第 2 章 算术的原子

第 2 章 算术的原子

当事情变得过于复杂时,有必要停下来想一想:“我提出的问题正确吗?”

——恩里克·邦别里,
Prime Territory,发表于 The Sciences 期刊

一个振奋人心的消息从意大利巴勒莫的朱塞佩·皮亚齐那里传来。这比邦别里用那个愚人节玩笑捉弄数学界早了两个世纪。根据观测,皮亚齐发现了一颗介于火星和木星之间的、围绕太阳运转的行星。该星被命名为谷神星,它比已知的七大行星小得多,但是发现它的日子,也就是 1801 年 1 月 1 日,被一致认为开启了一个伟大的科学新时代。

几周之后,这颗小行星运行到太阳的另一面。它微弱的光亮在太阳的强光下无迹可寻。当它慢慢消失在人们的视野中时,人们之前所有的兴奋瞬间化为泡影。它已消失在夜空中,人们无法将它同其他的星星区分开来。在 19 世纪,天文学家缺少基本的数学工具,无法从前几周观测到的轨迹数据来计算其完整的运行轨迹。他们似乎弄丢了这颗行星,无法预测它下次会出现在何处。

然而,在皮亚齐发现的行星消失了一年之后,一位来自德国布伦瑞克的 24 岁年轻人宣称,他有办法让天文学家重新找到那颗消失的行星。天文学家别无他法,只得将天文望远镜对准这位年轻人所指的夜空中的那个区域。简直不可思议,它果真在那儿!这种史无前例的天文预测,简直就像占星家的魔法一样神秘莫测。其他人只能观测到一颗神出鬼没的小行星,一旦消失就难觅其踪;一位数学家却计算出了谷神星的运行轨道。这位奇才就是卡尔·弗里德里希·高斯。他利用极少的行星轨迹观测数据,并结合一种他最新研究出的方法,来估算谷神星未来某天会在何处出现。

发现谷神星的轨迹,使高斯在科学界一夜成名。在 19 世纪早期,随着科学的迅猛发展,数学日益展现出强大的预测能力。高斯所取得的成就充分印证了这一点。天文学家偶然发现一颗行星,却要靠数学家运用分析能力,来预测未来将要发生什么。

尽管在天文学界高斯还是个陌生的名字,但他在数学界已是一名新秀。他成功地预测了谷神星的运行轨迹。但是最让他魂牵梦萦的还是发现数字世界的运行规律。对高斯而言,宇宙中的数字带来了无尽的挑战:要从其他人眼中的混沌中找到数字存在的结构性和规律性。“神童”和“数学天才”的头衔传来传去,却极少有数学家能与高斯比肩。25 岁之前,他的新想法以及新发现的数量之多,超乎人们的想象。

1777 年,高斯出生于德国布伦瑞克的一个农民家庭。3 岁时,他就能纠正父亲算术中的错误了。19 岁那年,他发现了使用尺规绘制一个规整的正十七边形的方法。这件事注定他将把一生献给数学。在高斯之前,希腊人也曾展示过如何用尺规作图绘制正五边形,但从来没有人能够做到用简单的工具来绘制其他边数为素数的正多边形。发现绘制正十七边形的方法后,高斯难掩兴奋之情。这也促使他开始做数学笔记,在接下来的 18 年里,他一直保持这个习惯。这份笔记由他的家人保管至 1898 年。它成为了数学发展史中最重要的文件之一,不仅仅是因为里面有许多高斯已经证明但没有发布的结果,更重要的是,其中有些想法,其他数学家直到下个世纪才重新证明出来。

少年高斯做出的一个最伟大的贡献就是发明了时钟计算器。这是一种构想而非实物,可以使用之前难以处理的数字来做运算。时钟计算器的工作原理和传统时钟类似。假设现在时针指向 9 点,再过 4 个小时,时针会指向 1 点。因此,高斯使用时钟计算器来计算的话,答案是 1 而不是 13。如果高斯想要进行更复杂的运算,如 7 × 7,那么时钟计算器将会得到 49(即 7 × 7 的结果)除以 12 的余数。结果同样指向 1 点。

高斯也萌生了这样的想法——利用时钟计算器来做 7 × 7 × 7 这种幂运算。这时,计算器的力量和速度就凸显出来了。高斯并不是简单地用 49 再乘以 7,而是用上一次的结果(也就是 1)乘以 7。这样一来,就无须计算 7 × 7 × 7 的结果(结果是 343),还可以事半功倍,同时得到被 12 除的余数 7。高斯开始探索超出自身计算能力的大数。这时,时钟计算器开始真正派上用场了。虽然对于 7^{99} 他还是束手无策,但是使用时钟计算器能够给出这个数被 12 除的余数 7。

高斯注意到,表盘上除了 12 个小时的刻度外没什么特别的东西。他引入了用时钟进行运算的理念,用到的就是表盘上显示时间的刻度,有时也被称作模运算。举个例子,如果你将 11 输入时钟计算器,用 4 去除它,得到的结果就是 3(点),因为 11 被 4 除余 3。高斯创立的这种算术分支理念,为 19 世纪的数学带来了一场革命。正如显微镜为人们打开了新世界的大门,开发时钟计算器为数学家解锁长久以来隐藏在数字世界的新规律提供了一把金钥匙。时至今日,高斯的时钟算法在网络安全方面仍有着举足轻重的地位,其中采用的时钟计算器,表盘刻度比可观测宇宙中所有的原子数还要多。

幸运的是,高斯这个穷人家的孩子,并没有因为家庭条件不好而埋没他的数学天赋。在他出生的那个时代,数学研究大多需要贵族阶层提供资助,或者像费马那样利用业余时间从事。高斯的赞助人是布伦瑞克公爵,卡尔·威廉·斐迪南。斐迪南的家族一直以来都支持自己爵位领地的文化和经济发展。事实上,他的父亲创立了卡罗琳学院(今布伦瑞克工业大学的前身),德国最早的理工大学之一。他的父亲坚信,教育是布伦瑞克商业繁荣的基础。斐迪南继承了父亲的这一理念,他一直在苦苦寻找值得资助的那个天才。1791 年,费迪南第一次见到高斯,就对他的才华留下了深刻的印象,决定资助他在卡罗琳学院完成学业,以开发他真正的潜能。

1801 年,高斯的第一本书问世,以示对公爵的敬谢。此书名为《算术研究》,汇集了高斯发现的许多算术知识,这些之前都记录在他的日记中。学术界普遍认为,该书标志着数论作为一门学科而存在,而不仅仅是一本有关数字理论发现的合集。此书的出版使数论这门学科加冕为“数学王国的女王”(高斯喜欢的称呼)。对高斯而言,素数是数学王冠上的宝石,一代又一代的数学家为之神往而又为其所伤。

人类探索素数最早的证据可能是来自公元前 6500 年 1 的一块骨头。这块骨头叫作伊尚戈骨(Ishango bone),是于 1960 年在靠近赤道的非洲中部山区发现的。骨头上刻着 3 排线纹,包含 4 组刻痕。在其中一排上,我们发现了 11、13、17、19 条刻痕,这是 10 ~ 20 的素数。其他的刻痕似乎是自然数。这块陈列在比利时皇家国家科学院的骨头,究竟是我们的祖先对理解素数特性的初步尝试,还是随机选取了一些碰巧是素数的数字,我们尚不得而知。然而,这块古老的骨头,或许见证了人类对素数理论的初步探究,这使它越发引人遐想。

1后来,遗迹经重新考察,现在普遍的观点是它有两万多年的历史。——译者注

一些人认为,古代中国文明是最早辨识出素数特征的文明体系之一。古代中国人将偶数赋予女性气质,而将奇数赋予男性气质。2 除了这种直接的划分之外,他们还将那些非素数的奇数——比如 15——看作具有女性气质的数字。有证据显示,在公元前 1000 年之前,他们就已经总结出了一套相当实用的方法,来理解素数有别于其他数字的独特之处。假设你有 15 个豆子,你可以排列出一个整齐的 3 行 5 列的矩形。不过,当你有 17 个豆子时,你就只能排列出一个 1 行 17 列的矩形。对中国人来说,素数是具有阳刚之气的数字,它们坚决不肯被分解成两个更小数字的乘积。

2此处应指《周易·系辞下》中所说的“阳卦奇,阴卦偶”。——编者注

古希腊人同样给数字赋予性别气质。他们还在公元前 4 世纪就率先发现,素数是构成所有数字的基础。每个数字都可以写成几个素数的乘积。尽管他们错误地将火、空气、水和土壤看作构成万物的基本元素,但在识别算术的构成元素时,他们的见解是正确的。几个世纪以来,化学家们致力于确定构成万物的基本元素。古希腊人的直觉最终体现在德米特里·门捷列夫的元素周期表中,表中完整地罗列出了各种化学元素。古希腊人已在发现算术的基本构成元素上遥遥领先,而如今的数学家仍对如何构建素数表一筹莫展。

