第 1 章 埃弗龙的古怪骰子

第 1 章 埃弗龙的古怪骰子

有些骰子带来的胜负结局会很奇怪,与直觉完全不同,令人“误入歧途”。即便是同一个骰子,如果不是掷一次而是两次,那么胜负的结果可能就反过来了!

假如 1 比 2 好、2 比 3 好……直到 N-1N 好,那么 1 当然要比 N 好啊!但是,这不一定。在某些情况下,传递性不存在:1 会输给 N

马丁·加德纳喜欢那些令人困惑又颠覆常识的小游戏。正是他广泛宣传了埃弗龙的非传递性骰子,后续精彩的派生游戏让最初的悖论扑朔迷离。在 1970 年《科学美国人》的每月专栏上,加德纳介绍了美国斯坦福大学的统计学家布拉德利·埃弗龙刚刚发明的四枚骰子:

我们将这些骰子写成 A = [0, 0, 4, 4, 4, 4],B = [3, 3, 3, 3, 3, 3],C = [2, 2, 2, 2, 6, 6],D = [1, 1, 1, 5, 5, 5]。我们假设这些骰子没做过手脚,每个面朝上的概率都是 1/6。同时掷下骰子 A 和骰子 B,点数大的算赢的话,一共有 6×6 = 36 种概率相同的可能性,其中有 12 种是“A 掷到 0 而 B 掷到 3”,而有 24 种“A 掷到 4 而 B 掷到 3”。于是骰子 A 赢了的情况有 24 种,而骰子 B 赢的情况只有 12 种。骰子 A 在三分之二的情况下都能胜利,自然更好。

比较骰子 B 和骰子 C 的话,会发现 B 也能在三分之二的情况下战胜 C;同样,C 在三分之二的情况下能战胜 D。惊人的是,D 也能在三分之二的情况下战胜 A。

我们把这叫作“长度为 4 的非传递性链条”,并且如右图那样表达这些结果。

这很令人惊讶,但这个表面上的矛盾有一个简单的解释:我们错误地相信了“骰子 X比骰子 Y 厉害”这个关系是有传递性的。一枚骰子有多厉害,不能用单一的参数来衡量,不像跑步运动员那样可以用速度来比较,也不像汽车那样可以用售价来比较。一枚骰子有多厉害,取决于每一次对决,依赖于另一枚骰子创造的环境。

骰子掷出的平均结果,也就是所有面的数字总和除以 6,本来可成为衡量骰子的唯一参数,然而它不是。实际上,对于之前的骰子 A、B、C、D,平均值分别是 2.66、3、3.33 和 3。尽管骰子 A 的平均值比骰子 B 要小,却能在三分之二的情况下打败骰子 B !同样,骰子 B 的平均值比骰子 C 要小,但在两者的对决中占了上风(在这里,大于号表示前者能赢后者):

\begin{aligned}&{\rm A}>~_{2/3}~{\rm B}>~_{2/3}~{\rm C}~>~_{2/3}~{\rm D}~>~_{2/3}~{\rm A}\\&2.66~~~~~~~3~~~~~3.33~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~2.66\end{aligned}

在这里,不论是骰子的平均值还是别的整体参数,都无法完整地衡量骰子有多强。

1. 奇迹般的逆转

蒂姆·罗伊特提出了一个新的悖论:胜者的逆转。例如,当我们考虑骰子 {\rm R}_1=[6,3,3,3,3,3]{\rm R}_2=[5,5,5,2,2,2] 时,就会有以下看似不可能的性质:如果每枚骰子只掷一次的话,那么 {\rm R}_1 能以 7/12 的概率战胜 {\rm R}_2,骰子 {\rm R}_1 看上去更强;但如果掷两次,然后将 {\rm R}_1{\rm R}_2 各自的点数加起来,那么这回胜利的就是 {\rm R}_2,胜利概率是 765/1296,大概就是 0.5903。将占上风的骰子掷两次,就变成落下风了!实际上,罗伊特发现的悖论更加厉害。如果我们再考虑骰子 {\rm R}_3=[1,4,4,4,4,4],就会出现非传递性链条 {\rm R}_1>{\rm R}_2>{\rm R}_3>{\rm R}_1;而如果掷两次的话,链条就完全反过来了,变成 {\rm R}_1<{\rm R}_2<{\rm R}_3<{\rm R}_1

