二、重复出现的牌。在某些游戏中,玩家只看点数,也就是说所有 A 或所有 K 彼此都一样。在洗牌时,这意味着重要的不是得到任意的牌序,而是得到任意的点数顺序。这相当于研究有重复出现纸牌(比如每张牌都出现 4 次)的一叠牌。当然,这些重复出现的纸牌让“洗好牌”变得更容易了。

对于包含重复出现的纸牌的一叠 52 张牌来说,进行 7 次(或 12 次)美式洗牌的规则会怎么变化呢?2006 年,马克·康格和迪瓦卡·维斯瓦纳特研究了这个问题:对于 52 张牌来说,如果只考虑点数的话,那么只要进行 5 次美式洗牌,所得结果的质量就跟在同时考虑点数和花色的情况下进行 7 次美式洗牌的结果质量差不多。如果对概率均匀的要求更严格的话,那么 52 张牌原本需要的 12 次美式洗牌,在这里就变成了 9 次。

三、手中牌的顺序。这是另一个长期被忽略的问题,但现在已经弄清楚了。发牌后,每位玩家收好他们的牌,对于大部分游戏来说,玩家手上牌的顺序并不重要。决定手里牌好坏的只有牌的集合(不计顺序)。另外,玩家可以重新排列手里牌的顺序(除了玩类似“拉火车”的游戏)。洗牌是否令人满意,并非取决于发牌前的那叠牌对于所有 n! 种可能的顺序是否拥有同样的概率,而是在发牌之后,发出去的(比如桥牌中)4 叠 13 张牌的集合是否跟完全均匀发出去的牌差不多。利用这一点,我们可以节省两次美式洗牌。结果就是,想要得到一副能让桥牌玩家满意的牌,需要的美式洗牌次数少于 7,而对于更严格的要求来说,需要的次数也小于 12。

四、发牌方法。最后一点就是,洗好的牌该怎么发。通常用的方法就是将牌一张一张发出去。这个操作能减少发牌不公平的风险,让作弊变得更加困难。另一种发牌方法就是将开头的 13 张牌发给第一位玩家,接下来 13 张发给第二位玩家,等等。如果我们确定牌已经被完美地洗好的话,那么这种发牌方法也不错。马顿·鲍拉日和达维德·绍博证明,如果发给每位玩家 s 张牌,一张一张地循环发牌,而不是先给第一位发 s 张,再给第二位发 s 张的话,那么这大概相当于进行了 \log_2(s) 次美式洗牌。

桥牌只需要 4 次美式洗牌

在桥牌中,将 52 张牌洗得足够均匀所需要的 7 次美式洗牌可以减少到 4 次。考虑之前的第三点(手牌中的顺序无关紧要)就节省了 2 次洗牌,而考虑循环发牌的话,就又节省了一次洗牌。

对于更完美的要求,原来所需要的 12 次洗牌也能这样减少到 9 次,甚至更少。

这些发现都很了不起,但我们可以确定,还有别的“宝石”正静静躺着,等待着理论专家的慧眼来发现。

目录

  • 版权声明
  • 献词
  • 前言
  • 第一部分 骰子、纸牌和棋盘
  • 第 1 章 埃弗龙的古怪骰子
  • 第 2 章 怎么玩一手完美的扑克
  • 第 3 章 扑克牌的数学魔术
  • 第 4 章 洗牌
  • 第 5 章 英国跳棋的终结?
  • 第二部分 迷人的谜题
  • 第 6 章 数独迷局
  • 第 7 章 汉诺塔,不仅仅是小朋友的游戏
  • 第 8 章 难以置信的推理
  • 第 9 章 数字也有韧性
  • 第 10 章 折纸的数学
  • 第三部分 图与几何的游戏
  • 第 11 章 方格上的漫步
  • 第 12 章 火柴棍艺术
  • 第 13 章 六环的挑战
  • 第 14 章 手工几何学
  • 第 15 章 分形艺术
  • 第四部分 荒谬而矛盾的游戏
  • 第 16 章 积败为胜
  • 第 17 章 出人意料的硬币
  • 第 18 章 “无能者”与彼得原理
  • 第 19 章 囚徒困境和敲诈幻觉
  • 第 20 章 人类,比机器更好的玩家
  • 参考文献
  • 人名对照表
  • 图片版权
  • 作者简介