一名来自伟大的古希腊文明研究所(也就是亚历山大图书馆)的图书管理员,是已知的完成素数表的第一人。就像数学界的门捷列夫一样,埃拉托斯特尼在公元前 3 世纪发现了一种简便的方法,用于在数列中寻找素数,比如 1 ~ 1000 的整数。他先把 1 ~ 1000 的所有数字都写下来,之后找到第一个素数 2,再把数列中每两个数字的第 2 个数字划去,因为那些数字都能被 2 整除,所以不是素数。然后他在剩下的数字中找到第一个数字,也就是数字 3。于是他把数列中每 3 个数字中的第 3 个数字划去。道理同上,它们都可以被 3 整除,当然也不是素数。只需要重复这一过程,选择列表中尚未划去的下一个数字,然后划去所有能被新素数整除的数字,就可以得到一张素数表。这种方法后来被称作埃拉托斯特尼筛法。每个新素数会产生一个“筛子”,埃拉托斯特尼用它来清除数列中的非素数。筛子的网孔在每个阶段都有变化,算到 1000 之后,他就可以保证留下的数字都是素数。

高斯小时候收到了一份礼物——一本包含前几千个素数的书,这些素数可能是利用古老的筛法构造的。对高斯而言,这些数字的变化毫无规律可循。预测谷神星的椭圆轨迹已经颇有难度,而分析土卫七(土星的卫星之一,形状像汉堡包)这类星体的旋转轨迹几乎是不可能的任务。探索素数所带来的挑战类似后者。与地球的卫星月球相比,土卫七的引力远远没有那么稳定,旋转也无规律可言。尽管土卫七的旋转和一些小行星的运行轨道都毫无规律可循,但至少我们知道,这是由太阳和行星的引力决定的。但素数为何以这种方式排列,人们对此一无所知。高斯凝视着素数表,他发现其中毫无规律可循。难道数学家们要承认,素数是自然的鬼斧神工,如同夜空中星星的排布一样,既没有规律,也无从解释?对此,高斯是无法接受的。数学家生存的主要动力就是寻找规律,发现和解释自然之本质,并预测未来的发展。

2.1 寻找规律

我们上学时都曾做过的一道数学题体现了数学家对素数的探索。这道题是这样的:给你一个数列,请你预测下一个数字。下面有三个数列:

1, 3, 6, 10, 15, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, …

面对这样的列表,无数问题闪现在数学家的脑海中。这些数字背后的规律是什么?怎样才能预测下一个数字?有没有办法总结一个公式,可以不用运算前面 99 个数字,就能直接得到第 100 个数?

上述第一组数列由所谓的三角形数构成。序列中的第 10 个数字,就是构成一个由 10 行豆子组成的三角形所需要的豆子个数,这个三角形的第一行有 1 个豆子,最后一行有 10 个豆子。因此,只需要将一开始的 N 个数字相加,即可得到第 N 个三角形数,用公式表示为 1+2+3+\cdots+N。如果你想知道第 100 个三角形数,一种劳心费力的方法就是把前面的 100 个数字相加。

实际上,高斯的老师就特别喜欢出这种问题。他知道学生们计算这个问题会花费大量时间,于是他就能趁机打个盹儿。每个学生解出该题后,就把答题卡交给老师。当其他同学开始卖力计算的时候,10 岁的高斯只用了几秒的时间,就把答题卡交上去了。老师十分生气,认为高斯在故意捣乱。但是当他查看高斯的答题卡时,看到上面赫然写着答案: 5050。高斯并没有写出计算步骤。老师觉得,高斯一定是用了什么办法来作弊。但是高斯解释道,需要做的只不过是把 N=100 代入公式 1/2\times(N+1)\times N 中,无须计算数列中的其他数即可得到结果。

相比于正面解决问题,高斯是从侧面出发的。他认为,在一个由 100 行豆子组成的三角形中计算豆子总数,最好是取另一个类似的三角形,将其倒置在第一个三角形上面。至此,高斯得到了一个由 101 行组成、每行包含 100 个豆子的矩形。这样一来,就能轻而易举地计算出该矩形中豆子的总数了,即 101 × 100 = 10 100。那么一个三角形就只有一半的豆子数目,即 1/2 × 101 × 100 = 5050。100 在这里无关紧要,用 N 来代替就能得到一个通用的公式,即 1/2\times(N+1)\times N

高斯有自己的计算思路,他并没有直接求解老师提出来的问题。横向思维,也就是研究问题的新视角,是数学研究中的一个至关重要的主题,也是像年轻的高斯那样思考的人能够成为伟大数学家的原因。

第二个数列,即 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …,由斐波那契数列构成。这一数列背后的规律就是,每一个数都是它前两个数的和,例如 13 = 5 + 8。斐波那契是 13 世纪的一位来自意大利比萨的宫廷数学家。他是从兔子繁殖的规律中发现这个数列的。他原本希望通过宣扬阿拉伯数学家的发现来带领欧洲数学走出“黑暗时代”,然而却失败了。相反,他所研究的兔子使他在数学界名垂青史。他建立的兔子繁殖模型预测了每个新季节的兔子数量增长模式。这一模式基于两大法则:每对成熟的兔子会在每个季节产下一对新兔子;每对新的兔子会历时一季进入繁殖期。

这些数字并不只是兔子这一物种的专利。斐波那契数列在自然界随处可见。例如,花瓣的数目,冷杉球果的螺纹数,以及贝类的生长花纹。

那么,有没有一种像高斯计算三角形数一样,能快速得到第 100 个斐波那契数的公式呢?同样,乍一看我们似乎也得把前 99 个数字两两相加,因为每一个数都是它前两个数的和。是否有这样一个公式,只需要把 100 这个数代入,就能得到结果了呢?这就相当困难了,尽管我们可以简化生成数字的法则。

生成斐波那契数的公式基于一个特别的数字,它被称为黄金比,即 1.618 03...。和 π 一样,黄金比也是个无限不循环小数,每一位小数并无规律可言。但是它浓缩了几个世纪以来,千百万人视如珍宝的完美比例的精华。如果你仔细研究卢浮宫或者泰特美术馆的油画,你就会发现,那些艺术大师通常会选择长宽比为 1.618 03... 的画框。实验发现,肚脐到地面的高度和人的身高的比例同样符合黄金比。黄金比在自然界是一种难以解释的流行比例。尽管小数部分的扩展混乱无章,但这个数字依然是生成斐波那契数的关键。第 N 个斐波那契数可以通过关于黄金比的 N 次幂的公式来得出。

暂且搁下第三个数列,1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, …,稍后再回来挑战一下。斯里尼瓦瑟·拉马努金因发现了这个数列的性质而在数学界树立了很高的声望。他是 20 世纪最著名的数学家之一,有着异乎寻常的能力,可以在其他数学家一无所获的数学领域发现新规律和新公式。

人们从自然界发现的还不止是斐波那契数列。动物王国也深谙素数之妙。有两种蝉,十七年蝉(Magicicada septendecim)和十三年蝉(Magicicada tredecim),因其固定的生命周期而得名。它们精确的生命周期,分别是 17 年和 13 年。它们孵化出来后就一直生活在地下,以树根里的汁液为食。到了它们生命的最后一年,它们就会由幼虫变为若虫,然后大批地钻出地表。这一事件非同凡响,因为每隔 17 年,十七年蝉便会在一夜之间霸占整座森林。它们高声鸣叫,交配,觅食,产卵,然后在 6 周之后死亡。在接下来的 17 年间,这片森林又恢复安宁。但是,为什么这些物种都选择了一个素数作为其生命周期的长度呢?

这里有几种不同的解释。由于这两个物种都将其生命周期进化为素数,它们很少会在同一年大批涌现。事实上,它们每隔 221 = 17 × 13 年,才有一次机会共享森林。试想一下,假如它们选择两个非素数,比如 18 和 12,作为其生命周期的长度。在相同的时间段内,它们会同时出现 6 次,也就是每隔 36 年、72 年、108 年、144 年、180 年以及 216 年。这些数字是以 18 和 12 为因数的合数。由此可见,以 13 和 17 这两个素数作为生命周期的长度,可以避免两种蝉类之间的过度竞争。

另一种可能性就是,有一种和蝉几乎同时出现的真菌。这种真菌对蝉而言是致命的,因此蝉对其生命周期进行调整,以避开真菌。蝉通过将其生命周期调整为 17 或 13,使得二者同时出现时,真菌出现的概率更小。对蝉而言,素数不仅仅是一些稀奇古怪的抽象数字,更是关乎其生死的密码。

蝉的进化或许能揭示素数的奥秘,但是数学家希望能以一种更系统化的方式来发现素数。在所有的数字难题中,数学家孜孜以求的,正是获得素数的神秘公式。不过,在试图发现数学界无处不在的公式与规则时,请务必谨慎。纵观历史,许多人在发现数字 π 的小数位规律之路上一无所获,茫然不知所措。π是数学中最重要的数字之一,激发了一代代人探索的热情。在卡尔·萨根的小说《接触》的开头部分,外星生物利用素数来吸引埃莉·阿洛维的注意。书中无限的信息深藏于 π 的小数延续中,一时间各种 0 和 1 涌现出来,其中的规律意味着“早在宇宙诞生之前,就有智慧存在”。达伦·阿罗诺夫斯基的电影《π》也反映了这种流行的文化现象。