用悖论取胜

埃弗龙的骰子也许能帮你在朋友面前炫耀一把。你可以提出这样的游戏:“这里有四枚骰子 A、B、C、D,每人各选一枚,我让你先选,然后我们一起掷 5 次骰子,看谁赢的轮数多。”

如果你的朋友选了骰子 A,那么你就选骰子 D,它比骰子 A 要强;如果他选的是骰子 B,那么你就选比它强的骰子 A,如此等等。非传递性链条可以保证你一定能选到比这位“冤大头”更强的骰子。

每一次掷骰子你都有三分之二的机会赢,如果五轮三胜的话,你赢的机会就是 79.01%。如果你觉得这样风险还是太大,那么可以提出一共玩 25 轮,而不是 5 轮,这样你就能在 95.84% 的情况下获胜。具体的计算就是,在你以 2/3 的机会赢下每一局的前提下,将在 25 轮中赢得 25 轮、24 轮、23 轮……一直到赢得 13 轮的概率全部加起来。二项分布告诉我们,在这种情况下,掷 n 轮骰子恰好赢 p 轮的概率是 n!/((n-p)!p!)(2/3)^p(1/3)^{n-p}。我们从中就能得到之前所说的 79.01% 和 95.84%。

只有在你朋友没起疑心的情况下,你才能用埃弗龙骰子大获全胜。有一天,美国的亿万富翁沃伦·巴菲特就向美国微软公司创始人比尔· 盖茨提出用埃弗龙骰子来打赌。当然,巴菲特请盖茨先选择骰子。盖茨起了疑心,仔细分析了那些骰子,然后建议巴菲特先选。没人知道他们打算押下多少赌注!

故事讲到这里,有点吊人胃口。我们用四枚骰子能取胜,那么三枚行不行?能不能避免在不同的面上写相同的数字?因为这样既不雅观又让人起疑。为了让玩家觉得骰子更漂亮、更放心,有没有可能做到三枚骰子各自面上数字之和都相同(从而平均值也相同)?

2. 非传递性的颠倒世界

非传递性能让你百思不得其解!在体育运动中,A 队赢 B 队、B 队赢 C 队、C 队赢 A 队的事情并不少见。这不满足传递性(如果 a > b 并且 b > c,那么 a > c)。如果 A 队状态不好,对阵 C 队的时候打得很烂,那么这种事情就会发生。这种现象在数学中也经常出现,而且不能用“状态不好”来解释我们观察到的非传递性。尽管这一局和下一局之间的一切不变,但也会发生像“石头、剪刀、布”(图 a)这样的情况:剪刀赢布(因为剪刀能剪开布),布赢石头(因为布能包住石头),而石头赢剪刀(因为石头能砸烂剪刀)。

孔多塞悖论也很经典。假设有 60 位选民投票给三名候选人 A、B 和 C,其中有 23 位选民的排序是 A > B > C,17 位是 B > C > A,2 位是 B > A > C,10 位是 C > A > B,还有 8 位是 C > B > A。

这样的话,有 33 位选民觉得 A 比 B 好,不赞成的有 27 位;42 位选民觉得 B 比 C 好,不赞成的有 18 位;35 位选民觉得 C 比 A 好,不赞成的有 25 位。

选民表达出的偏好组成了非传递性链条:A > B > C > A。

埃弗龙的四枚骰子(见第 3 页)也以类似的形式组成了非传递性链条。

还有人发明了其他骰子游戏,比起孔多塞悖论或者埃舍尔那不断上升却又回归原点的不可能阶梯(图 b)来说,它们拥有更违反直觉的性质。

三枚没那么可疑的骰子

答案是肯定的!在加博尔·塞凯伊 1986 年出版的一本书里(见参考文献),就出现了这样的三枚非传递性骰子的一个例子:A' = [5, 7, 8, 9, 10, 18],B' = [2, 3, 4, 15, 16, 17],C' = [1, 6, 11, 12, 13, 14]。从 1 到 18 的每个数字都被用到且只用了一次。每枚骰子的数字总和都是 57,于是平均值就是 9.5。计算表明,骰子 A' 在 36 种情况的 21 种(也就是所有情况的 7/12)之中能打败骰子 B'。骰子 B' 对阵骰子 C',还有骰子 C' 对阵骰子 A' 的结果也一样。尽管三枚骰子各不相同,但它们之间似乎有着完美的对称性:一来,每枚骰子的所有可能投掷结果平均都是 9.5;二来,每枚骰子打败下一枚的概率都是 7/12,输给上一枚的概率也是这样。这些骰子组成了一条长度为 3 的非传递性链条,就像“石头、剪刀、布”那样:

\begin{aligned}&{\rm A}'>_{7/12}{\rm B}'>_{7/12}{\rm C}'>_{7/12}>{\rm A}'\\&9.5~~~~~~~9.5~~~~~~~~~~9.5~~~~~~~~~~9.5\end{aligned}