数学家已经证明,所有的数字都有可能出现在无限不循环小数中。这是一个警告,针对的是那些沉迷于探索诸如 π 之类的无限不循环小数中隐藏的信息而不能自拔的数学家们。因此,如果你探索时间足够长的话,也许会发现 π 其实包含了《创世记》的计算机代码。人们也得找到发现规律的正确视角。π的重要性不在于其无限不循环的小数所包含的奥秘,而在于能让我们换一个新视角来思考问题。素数也是如此。依托素数表和横向思维,高斯能够以正确的视角来探索素数,发现隐藏在无序表象背后的规律。

2.2 证明:数学家的见闻

发现数学世界的规律和法则,这只是数学家日常工作的一部分。他们的另一部分工作则是证明这些规律的存在。证明这一概念的提出,也许标志着数学真正开始应用演绎法这门艺术,而不用仅仅依靠数字命理学(numerology)的发现了。这个转折点意义重大,数学界的“炼金术”终于让位于“化学”了。古希腊人率先理解了这一点:无论你需要计算多少数字,或者要检验多少实例,某些事实为真都是可以被证明的。

数学的创新历程往往始于猜想。猜想通常又源于数学家的直觉,而这一直觉是他们长久以来在探索数学世界的过程中形成的。他们能够感知到探索之路充满坎坷、遍布荆棘。有时候,简单的数学实验就能揭示一个人们猜测可能会一直存在的规律。比如,17 世纪的数学家发现了一种用来测试数字 N 是否为素数的方法:先计算 2 的 N 次幂,再将其除以 N,如果余数为 2,那么这个数就是素数。他们觉得这种方法应该是正确的。借助高斯的时钟计算器,数学家尝试在时钟上用 N 小时刻度来计算 2^N 的值。那么难点就在于证明这个猜测是否正确了。这些数学上的猜想或预测,专业名词叫作“猜想”(conjecture)或者“假设”(hypothesis)。

数学上的猜想只有被证明后才能称作“定理”。正是有了这么一个从“猜想”或“假设”到“定理”的过程,数学才能逐渐发展成一门成熟的学科。费马给数学界留下了大量的预测。后来的几代数学家们,也因证明费马的预测而留名青史。诚然,费马大定理总是被称作定理而非猜想。但这种情况很少见,它被称为“定理”有可能是因为费马在丢番图的《算术》一书的空白处写了几行字,大意是他已经有了一个非同凡响的证明,可惜证明过程过长,此处写不下。费马从未在其他任何地方记录过他所设想的证明,而这段关于页边距过小而写不下的言论,也成为了数学史上最大的谜团之一。直到安德鲁·怀尔斯提出论据,证明了为何费马提出的方程无整数解之前,人们都认为这只是费马的胡思乱想罢了。

高斯上学时的经历,正是猜想通过证明蜕变为定理的过程的缩影。高斯创建了一个公式,可以生成任何你想要的三角形数。但他如何保证这一公式放之四海而皆准呢?他的确无法通过测试列表中的每个数来检测公式是否能给出正确答案,因为这个列表无限长。相反,他借助了数学证明这一有力的武器。将两个三角形拼成一个矩形,无须进行无限次的验算,就能保证公式始终成立。相比较之下,17 世纪基于 2^N 的素数验证方法,早在 1819 年就退出数学界的舞台了。该测试方法对所有小于 340 的自然数都有效,但当测试到 340 时,会得出 341 是个素数。这正是测试出错的地方,因为 341 = 11 × 31。这一错误直到高斯设计出钟面刻度为 341 小时的时钟计算器才被发现。时钟计算器用于简化计算诸如 2^{341} (毕竟这个数在传统计算器上有 100 多位)之类的数字。

来自剑桥大学的数学家哈代著有《一个数学家的辩白》一书。他常常把数学发现和证明的过程描述为勾勒远景。他写道:“我始终认为,数学家首先是一个观察者——一个眺望远处连绵不断的山峰,并记录下所见所闻的人。”一旦数学家发现了远处的山峰,接下来要做的就是向人们描述如何才能到达那里。

你从一个风景熟悉而又平淡的地方出发。这片熟悉之地的边界内,有数学公理、那些与数字有关的不证自明的真理,以及那些已得到证明的命题。证明,它就像一条从这片故土穿过数学风景,通往远处山峰的道路。行进速度则受制于演绎法,正如下棋时要合理移动棋子一样,要想通关,你得下对棋。有时候你会陷入僵局,这时就要剑走偏锋,走走边路或者回头路,做到险中求胜。有时候你还需要等待新武器的出现,比如高斯发明的时钟计算器,以便能继续攀登。

对于数学观察者,哈代这样描述:

虽然只需轻轻一瞥,即可获得 B,但他们还是敏锐地发现了 A。最后,他们发现了 A 通向的一处山脊。沿着山脊一直走到尽头,他们发现到达了 B。他们如果希望别人也能看到,就以一种直接的方式或以一种自己能识别的方式指向它。当他们的学生也能看出其中的玄机时,这个研究、理论或证明就算完成了。

证明的过程就是描述数学家通往地图坐标处的那段跋山涉水的旅程。阅读该证明过程的读者,也能体会到如作者般拨云见日的心路历程。这一切不仅因为他们最终发现了登顶的道路,还因为他们明白新发现不会破坏新路线。通常,证明里的 i 懒得加点,t 也懒得加横杠。这是为了描述旅程,而不是为了重现每一步。数学家在证明中提供的论据,旨在为读者在脑海中勾勒出一座山峰。哈代常常将我们给出的论据形容为“具有吸引力的浮夸辞藻,上课时挂在黑板上的图片,以及激发学生想象力的教具”。

数学家痴迷于证明,但不会仅仅满足于一个数学猜想上的实验证明。对于其他学科而言,这种态度往往令人费解,甚至会受到嘲讽。截至目前,哥德巴赫猜想已经验证了多达 4\times10^{14} 个数字,然而依旧无法被称作定理。大多数其他学科都乐于将这种数据作为强有力的论据,然后将注意力转移到其他事情上。如果将来突然出现了新的证据,需要重新评估数学标准,那就照做吧。然而从目前来看,如果这对其他学科意义重大的话,为什么数学却不一样呢?

许多数学家每当想到这一点时便会不寒而栗。正如法国数学家安德烈·韦伊所言:“严谨之于数学家,如同良知之于人类。”部分原因在于,数学上的证据很难评估。揭开素数的奥秘所花费的时间,远比数学其他任何部分所花费的时间都要长。连高斯都曾被大量的数据所迷惑,误以为他对素数的直觉是正确的,然而之后的理论分析证明他被耍了。这就是证明必不可少的原因:起初的想法未必可靠。当其他所有学科都将实验证据奉为金科玉律时,数学家已经懂得了不能轻信任何未经证明的数据。

数学的研究对象是头脑中“虚无缥缈”的思想,因此在某些方面,数学家更依赖于证明来使其与现实世界产生关联。化学家可以开心地研究固体富勒烯分子的结构;基因学家可以直面基因测序给他们带来的实实在在的挑战;甚至物理学家也能通过测量感受到最小的亚原子级粒子和遥远的黑洞 3 的存在。而数学家要做的却是理解那些不存在明显物质实体的对象,比如八维空间 4 里的图形,或者数量大到超过宇宙中原子数量的素数。给定这些抽象概念的调色板,数学家可展开天马行空的想象。如果不经过证明,那么建造的房子可能会像纸糊的一样,一捅即破。对于其他学科而言,通过观察实物加上做实验,就能证明一个物体的存在。其他科学家可以用眼睛直接观测物质实体;数学家却要凭借第六感一般的数学证明来捍卫他们所说的那门看不见的学科。

3黑洞虽然无法直接测量,但是可以通过间接方式得知其存在和质量。——译者注

4在数学中,一个 n 个实数的序列可以被理解为 n 维空间中的一个位置。当 n=8 时,所有这样的位置的集合被称为八维空间。通常这种空间被定义为向量空间,不涉及距离。八维欧几里得空间是一个配备了欧几里得距离的八维空间,它由点积定义。——译者注

再次证明那些已被发现的规律,也能帮助人们在数学上做出更大的贡献。许多数学家更乐于挑战从未被解决的问题,因为沿途中可能会发现妙不可言的数学新知识。而在探索某些问题时,数学先驱们可能不得不走过一段在旅程伊始从未想过的布满荆棘的道路。

但是,为什么数学家会如此孤注一掷地证明某个命题为真呢?或许最令人信服的答案是,数学家对此乐在其中,因为他们所做的事情是令其他学科望尘莫及的。高斯设计的三角形数公式一经证明,就放之四海而皆准。相比之下,其他学科又有几条规律能与其比肩呢?数学也许是一门“虚无缥缈”的学科,但是有效的证明或多或少地弥补了无有形实体这一缺陷。

对其他学科而言,长久以来形成的世界观,一旦遇到改朝换代就会分崩离析。与此不同的是,数学证明的效力是持久不变的。我们因此坚信,素数的相关事实不会因未来的新发现而改变。数学是一座金字塔,是由一代代数学家在前人呕心沥血铺就的基石上搭建而成的。因此,你无须担心这座金字塔在建造途中会坍塌。这种永恒之感令数学家为之着迷。除了数学以外,估计没有哪个学科敢声称,古希腊人所确立的学科观点到今天依然成立。我们今天也许会感到可笑,希腊人竟将水、火和空气看作构成物质的基本元素。未来的人们是否也会像我们看待古希腊人的化学世界观那样,对我们当前的认知——比如,门捷列夫周期表中的 109 个元素 5 是构成世界的基本元素——嗤之以鼻呢?相反,所有数学家都要从古希腊证明的素数开始学习。

5现在的元素周期表第七周期已经排满,共 118 种元素,其他的元素还处于预测阶段。——译者注

坚不可摧的证明,带给数学家的除了来自其他学科的嫉妒之外,还有嘲笑。数学证明能够顶住时间的考验,正如哈代所言,是“永垂不朽”的。这就是那些为生活的不确定性所困扰的人们会不约而同地从这门学科里寻找答案的原因。一次又一次,数学都向那些希望逃离纷乱尘世的年轻人敞开了大门,给他们提供了一个供心灵休憩的港湾,以及无尽的精神慰藉。

数学家对数学证明坚不可摧的信念,也体现在克雷为千禧年难题所制定的规则上。在证明被宣布有效并获得数学界同行的认可两年之后,奖金才会发放。当然,出现小差错也在所难免。但事实是,我们普遍认为,在证明过程中就能发现差错,而无须等待多年,直到新的证据出现。

数学家相信自己拥有绝对正确的证明,是否自视甚高呢?会不会有人反驳说,所有的数字都源于素数这一证明,也会像牛顿经典物理和原子不可分割理论那样被推翻呢?大多数数学家都相信,关于数字的这一不证自明的公理,即使在未来审视,也会颠扑不破。建立在这些基础上的逻辑规则,如果用对了,就能证明更多关于数的命题,而这些证明也不会为新发现所推翻。或许这有些可笑,但这就是数学的最高宗旨。

在穿越数学世界的途中,数学家在记录发现的“新大陆”时,也会有情绪波动。当他们发现了一条路径,可通向几代人可望而不可及的数学山峰时,他们会激动不已,欣喜若狂。这种心情就像谱写了一个精彩的故事,或者创作了一首优美的乐曲,能直击人的心灵,将其从现实带向未知世界。能有幸一睹像费马大定理和黎曼假设那样遥不可及的山峰之芳容,简直不枉此生。但这也无法与一路上披荆斩棘时的成就感相提并论。即使是那些沿着前人足迹攀登而上的人们,也会在灵光一闪发现新证明的那一刻,从心底油然升起一种成就感。这就是数学家们甘愿前赴后继地投身于“证明”的原因,即使他们对黎曼假设之类的命题深信不疑也是如此。这是因为对数学而言,结果固然重要,但过程也同样珍贵。

数学究竟是一种创造行为,还是发现行为呢?许多数学家在创造事物和发现科学绝对真理这两种感觉间摇摆不定。一种说法是,数学思想通常独具个性,并依赖于创造性思维(创造性思维有助于激发这些数学思想的产生)。然而,另一种说法也旗鼓相当,即数学思想富含逻辑,这意味着数学家都生活在同一个充满永恒真理的数学世界中。这些真理只是静静地等着被发掘,而在发掘过程中加入创造性思维并不会破坏其原貌。哈代很好地概括了创造和发现之间的关系,完美地化解了数学家为此所产生的分歧。他总结道:“我相信,数学就在我们身边。我们要做的就是发现或者观察它的存在。那些我们所证明的定理,那些我们夸张地称为创造物的东西,只不过是我们通过观察所记录下来的罢了。”但是转过头,他又喜欢将数学证明过程描述得更具美感。他在《一个数学家的辩白》一书中写道:“数学不是一门需要冥想的学科,而是一门需要创造力的学科。”哈代的这本书,连同亨利·詹姆斯 6 的笔记,被格雷厄姆·格林 7 誉为两本不可不读的佳作。通过这些著作,人们能够了解如何成为一名具有创造力的艺术家。

6美国作家(后加入英国国籍),被认为开创了心理分析小说的先河。其笔记有着极为重要的价值,记录了他的想法和观点,陪伴了他几乎大部分的工作时间。——译者注

7又译为格雷安·葛林,英国小说家、剧作家、评论家。他的小说混合了侦探、间谍和心理等多种元素。——译者注

尽管素数和数学的其他一些方面超越了人类认知的范畴,但是大多数数学知识都很有创造性,是人类智慧的结晶。数学家的故事告诉我们,这门学科的证明是可以通过不同方式来阐述的。怀尔斯有关费马大定理的证明就像瓦格纳的歌剧《尼伯龙根的指环》8 一样晦涩难懂。数学是一门创造性艺术,它受到一定规则的制约,就像写诗和弹奏蓝调音乐一样。数学家在做证明时,也会受到一定逻辑规则的限制。然而,即使在限制条件下,他们依旧十分自由。实际上,“戴着镣铐跳舞”的美感在于,你被推向了一个新方向,却发现了你从未想过可以独立发现的新事物。素数就像音阶里的音符,每一类文明都以其独特的方式演奏这些音符,诉说着远远超出人们想象的历史和人文印记。素数的历史是一部对永恒真理的探索史,同时也是反映社会现实的一面镜子。17 ~ 18 世纪,随着人们越来越热衷于机器,在探索素数时,他们也会更注重实践以及实验研究。相比之下,处于欧洲文艺复兴时期的人们在探索素数时,会受到当时那些抽象新概念、新思想的影响。如何选择讲述穿越数学世界的历程的方式,取决于数学家当时所处的社会文化环境。

8《尼伯龙根的指环》(Der Ring des Nibelungen),本意为尼伯龙人的指环,是一个由四部歌剧组成的系列,由瓦格纳作曲及编剧,于 1848 年开始创作,至 1874 年完成,共历时 26 年。其创作灵感来自北欧神话故事及人物,特别是冰岛人的传说(Icelanders' sagas)。——译者注

2.3 欧几里得的预言

这些故事来自古希腊人的口口相传。他们意识到,证明的力量在于能够铺就一条永久的通往数学山峰之路。一旦实现了证明,就无所谓路途遥远,也无所谓海市蜃楼。举个例子,我们怎么能确定,数字中就不会有无法用素数构成的漏网之鱼呢?希腊人首先给出了证明,使他们以及后人深信是不会有什么漏网之鱼的。

数学家常常从一个普遍理论的特例入手,进行证明,然后研究为什么该理论对此例成立。他们希望论证的观点或方法能具有普适性。例如,为了证明每个数字都可以表述为素数的乘积,先从一个特例入手,即数字 140。假如你已经确定,小于 140 的每个数字,要么是素数,要么是素数的乘积。那么,140 是什么数呢?它会不会就是反常数,也就是无法用素数乘积表述的那条漏网之鱼呢?首先你会发现这个数并非素数。接下来要怎么做呢?只要把它分解为两个较小数字的乘积就好了。比如 140 = 4 × 35。现在我们已摸到窍门了。我们已经证明了小于 140 的两个数字 4 和 35 都能写成素数的乘积,即 4 = 2 × 2 和 35 = 5 × 7。由此,就能得出 140 实际上是 2 × 2 × 5 × 7 的乘积。因此 140 也就不是什么漏网之鱼了。

希腊人发现,这种将特例转化为一般性规律的方法,能应用于所有数字。有意思的是,他们的证明是从假设某个命题为真开始的,也就是存在既非素数又不能用素数乘积来表示的反常数。如果有这样的反常数,那么当我们按顺序计数检查时,就一定能遇到第一个这样的反常数,我们称之为 N(有时候亦称为最小罪犯)。既然假设数字 N 不是素数,那么它就一定能表示为两个更小的数 AB 的乘积。如果不能,那么 N 就是素数。

既然 AB 两数比 N 小,那么关于 N 的问题就简化为 AB 能否写成素数乘积的问题了。因此,如果把 AB 的素因数相乘,那就一定能得到最初的那个数字 N。现在 N 可以由素数乘积来表示,这和一开始的假设相矛盾。因此,存在反常数字这一说法就不攻自破了。由此可知,每个数字要么是素数,要么可以由素数的乘积来表示。

当我和朋友们探讨这个问题时,他们感觉似乎被耍了。这相当于先假设你有个想证明不存在的东西确实存在,然而你最终证明了其确实不存在。这种陈述确实让人有点不知所云。采用这种思考不可思议之事(thinking the unthinkable)的策略,是希腊人用于证明过程中的一种强力武器。它利用了命题要么为真、要么为假这一逻辑事实 9。假设一个命题为假,然后推出矛盾,从而推出最初的假设错误,得到该命题一定为真的结论 10