然而新的矛盾又出现了,如果同时投掷三枚骰子的话,骰子 B' 显然更好。实际上,一共有 216 种可能的结果,对这些结果的分析表明,骰子 B' 在 90 种情况下大获全胜,而骰子 A' 胜利的情况只有 63 种,骰子 C' 也一样。这三枚骰子在独自投掷或者两枚对战时的平衡性,在一起投掷的时候就消失了!

颠倒的世界

这座像从天上掉下来的房子,是艺术家让–弗朗索瓦·富尔图在法国里尔展出的作品(Fantastic,为“里尔 3000”项目设计,2012)。

为了列出所有这样的三枚骰子的组合,加丁·布莱克在 2010 年进行了一项彻底的计算,发现对于寻找各自拥有相同平均值、以相同概率战胜彼此,并且从 1 到 18 的每个数字恰好用到一次的三枚非传递性骰子的组合这个问题,它的解答一共有 8 种。每种组合的胜利概率都不超过 7/12,而每个组合的三枚骰子一起投掷时胜率也不均衡。框 3 给出了这 8 种解答,还有它们三枚一起投掷时各自的胜率(胜利的情况数)。

3. 8 组平衡的三枚套骰子

最大胜率

四枚骰子能达到 2/3 的胜率,三枚骰子能达到 7/12 的胜率(不需要加上从 1 到 18 的数字全部各用一次的限制),有没有可能做得更好?如果我们能使用更多的骰子,每枚骰子可以超过六个面,那么我们所知的最大可能优势又是什么呢?

奇怪的是,所有这些一般性问题的答案早已出现在扎尔曼·乌西斯金于 1964 年发表的一篇文章中,而那时埃弗龙的骰子还没有扬名天下。这篇文章的框架更为广泛,但也包括了多枚骰子的游戏。对于三枚骰子来说,最大胜率只能达到黄金分割常数 \varphi 的倒数 1/\varphi=(\sqrt{5}-1)/2=0.6180\dots。对于四枚骰子来说,可能的最大胜率是 2/3 = 0.6666...(埃弗龙的骰子达到了这个胜率)。对于五枚骰子来说,胜率不超过 0.692,这是方程 b^3+3b^2-4b+1=0 的解。

乌西斯金解释了如何对超过五枚的骰子进行计算,并证明了当非传递性链条中骰子数目增加时,每枚骰子相比下一枚的优势可以任意接近 3/4,但永远达不到这个数值。

在 1994 年,理查德·萨维奇证明了一个关于三枚非传递性骰子的漂亮结论,其中也牵涉到了黄金分割。萨维奇研究的是有 n 个面的骰子,限定了每个面的数字都在 1 和 3n 之间,而且每个数字都恰好用到一次,就像骰子 A'、B' 和 C' 那样。萨维奇计算了一枚骰子能战胜下一枚的最低胜率 M,然后想办法让这个最小值取到最大的可能值,这样的话,当玩家提出类似巴菲特和盖茨之间的那个用三枚骰子进行的赌局时,就能获得最大的收益。萨维奇证明了,如果取用拥有很多个面的骰子的话,那么我们可以任意接近 1/\varphi 这个极限,其中 \varphi=1.618\dots 是黄金分割常数,而乌西斯金证明了这个极限是不可逾越的(同时要满足从 1 到 3n 每个数都恰好用一次的限制)。于是,我们能继续提升六面骰子的最优值 7/12=0.5833\dots,不断接近 1/\varphi=0.61833\dots,想要多近就有多近,前提是要用一组超过六面的骰子。