9经典逻辑中有排中律和(不)矛盾律的规定。排中律指两个互相矛盾的命题不能同假。(不)矛盾律指两个互相矛盾的命题不能同真。总之,两个互相矛盾的命题必定一真一假。——编者注

10即“反证法”。——编者注

希腊人的证明过程迎合了多数数学家“爱偷懒”的毛病。他们不是直接对所有数字进行无穷大运算,来证明所有的数字均可以表述为素数的乘积,而是做出一些抽象假设,抓住这类运算的核心。这就好比有一架无穷长的梯子,你无须亲自去爬就能知道它的样子。

比起其他的希腊数学家,欧几里得最有资格被视为证明之道的开创者。他是希腊学院的成员之一,该学院是由埃及托勒密王朝国王托勒密一世于公元前 300 年左右在亚历山大城建立的。在那里,欧几里得写出了足以载入史册的最具影响力的教科书《几何原本》。在该书第一部分,他建立了用于描述点线关系的几何公理。这些公理被当作不证自明的几何真理,因此,几何在那时可作为一种数学工具,用于描述物质世界。之后,他借助逻辑推理,推出了 500 条几何定理。

在《几何原本》一书的中间部分,欧几里得处理了数字的性质。也就是在这一部分中,我们发现了许多真正意义上的数学推理过程。在命题 20 中,欧几里得阐释了一个关于素数的简单而基本的事实:素数有无穷多个。他着眼于这一事实:所有数字都可以由素数相乘得到。紧接着,他做出进一步证明。他反问自己,如果这些素数就是构建所有数字的基石,是否可能存在一个确定的数字来描述这些基石的总数?化学元素周期表是由门捷列夫构建的,所有的物质都可以由当前发现的 109 种原子构成。素数是否也是这样呢?假如有个“数学界的门捷列夫”跳出来,让欧几里得来找出他的“素数周期表”之外的素数,那么会怎样呢?

举例来说,为什么不是所有的数字都可以简单地写成 2、3、5、7 这几个素数的乘积呢?欧几里得想到,你可能会去找由其他素数构成的数字。你可能会这么想:“那挺简单的,就拿下一个素数 11 为例吧。”这肯定不是由素数 2、3、5 或者 7 构成的。但是这种策略早晚会失效,因为即使到现在我们也没有推导出下一个素数的确切方法。也正是因为这种不可预测性,欧几里得需要另辟蹊径,以找到一种行之有效的办法,不管素数的列表有多长。

这些的确是欧几里得自己的想法,还是仅仅由他记录下来的来自亚历山大城其他人的想法,我们就不得而知了。无论何种情况,他都可以展示如何构建数字,而这些数字是无法通过已知的有限素数列表来构建的。选取数字 2、3、5、7,欧几里得将它们相乘,得到 210。接下来的这一步是神来之笔:他在这个乘积的基础上加 1,用这样一种方式合成了一个无法被 2、3、5、7 整除的数字。给乘积加 1 就意味着,被这些素数除的时候永远会余 1。

现在欧几里得了解到,所有的数字都可以用素数的乘积来表示,那么数字 211 呢?它不能被 2、3、5、7 整除,因此应该还有其他的素数可以构成这个数字。然而这个特例中,211 本身就是个素数。欧几里得并没有宣称这种方法构建的都是素数。他只是想找到由“数学界的门捷列夫”所列的素数表之外的素数构成的数字。

举例来说,如果有人宣称所有的数字都可以由有限的素数 2、3、5、7、11、13 构成,那该怎么办呢?依照欧几里得的方法,可以计算出 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 1 = 30 031。这个数字就不是素数。综上所述,欧几里得的结论是,给定任意多个有限素数,可以创造出原先列表中没有的素数。本例中的新素数就是 59 和 509。但是通常情况下,欧几里得无法确切得知新素数的值。他只知道这个数一定存在。

以上证明令人拍案叫绝。欧几里得并不知道如何精确地生成素数,但是他可以证明存在无穷多的素数。很明显,我们也不知道欧几里得计算出的数字能否生成无穷多的素数,虽然通过它们也足以证明存在着无穷多的素数。由于欧几里得的证明,我们再也无法得知素数的周期表,或者一窥素数基因组成代码的奥秘了。类似收集蝴蝶标本的简单做法,已经无法使我们理解这些素数了。于是终极难题出现了:数学家在装备有限的情况下,将挑战无穷无尽的素数。我们如何才能在混沌无序的素数丛林中开辟出一条道路,并发现预测其行为走向的规律呢?

2.4 寻找素数

历代数学家力求在欧几里得探索素数之路上,能够百尺竿头、更进一步,但均以失败收场。不过,其中也不乏一些令人瞩目的猜想。但是正如来自剑桥大学的哈代所言:“关于素数,就算一个傻子也能提出聪明人回答不了的问题。”例如,孪生素数猜想说的就是,判断是否存在无穷多个素数 p,使得 p+2 也是素数。这样的 11 素数对的一个例子是 1 000 037 和 1 000 039。注意,这里是两个素数最靠近彼此的时候,因为 NN+1 不可能都是素数。(N=2 时除外,因为这些数中至少有一个能被 2 整除。)奥立弗·萨克斯书中提到的自闭症天才双胞胎,他们会有发现孪生素数的特殊办法吗?两千年前的欧几里得已经证明了存在无穷无尽的素数,但是没人知道是不是超过一定范围后就不再出现如此接近的两个素数。我们相信存在无穷多的孪生素数。可猜想相对容易,证明起来则难于上青天。

11后来有人提出了更强的哈代 - 利特尔伍德关系。华人数学家张益唐也做出了相当大的贡献,通过证明将两素数之差缩小到 70 000。之后,陶哲轩带领团队和志愿者继续在此方向努力,将差缩小到 246。——译者注

数学家致力于提出一个能生成所有素数(即使不能,那也得至少能生成一个素数列表)的公式。费马认为自己就有这样一个公式。他猜想,如果将 2 求 2^N 次幂,然后加 1,得到的值是 2^{2^N}+1,这就是一个素数。这个数字被称为第 N费马数。例如,取 N=2,将其作为 2 的指数,得到 4,再求 2 对该数的幂次,得到 16。然后再加 1,就得到了一个素数 17,也就是第 2 个费马数。费马认为这一公式总能得到素数。但是结果证明,他的猜想是错误的,费马数很快就会变得无穷大。仅第 5 个费马数就有 10 位数字,超出了费马的运算能力。这正是第一个非素数的费马数,它可以被 641 整除。

费马数深得高斯之心。事实上,17 是费马素数,也是高斯完成正 17 边形的关键。在他的伟大著作《算术研究》中,高斯说明了原因。如果第 N 个费马数是素数的话,那么可以仅利用尺规作图就画出一个正 N 边的几何图形。第 4 个费马数是 65 537,这是个素数,因而可以通过尺规作图完成正 66 537 边形。

虽然费马数只生成了 4 个素数就黯然落幕了,但是费马在探索素数性质的其他领域取得了更大的成就。他发现一个有意思的事情,就是某些素数如果被 4 除的话,那么往往余数是 1,比如素数 5、13、17 和 29。这种素数可以用平方数的和来表示,例如 29=2^2+5^2。这成了费马的另一个谜团。尽管他宣称对此已做出了证明,却未能留下更多细节。

1640 年圣诞节那天,费马在一封寄给名叫马兰·梅森的法国修道士的信中写下了他的发现,即某些特定的素数可以写成两个平方数的和。梅森的兴趣不仅仅局限于做礼拜之类的宗教事宜。他热爱音乐,并首先提出了谐波相干理论。同时他也热爱数字。梅森和费马定期通过书信交流在数学上的发现,梅森也将费马的观点传播给更多受众。梅森因促进各国数学家之间的沟通交流而声名远播。

和历代沉迷于探索素数规律的人们一样,梅森也深陷其中。他虽然也无法找寻到一个生成所有素数的公式,但是无意间发现了一个公式,该公式经证实,从长远来看,与费马的公式相比,在寻找素数上更加有效。和费马一样,他也先考虑 2 的幂。但是他并没有加 1,而是减 1。比如,2^3-1=8-1=7,这就是一个素数。音乐上的天赋也对梅森大有助益。音符频率加倍,即可升阶八度音程,所以 2 的幂次可以产生悦耳的泛音。你也许想改变一音程,而听到一个不和谐的、和先前的频率不一致的音符,即一个“素数”音符。

梅森很快就发现,该公式并非每次都能生成素数。例如,2^4-1=15。梅森意识到,如果 n 不是素数的话,那么 2^n-1 也不可能是素数。不过他大胆地宣称,如果 n 不超过 257,且是 2、3、5、7、13、19、31、67、127、257 中的任一数字,那么 2^n-1 一定是素数。他还发现,即使 n 是素数,也仍然无法保证 2^n-1 是素数。通过手动计算 2^{11}-1 的值,得到 2047,它是 23 和 89 的乘积。梅森能确定诸如 2^{257}-1 之类的大数是素数,历代数学家对此赞不绝口。这个数字有 77 位。是因为掌握了什么超越人类计算能力的神秘算法公式,才让这个修道士确定这个数就是素数吗?

数学家相信,如果人们继续探索梅森的数列,一定会发现有无穷个 n 满足条件,使 2^n-1 生成的是素数。但是我们还无法证明该猜想为真。我们期待当代的欧几里得能证明,梅森利用该公式生成的素数会有无穷个。或者,这个遥不可及的山峰也只是海市蜃楼而已。

和费马以及梅森同时代的数学家,开始从数字命理学的角度探索和解读素数,但他们所使用的这种方法并不符合古希腊人的证明思想。这一定程度上解释了为何费马难以对其诸多发现做出证明。当时的人们明显对这种需要提供逻辑解释的问题缺乏兴趣。与数学家不谋而合的是,该学科越来越注重实践。这是因为,在一个日益机械化的社会,研究结果是靠其在实际应用中的效果来检验的。然而在 18 世纪,一位数学家使人们重新燃起了对数学证明的热情。他就是出生于 1707 年的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,他解释了许多由费马和梅森发现的、但未被证明的理论。欧拉的方法为此后我们理解素数打开了一扇新的理论之窗。

2.5 欧拉:数学之鹰

在 18 世纪中叶,宫廷资助之风盛行。当时的欧洲处于大革命前夕,各个国家纷纷实行开明君主专制。实行此政策的君主分别是:柏林的腓特烈大帝,圣彼得堡的彼得大帝和凯瑟琳大帝,巴黎的路易十五和路易十六。他们的资助促进了学术界的发展,这反过来又促进了启蒙运动时期理性主义的盛行。他们确实将其看作自己备受宫廷智囊团支持的标志。他们也深知科学和数学在提升国家军备实力和工业实力方面拥有巨大潜力。

欧拉的父亲是一位牧师,他原本希望欧拉能子承父业,在教堂工作。然而,少年欧拉过早展现出的数学天赋,引起了当权者的注意。很快,欧拉就收到了欧洲各地科学院抛来的橄榄枝。他想要加入法国科学院,那里是当时数学研究最活跃的地方。不过后来,他在 1726 年接受了圣彼得堡科学院发来的聘书。当时彼得大帝正在推行教育改革,以提升俄罗斯帝国的教育水平。该科学院为此提供了坚实后盾。他还加入了来自巴塞尔的朋友组成的数学阵营,他们使高斯在幼年时就燃起了对数学的兴趣。他们在圣彼得堡写信给欧拉,问他能否从瑞士带来 15 磅咖啡、1 磅最好的绿茶、6 瓶白兰地、12 打上好的烟斗和几十包扑克牌。欧拉带着这些礼物包裹,历时 7 周,一路上经历乘船、徒步、坐马车等舟车劳顿的经历,终于在 1727 年 5 月抵达了圣彼得堡,那个他能追求数学梦想的地方。他随后做出的贡献是如此巨大,涉猎的范围是如此之广,以至于直到欧拉 1783 年去世后的大约 50 年里,圣彼得堡科学院还在发表其收藏在档案馆里的文件。

在圣彼得堡科学院度过的岁月里,欧拉身上发生过各种各样的故事。其中一个故事可以完美地诠释宫廷数学家所扮演的角色。凯瑟琳大帝正在招待法国著名的哲学家和无神论者丹尼斯·狄德罗。狄德罗一直仇视数学,认为它没有任何实际意义,所能做到的仅仅是在人与自然之间隔上一层面纱。凯瑟琳很快就厌烦了这个客人,不单单是因为狄德罗对数学的蔑视,更是因为他对朝臣宗教信仰的嘲弄令人恼火。欧拉很快被召进宫,来让这个令人忍无可忍的无神论者闭嘴。出于对凯瑟琳大帝提供资助的感激,欧拉欣然前往。当着狄德罗的面,欧拉义正词严地说:“先生,(a+b^n)/n,因此上帝存在。为什么呢?请回答我!”据说,狄德罗面对这个数学公式,一时间不知所措,只得仓皇而逃。

这件趣事是由英国著名数学家和逻辑学家奥古斯塔斯·德摩根 12 在 1872 年讲述的。这个故事可能是为了娱乐大众而被人添枝加叶、大肆渲染。不过,它反映了当时大多数数学家喜欢贬低哲学家的心态。但这同时也反映出,欧洲宫廷贵族认为,他们必须将数学家与文学家、艺术家和作曲家同等视之。只有了解了数学家的世界,他们的人生才称得上完整。

12英国数学家,他明确提出了德摩根定律,将数学归纳法的概念严格化。他曾担任伦敦数学学会的第一任会长。——译者注

凯瑟琳大帝对通过数学方法证明上帝存在并不太感兴趣。她更关注的是欧拉在液压、船舶设计和弹道上所做的研究与贡献。这位瑞士数学家的兴趣极为广泛。他不但研究数学在军事上的应用,还得到了数学与音乐有关的理论。但令人哭笑不得的是,他的这一理论,在数学家看来,过于依赖音乐知识;而在音乐家看来,又过于依赖数学知识。

他的一个众所周知的成就,就是解答了“柯尼斯堡七桥问题”。普列戈利亚河,现在被称作普雷戈里亚河,流经柯尼斯堡,在欧拉所处的时代属于普鲁士(现在属于俄罗斯,被称作加里宁格勒)。其河流分支在小镇的中心形成了两个小岛。柯尼斯堡人为了渡河方便,修建了七座桥。

能否有人穿过小镇,而每次只经过一座桥,然后再回到原处呢?这已经成了长久困扰该镇市民的一大难题。欧拉在 1735 年证明,这是一个不可能的任务。他的证明经常出现在拓扑学教材的开篇处。在拓扑学中,一个问题的实际物理维度无关紧要。欧拉解决该问题的关键,在于连接小镇不同部分的网络,而不在于这些不同部分的具体位置和彼此间的距离。伦敦地铁线路图的绘制就利用了这一原则。

正是那些数字使欧拉沉浸其中,不能自拔。正如高斯所写的那样:

来自这些领域的特殊之美,抓住了那些进取之人的心。但是没有人像欧拉那样兴奋,他几乎在每一篇关于数论的文章中,都不吝表达自己的喜悦之情。这种喜悦之情,源于他做出的每一项研究,还源于他发现的某些规律在实际应用中所带来的可喜变化。

和克里斯蒂安·哥德巴赫的通信点燃了欧拉探索数论的热情。哥德巴赫是一位生活在莫斯科的德国业余数学家,被圣彼得堡科学院聘为行政秘书。和先前的业余数学家梅森一样,哥德巴赫也深深沉浸在数字的世界里,经常做一些与数字相关的试验。在给欧拉的信中,他提到了自己做出的以下猜想:每一个偶数都可以写成两个素数的和。欧拉回信给哥德巴赫,让他来试验自己提出的许多证明方法,以验证费马的各种神秘发现。费马缄默不语,给世界留下了许多素数的谜团。与之截然不同的是,欧拉乐于向哥德巴赫展示,他证明了费马的命题,即素数可以写成两个平方数之和。欧拉甚至成功地证明了一个与费马大定理相关的实例。

欧拉尽管对数学证明热情高涨,但是从本质上来说,他是一名实验型数学家。他的许多论证都带有某种数学风气,包含并不完全严格的步骤。如果这带来了有意思的新发现,他也不以为意,泰然处之。作为数学家,他计算能力超群,善于利用数学公式推导出一些稀奇古怪的数字关系。正如法国的科学家弗朗索瓦·阿拉戈所发现的那样:“欧拉运算起来毫不费力,如同人类呼吸或者鹰在风中翱翔一样。”

与其他计算相比,欧拉对素数的计算情有独钟。他制作了一张最大素数可达 100 000 的素数表,还做出了一些其他贡献。在 1732 年,他还首次证明,费马提出的素数公式,即 2^{2^N}+1,在 N=5 时不成立。利用新的理论思想,他成功地证明了如何将这个 10 位数字分解成两个更小数字的乘积。最引人注目的是,他似乎发现了一个可以生成神秘素数的公式。1772 年,欧拉将 0 ~ 39 的所有数字逐个代入公式 x^2+x+41,并计算出所有结果。于是他得到了以下数列:

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

利用这个公式能生成的素数如此之多,这似乎有点不同寻常。欧拉意识到,这一运算过程可能会在某一点被迫中断。很显然,在输入 41 时,结果就可以被 41 整除。当然,当 x=40 时,得到的已经不是一个素数了。

然而,这个公式依旧令欧拉大为惊叹。他开始研究,如果用其他数字替代 41 的话,会不会有同样的效果呢?他发现,公式 x^2+x+q,除了 q=41,还可以让 q=2、3、5、11 或者 17,在输入从 0 到 q-2 的所有数字时,也可以输出素数。