还有个值得一提的一般性结论。马克·芬克尔斯坦和爱德华·索普曾经研究了所谓的“可接受”骰子。如果一枚 n 面的骰子,每个面上的数字都在 1 和 n 之间(同一个数字可以多次出现,也不要求所有数字都出现),而且所有面上的数字之和跟面上写有 1,2,3,\cdots,n 的标准 n 面骰子相同(也就是 n(n+1)/2),那么它就是可接受的。芬克尔斯坦和索普的美妙定理断言,如果 n 大于 3,那么对于任意可接受 n 面骰子,只要不同于标准 n 面骰子,都存在能打败它的另一枚可接受 n 面骰子;另外,标准 n 面骰子与任意一枚可接受 n 面骰子都不分胜负。这个定理的推论之一,就是对于所有 n>3 的情况,都存在由可接受 n 面骰子组成的非传递性链条。

对于 n=4(也就是正四面体骰子),除了标准骰子 [1, 2, 3, 4] 以外,只存在四种可接受骰子:{\rm F}_1=[3,3,2,2]{\rm F}_2=[4,2,2,2]{\rm F}_3=[4,4,1,1]{\rm F}_4=[3,3,3,1]。它们对战的结果是:

\begin{aligned}&{\rm F}_1>_{6/10}{\rm F}_2>_{8/14}{\rm F}_3>_{8/14}{\rm F}_4>_{6/10}{\rm F}_1;\\&{\rm F}_4>_{9/16}{\rm F}_2>_{8/14}{\rm F}_3>_{8/14}{\rm F}_4;{\rm F}_3\approx{\rm F}_1\end{aligned}

在这个极端情况下,只存在两条非传递性链条:第一条的长度是 4,由 {\rm F}_1{\rm F}_2{\rm F}_3{\rm F}_4 组成;另一条的长度是 3,由 {\rm F}_2{\rm F}_3{\rm F}_4 组成。

我们可能会以为,那 8 组 A'、B'、C' 的三枚骰子,或者由三枚或四枚可接受四面体骰子组成的非传递性链条,就已经是这种矛盾美感的顶点了。没这回事,蒂姆·罗伊特在 2002 年给出了一组三枚骰子 {\rm R}_1=[6,3,3,3,3,3]{\rm R}_2=[5,5,5,2,2,2]{\rm R}_3=[1,4,4,4,4,4],让之前的悖论更迷离。我们将会看到,这组骰子除了组成了非传递性链条以外,对于打赌还有个出人意料的有趣性质,恐怕连盖茨都料不到。

4. 可接受骰子

等概率的五面骰子不存在,但取 1 枚等概率的十面骰子(比如将两个底为正五边形的锥体底靠底粘在一起),然后每个面上的数字都成对出现的话,就相当于 1 枚等概率的五面骰子。有 12 种可接受五面骰子。根据定义,可接受骰子所有面的数字之和应该跟标准五面骰子一样,也就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15,而且每个面都只用到从 1 到 5 的整数。对于可接受骰子,六个面的有 32 种,七个面的有 94 种,而八个面的有 289 种。

下面的表格列出了所有 12 枚可接受五面骰子,用五角星表示:

\begin{aligned}&{\rm A}_1=[3,3,3,3,3],~{\rm A}_2=[4,3,3,3,2],\\&{\rm A}_3=[4,4,3,2,2],~{\rm A}_4=[4,4,3,3,1],\\&{\rm A}_5=[4,4,4,2,1],~{\rm A}_6=[5,3,3,2,2],\\&{\rm A}_7=[5,3,3,3,1],~{\rm A}_8=[5,4,2,2,2],\\&{\rm A}_9=[5,4,3,2,1],~{\rm A}_{10}=[5,4,4,1,1],\\&{\rm A}_{11}=[5,5,2,2,1],~{\rm A}_{12}=[5,5,3,1,1]\end{aligned}

这个表格在第 i 行和第 j 列的交点给出了 {\rm A}_i{\rm A}_j 的取胜概率。我们能观察到几件有趣的事情:一、标准骰子(也就是骰子 {\rm A}_9)跟所有其他可接受骰子都打成平手;二、每枚可接受骰子都会被另一枚打败;三、存在许多非传递性链条,比如 {\rm A}_1>{\rm A}_8>{\rm A}_5>{\rm A}_1 或者 {\rm A}_{10}>{\rm A}_4>{\rm A}_1>{\rm A}_8>{\rm A}_{10}