伟大如欧拉,也无法找到一个简单如斯的公式,以生成所有素数。正如他在 1751 年所写的那样:“有些神秘的真相,对于人类来说是不可触及的。我们只需瞥一眼素数表就会明白,有些存在确实既无序又无规律可言。”这些组成遍布公式、公理的数学世界的基本元素,竟然以这样一种随意而不可测的方式存在着,着实令人不可思议。

但事实是,欧拉缺少的只是一个解开素数身上“紧箍咒”的方程。但这要等几百年后一个伟大的人物横空出世,来完成欧拉未能完成的任务。这个人就是伯恩哈德·黎曼。不过,正是由于高斯提出了经典的横向思维方法,才最终启发了黎曼从新的视角探索素数。

2.6 高斯的猜想

如果几个世纪以来,数学家在探寻生成素数序列的神秘公式之路上都无功而返的话,那么或许是时候另辟蹊径,采取一种不同的策略了。15 岁的高斯在 1792 年就是这么想的。在此一年前,他收到了一份生日礼物,那是一本介绍对数的书。直到几十年前,学校才大力推广对数表。随着计算器的发明,对数表在人们的日常计算中不再是不可或缺的。但是几百年前,每个航海家、银行家和商人都会研究这些表,将复杂的乘法变成简单的加法。在高斯收到的新书背面,是一张素数表。不可思议的是,素数和对数竟出现在一起。经过复杂运算后,高斯发现,这两个看起来毫不相干的主题之间似乎有着千丝万缕的联系。

1614 年,第一张对数表问世,那是一个巫术和科学并存的时代。该对数表的创作者是一位苏格兰领主,名为约翰·纳皮尔,他被当地居民视为一个在暗处从事魔法活动的人。他一身黑袍,潜伏在城堡周围,肩上站着一只乌黑的公鸡,嘴里念念有词,从代数启示录中预测到,最后的审判将在 1688 ~ 1700 年来临。将数学技能用于玄学的同时,他也揭开了对数函数的神秘面纱。

如果在计算器上输入一个数字,比如 100,然后求对数,那么计算器就会输出另一个数字,即 100 的对数。计算器的工作就是解答以下问题:找到数字 x,使得 10^x=100 成立。此处计算结果为 2。如果输入的是 1000 的话,也就是 100 的 10 倍,那么计算结果就是 3。对数增加了 1。这就是对数的重要特性:它将乘法变成了加法。每当我们将输入数据乘以 10 时,将先前的结果 1,就能得到新的结果。

对数学家来说,如果能意识到他们可以谈论的并非只有那些由 10 的整次幂生成的数字的对数,那么就已经迈出了至关重要的一步了。例如,高斯在对数表中查找 128 的对数时发现,对于 10,取其 2.107 21 次幂,就可以得到一个约等于 128 的数值。这些计算均记载在纳皮尔于 1614 年制作的对数表中。

在 17 世纪,对数表推动了商业和航海业的蓬勃发展。对数为乘法和加法搭建了一座沟通的桥梁,帮人们将复杂的大数乘法运算变成简单的对数加和运算。对于大数的乘法运算,只需要对其对数进行加和运算,然后利用对数表找到最初乘法的结果即可。利用对数表,海员减少了失事船舶的数量,而售货员扭转了交易的崩盘。

但是,那张附在对数书后面的素数表,激起了青年高斯的兴趣。和对数不同的是,素数表在实际生活中被认为无用武之地,而那些实验型数学家研究它们只是出于好奇罢了。(在 1776 年由安东尼奥·费尔克尔制作的素数表,当时被认为毫无用处,以至于在奥土战争中被用作弹药筒。)对数可以预测,素数却比较随机。比如,似乎根本无法预测 1000 之后的第一个素数是多少。

高斯迈出的重要一步就是提出了一个不同的问题。他并没有尝试去求下一个素数的精确值,而是看看能不能预测出某个数值范围内有多少个素数,比如前 100 个数字中,前 1000 个数字中,以此类推。对任意数 N,是否有办法估算出 1 ~ N 内到底有多少素数?例如,1 ~ 100 的范围内有 25 个素数。如果换到 1 ~ 1000 或者 1 ~ 1 000 000 的话,那么这个比重会有怎样的变化?高斯开始了对素数表的探索之旅。当观察素数比重时,他发现,随着计算的数字越来越多,一条规律逐渐浮现了出来。尽管素数还是那么无序,一个惊人的规律似乎就要浮出水面了。

如果看看以下的表格,其中列出了 10 的不同幂次以内的素数个数,基于更先进的计算方式,那么这一规律就显而易见了。

这个表格包含了更多的信息,能将高斯发现的规律更清晰地展示出来。在最后一列,这一规律就不证自明了。这一列,就是素数占所有考虑在内的数的比重。例如,1 ~ 100 的数字中,有 1/4 是素数,所以差不多平均每往后计算 4 个数字就能找到下一个素数。而在 1 ~ 10 000 000 的数字中,有 1/15 是素数。(也就是说,一个 7 位电话号码有 1/15 的可能是素数。)对大于 10 000 的 N 来说,根据最后一列的比重,似乎幂次每增加 1 就增长 2.3 左右。

因此,高斯每次进行 10 倍递增数字时,便在素数与所有数字之比上加约 2.3。乘法和加法的关系可以用对数准确地表述出来。高斯可能在那本对数书中发现,这一关系就明明白白地摆在眼前。

高斯每次把数字乘以 10 后,素数比重每次增加 2.3 而不是 1 的原因在于,素数对除 10 之外的幂次的对数青睐有加。在计算器上求 100 的对数,结果就是 2,也就是方程 10^x=100 的解。但是这也并没有要求我们必须算 10 的 x 次幂。可能是因为大部分人都有 10 根手指,所以就对 10 情有独钟了吧。选择的数字 10,称作对数的。我们可以谈谈以其他数为底的对数。例如,以 2 为底 128 的对数,就要解另外一个方程,找到符合 2^x=128x。在计算器上计算以 2 为底的 128 的对数,得到的结果就是 7,因为我们需要对 2 进行 7 次相乘才能得到 128。

高斯发现的素数,在对数中可以利用一个特殊的数为底,这个特殊的数就是 e,保留 12 位小数为 2.718 281 828 459...(和 π 一样,这个数字是无限不循环小数)。在数学上,e 和 π 的地位相当,在数学界无处不在。这就是为何要将以 e 为底的对数称作“自然”对数的原因。

高斯 15 岁那年看到的对数表,令他产生如下猜想:对于 1 ~ N 的数字,大概每 \log(N) 个数字后就会出现一个素数(这里 \log(N) 指以 e 为底的 N 的对数)。不过,高斯并没有宣称自己发现了一个巧妙的公式,可以精确计算出 N 以内的素数个数,它只是能大致估计出素数的个数罢了。

这和他之后重新发现谷神星所应用的方法相似。基于记录数据,他提出了一种天文学方法,可以更好地预测出可供观测的小区域空间。高斯将这种方法运用在素数上。历代数学家都为如何发现能够准确预测下一个素数的公式所深深困扰着。某个数字到底是不是素数?高斯并没有执着于此,反而触碰到了某种规律。他另辟蹊径,探索一个更宽泛的问题,即 1 ~ 1 000 000 的数字内到底有多少素数,而不是纠结于哪些数字为素数。这时,一条规律似乎呼之欲出了。

高斯在寻找素数的方法上做出了重要的思想转变。这就好比前人聆听素数的乐章时是一个音符一个音符地听,这样是无法感受到整体韵律之美的。将精力集中在统计有多少个数字上,高斯就发现了一种新方法,来聆听最动人的主旋律。

在高斯之后,1 ~ N 的素数个数用符号 \pi(N)(这只是一种表示形式,和 π 并无关系)来表示就成为了一种约定。有些遗憾的是,高斯使用了一个可能会让人当作圆周率 3.141 5... 的符号。我们把它当成计算器上的一个新按钮就好了。输入 N,然后按 \pi(N) 键,计算器就会输出 1 ~ N 的素数个数。例如,1 ~ 100 的素数个数就是 \pi(100)=25,1 ~ 1000 的素数个数就是 \pi(1000)-168

注意,你还可以用这个新的“统计素数”按钮,来准确检查何时会得到一个素数。如果你输入 100,然后按下按钮,统计 1 ~ 100 的素数个数,那么结果就是 25 个。如果你输入 101 的话,结果是 26 个素数,那么第 101 个数就是一个新的素数。也就是说,当 \pi(N)\pi(N+1) 不同时,N+1 就是一个新的素数。

为了彻底弄清楚高斯发现的这个规律,我们可以查看 \pi(N) 函数的图像,其中统计了 1 ~ N 的所有数字里包含的素数个数。以下为 \pi(N) 的函数图像,计算了 1 ~ 100 的素数个数 N(见下图)。