马克·芬克尔斯坦和爱德华·索普在 2006 年对 n 面可接受骰子进行的一般性研究表明,性质一、二和三对于所有 n>3 的情况都成立,所以作为推论,对于所有 n>3,都存在由 n 面骰子组成的非传递性链条。

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5. 西歇尔曼的骰子

乔治·西歇尔曼是一位美国上校,他提出了一个奇怪的问题:“是否存在两枚骰子,它们跟通常用的骰子(面上刻有数字 1、2、3、4、5 和 6)不同,但一起掷出的话,跟通常的骰子得到的数字和一样,而且概率也相同?”它得到 2 的概率应该是 1/36,3 的概率是 2/36,4 的概率是 3/36,5 的概率是 4/36,6 的概率是 5/36,7 的概率是 6/36,8 的概率是 5/36,9 的概率是 4/36,10 的概率是 3/36,11 的概率是 2/36,而 12 的概率是 1/36。

出人意料的是,西歇尔曼找到了这样的两枚骰子:[1, 2, 2, 3, 3, 4] 和 [1, 3, 4, 5, 6, 8]。用旁边的表格,我们可以验证所有 36 种数字和跟通常用的骰子完全一致。西歇尔曼的解答对于六面骰子来说是唯一的,但也有人推广了西歇尔曼骰子。

会翻转的赌局

之前的骰子确实组成了非传递的三枚组合:{\rm R}_1 以 7/12 的概率战胜 {\rm R}_2{\rm R}_2 以 7/12 的概率战胜 {\rm R}_3,而 {\rm R}_3 以 25/36 的概率战胜 {\rm R}_1。这里还没什么新东西。然而,它产生的一些现象如此不可思议,我也是在自己写了个程序验证之后才接受的。如果每次对局每个骰子不是只掷一次而是分别掷两次,然后将两次结果加起来的话,那么一切就都反过来了:{\rm R}_2 会以 765/1296 = 0.5902... 的概率战胜 {\rm R}_1{\rm R}_3 打败 {\rm R}_2 的概率也是 765/1296 = 0.5902...,{\rm R}_1 打败 {\rm R}_3 的概率则是 671/1296 = 0.5177...。这种闻所未闻的性质再次表明,我们有关概率的直觉并不准确。这启发了另一种“占朋友便宜”的方法,即使像盖茨那样聪明,对非传递性骰子略有所闻,也一样有效。

你可以一开始向他展示这些骰子,他会仔细端详,发现这是个非传递性链条。于是,如果你肯先选骰子的话,那么他就会愿意打赌。你接受提议,先随意选一枚骰子。(最好是 {\rm R}_2 或者 {\rm R}_3,这样可以避免那个 0.5177... 的概率。)他会选择在非传递性链条中可以打败你的那枚骰子。

然后你向他提议赌注加倍,前提是要掷两次骰子,并比较得到的数字之和(跟之前一样玩 25 盘)。他会和所有人一样,觉得掷两次只会提高优势,于是就答应了。但事实上,现在占据优势的是你,而你会赢得这场赌局(准确概率是 82.10%)。真不科学!

为什么非传递性链条会逆转过来呢?要理解为什么逆转会出现,我们来看最简单的两枚骰子:{\rm R}_1=[6,3,3,3,3,3]{\rm R}_3=[1,4,4,4,4,4]

只掷一次的话,{\rm R}_3 会赢 {\rm R}_1,因为 4 能赢 3,而在 36 种情况中,这会出现 25 次。如果计算 {\rm R}_1 两个面的和,还有 {\rm R}_3 的情况的话,那么:

  • {\rm R}_1:6 + 3 = 9,共 10 种情况;3 + 3 = 6,共 25 种情况;6 + 6 = 12,共 1 种情况。
  • {\rm R}_3:1 + 1 = 2,共 1 种情况;4 + 4 = 8,共 25 种情况;1 + 4 = 5,共 10 种情况。

如果 {\rm R}_1{\rm R}_3 分别掷两次的话,那么一共有 1296 = 36 × 36 种可能的情况。只有在掷出一共 8 点的时候,骰子 {\rm R}_3 才有机会赢。在这种情况下,只有 {\rm R}_1 掷两次一共得到 6,{\rm R}_3 才真正胜利。于是,在掷两次的比赛中,骰子 {\rm R}_3 在 36 × 36 = 1296 种情况中,只有 25 × 25 = 625 种情况会获得胜利。这还占不到所有情况的一半,所以掷两次的话 {\rm R}_3 会输给 {\rm R}_1。逆转是有可能的,这已经出现在我们眼前了!

我们试试用几句话来解释这一点。只掷一次的时候,骰子 {\rm R}_3 能胜过 {\rm R}_1,但总而言之它赢得不多,只是用 4 点打败 3 点。于是,当我们考虑骰子 {\rm R}_3 两个面的和(2、8 或者 5)时,它们比起骰子 {\rm R}_1 两个面的和(9、6 或者 12)可逊色不少,这也是为什么在比赛掷两次时,骰子 {\rm R}_3 会落败。

如果每枚骰子不是掷两次,而是掷三次的话,那么 {\rm R}_2 能赢 {\rm R}_1{\rm R}_3 能赢 {\rm R}_2,而 {\rm R}_3 也能赢 {\rm R}_1。这回骰子 {\rm R}_3 占尽上风,也不存在非传递性链条了,选 {\rm R}_3 的人总会有优势。这很奇怪,因为如果我们直接拿三枚骰子同时比赛的话(同时投掷三枚骰子),那么得到的胜率之比是 51∶90∶75,最厉害的是 {\rm R}_2

一对二

为了概括埃弗龙骰子的这些矛盾重重的变体,我们来看看奥斯卡· 范德芬特的七枚骰子,用它们可以同时对阵两位对手:

\begin{aligned}&{\rm G}_1=[7,7,10,10,16,16],\\&{\rm G}_2=[5,5,13,13,15,15],\\&{\rm G}_3=[3,3,9,9,21,21],\\&{\rm G}_4=[1,1,12,12,20,20],\\&{\rm G}_5=[6,6,8,8,19,19],\\&{\rm G}_6=[4,4,11,11,18,18],\\&{\rm G}_7=[2,2,14,14,17,17]\end{aligned}

每枚骰子面上数字之和都是 66,也就是平均 11 点。在 每场对决中,优势方的胜率都是 20/36 = 5/9。观察这幅图就会发现,在七枚骰子中任意选择一对,总会有第三枚骰子可以同时战胜它们。

荷兰游戏发明家奥斯卡·范德芬特的七枚骰子

箭头的指向表示两枚骰子对决时谁胜谁负,比如 {\rm G}_1 能战胜 {\rm G}_2

这样,你就能同时向两位朋友提出如下的赌局。让第一位朋友先选择一枚骰子,然后轮到第二位选。最后轮到你,你就可以选择能同时胜过你朋友选择的两枚骰子的那枚。然后,你可以跟第一位朋友先来一局(比如说玩 25 轮)。这场对你有利,你在大部分情况下会赢。然后不要换骰子,再跟第二位朋友来一局(还是玩 25 轮)。

运气会又一次站在你那边!

但要注意,无论赌局对你有利,还是运气站在你这边,都不意味着你能百分之百获得胜利,只是你赢的情况会超过半数。在这里,计算表明,拥有 5/9 的优势玩 25 轮的话,你会在 71% 的情况下胜利。如果你想赢得更稳妥,那么可以提出轮数更多的对决。

目录

  • 版权声明
  • 献词
  • 前言
  • 第一部分 骰子、纸牌和棋盘
  • 第 1 章 埃弗龙的古怪骰子
  • 第 2 章 怎么玩一手完美的扑克
  • 第 3 章 扑克牌的数学魔术
  • 第 4 章 洗牌
  • 第 5 章 英国跳棋的终结?
  • 第二部分 迷人的谜题
  • 第 6 章 数独迷局
  • 第 7 章 汉诺塔,不仅仅是小朋友的游戏
  • 第 8 章 难以置信的推理
  • 第 9 章 数字也有韧性
  • 第 10 章 折纸的数学
  • 第三部分 图与几何的游戏
  • 第 11 章 方格上的漫步
  • 第 12 章 火柴棍艺术
  • 第 13 章 六环的挑战
  • 第 14 章 手工几何学
  • 第 15 章 分形艺术
  • 第四部分 荒谬而矛盾的游戏
  • 第 16 章 积败为胜
  • 第 17 章 出人意料的硬币
  • 第 18 章 “无能者”与彼得原理
  • 第 19 章 囚徒困境和敲诈幻觉
  • 第 20 章 人类,比机器更好的玩家
  • 参考文献
  • 人名对照表
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