素数阶梯:图像展示了 1 ~ 100 的素数累计数目

我们可以从图中看到,在较小范围内,结果呈阶梯状跳跃,很难预测什么时候会出现下一个台阶。在这一范围内,我们看到的仍旧是素数的细枝末节,也就是独立的音符。

现在回过头看原来那个函数,让 N 取更大的值,比如计算 100 000 以内的素数总数(见下图)。

素数阶梯:图像展示了 1 ~ 100 000 的素数累计数目

此时单一步骤变得无足轻重,我们要看的是这个函数的总体攀升趋势。这就是高斯听到的最动人的主旋律,并能通过对数函数模拟这一主旋律。

尽管素数是不可预测的,但是从上图来看,素数阶梯似乎是一条平滑的直线。这成为了最神秘的数学难题之一,也是素数探索史上的一个里程碑。高斯在那本对数书的背面记录了他所发现的利用对数函数计算 N 以内的素数个数的公式。尽管这一发现举足轻重,他却没有告诉任何人。关于这一发现,世人听到最多的,就是他说过的高深莫测的一句话:“你不知道,一张对数表里藏有多少首诗。”

高斯为何对如此重大的发现缄口不言,这始终是个谜。事实上,他也只是初步发现了素数和对数函数的某一关系。他知道,自己无法解释或证明两者之间为何有所关联,也不清楚当统计数量变大时,这种规律是否会突然消失。高斯不愿宣布的未经证明的这一结果,标志着数学史上的一个转折点。尽管古希腊人将证明看作数学进程中一个十分重要的组成部分,但是高斯之前的数学家醉心于利用数学进行科学的猜测。如果某一猜测成立,他们也就不太热衷于通过一套严格的程序来证明其为何成立了。数学始终充当其他科学的工具。

高斯强调了证明的重要性,打破了传统思想的桎梏。对他而言,数学家的首要使命就是提供证明,这是至今都遵循的最基本的理念。如果不证明对数和素数间的关系,那么高斯的发现对其而言将一文不值。布伦瑞克公爵提供的资助,使他可以自由选择并专攻于某项数学研究。驱使他研究素数的不是名利,而是出于对他所热爱的学科的一种独特理解。他在印章上刻下座右铭“少而精”(Pauca sed matura)。对高斯而言,未经过充分证明的结果,也就只能记录在日记本里或者随手写在对数表背面。

对高斯而言,探索数学知识纯属个人行为,是一个人的征程。他甚至利用密码给自己的日记加密。其中一些密码较容易破解。例如,在 1796 年 7 月 10 日,高斯写下了阿基米德的名言“我知道了”(Eureka)13,后面跟着一个方程:

13阿基米德为了帮国王验证王冠是否为纯金打造而冥思苦想,在洗澡的时候发现浮力等于排开水的重量,于是一边光着脚跑出去,一边喊着:“我知道了!”——译者注

{\rm num}=\Delta+\Delta+\Delta

这代表了他的发现,即每个数字都可以写成一组三角形数之和,即 1、3、6、10、15、21、28,等等。高斯用这些数在课堂上写成了一个公式。例如,50 = 1 + 21 + 28。但是其他的密码依旧成谜。高斯于 1796 年 10 月 11 日写下的“victus GEGAN”,始终无人能够破解。一些人指责说,高斯对自己的新发现守口如瓶,而他的保守令数学的发展晚了半个世纪。如果他能对自己一半的发现做出解释,且解释中不出现密码的话,那么数学可能会获得更快的发展。

另一些人则认为,高斯对自己做出的发现守口如瓶的原因在于,法国科学院曾经拒绝过那篇他写就的关于数论的鸿篇巨制《算术研究》,称其内容太过晦涩,且篇幅过长。因拒稿而深感受挫的高斯,为了使自己免于受到更多伤害,在发表任何东西前都要坚持找到数学拼图的最后一块。《算术研究》面世后并没有立即得到好评,部分原因在于,高斯将其公之于众时,依然使用密码。他一直强调,数学就像一座建筑物,而建筑师从来不会给人们留下脚手架来看建筑是如何建成的。这种观念无益于数学家理解高斯的数学。

但是,法国科学院之所以将高斯满怀期待的投稿拒之门外,也受到了其他因素的影响。对于 18 世纪末的法国,数学的存在意义就是不断满足这个日益强大的工业国家的发展需求。1789 年爆发的法国大革命,预示着拿破仑需要一个高度集中化的军工理论教学体系。因此,他创建了中央公共工程学院(现在称为巴黎综合理工大学),以进一步推动其战争计划。拿破仑宣称:“数学的发展和完善,与国家的繁荣息息相关。”法国的数学家致力于解决弹道和液压方面的问题。不过,尽管法国如此强调数学的实用性,一些被誉为欧洲顶级的纯理论数学家仍是其引以为豪的。

其中一位数学界泰斗就是来自巴黎的数学家阿德里安 - 马里·勒让德。他比高斯大 25 岁。肖像画里的勒让德,是一位大腹便便的绅士,那张脸又大又圆。和高斯不同的是,勒让德来自一个富裕家庭。但是在法国大革命时期,他的家族家道中落了。因此,他只能靠数学天赋谋生。他同样对素数和数论感兴趣。在 1798 年,也就是少年高斯发明时钟计算器的 6 年后,他宣称发现了素数和对数间的实验性关系。

尽管此后证明,高斯的发现比勒让德的略胜一筹,但是勒让德提高了 N 以内素数统计的精确度。高斯猜测,N 以内的素数个数大概为 N/\log(N)。尽管这已经非常接近实际数字了,但是当 N 的值越来越大时,自然就偏离了实际结果。如下图所示,下方曲线代表少年高斯猜测的素数个数,上方曲线代表实际的素数个数。此图表明,尽管高斯取得了一定成就,但还有一些提升空间。

高斯猜测的素数个数和实际素数统计对比图

在此基础上,勒让德稍加改进,将 N/\log(N) 替换为:

\frac{N}{\log(N)-1.083~66}

该公式进行了一个常量的校正,使高斯的曲线更接近实际素数个数的曲线。只要这些函数的值在可计算的范围内,\pi(N) 和勒让德修正后的图像是很难区分开来的。勒让德致力于研究数学在实际生活中的应用。因此,他甘冒风险来预测素数和对数间存在的某种关系。他敢于传播那些未经证明的想法,甚至包括那些存在缺陷的证明。1808 年,在《数论》一书里,他对素数个数做出了猜想。

至于谁是第一个发现素数和对数之间的函数关系的,这一事实仍存有争议。这让高斯和勒让德陷入激烈的争执。这一争议不仅仅来自素数,勒让德甚至宣称,高斯预测谷神星位置所用的方法也是自己最先发现的。一次又一次,每当勒让德声称他发现某些数学事实时,就立刻遭到高斯的反驳。后者宣称,那一战利品早已归自己所有。1806 年 7 月 30 日,高斯在写给一位叫舒马赫的天文学家的信中抱怨道:“我几乎所有的理论工作,都碰巧和勒让德的同时进行,这似乎是天意啊!”

骄傲如高斯,在世时始终不愿意卷入事关优先权的正面交锋中。高斯死后,人们在整理他的文章和往来信件时,真相才大白于天下。高斯终于赢得了属于他的荣誉,尽管有些姗姗来迟。直到 1849 年,数学界才承认,高斯在素数和对数函数的问题上击败了勒让德。在那年的平安夜,高斯在写给一名叫约翰·恩克的数学家兼天文学家的信件中,提到过那些理论。

从 19 世纪早期可用的数据来看,勒让德提出的关于 N 以内素数个数统计的函数近似度更高。但是,这个难看的常数项 1.083 66 让数学家相信,一定有一个更完美、更自然的存在,来捕捉统计素数个数的行为。

如此难看的数字,其他学科可能司空见惯,但是数学家对那些最美的事物竟如此情有独钟,这着实不可思议。正如我们看到的那样,黎曼假设完美地诠释了数学界秉承的一般性原则,即在丑与美之间做出选择,自然往往钟情于后者。它不断使大多数数学家惊叹:数学世界就该如此。这也解释了为何他们会如此钟情于发现学科之美。

晚年的高斯进一步优化了自己的猜想,得到了一个更加精确、更加优雅的函数。这也就不值得大惊小怪了。在平安夜写给恩克的同一封信中,他解释了自己如何发现优于勒让德的公式。高斯所做的就是将问题回归到自己在童年时期第一次提出的那个猜想上。他计算了差不多 100 个数,其中 1/4 是素数。当总量达到 1000 时,素数的比例就下降到了 1/6。高斯意识到,计算的数量越大,出现素数的比例就越低。

因此,高斯的脑海中浮现出这样一个想法:自然决定了素数的出现。这种分布是如此杂乱无章。通过抛硬币,或许不能很好地选择出素数吧?大自然会抛硬币吗?正面是素数,反面则不是。高斯想,这个硬币正反面的概率不是简单地各占 1/2,而是正面朝上的概率为 1/\log(N)。所以数字 1 000 000 是素数的概率,可以用 1/log(1 000 000) 来描述,大约是 1/15。1/\log(N) 的值,是随着 N 的值变大而逐渐变小的。因此,N 的值越大,一个数是素数的概率就越低。

这只是一种启发式论证,因为 1 000 000 或者任意其他数字,要么是素数,要么不是。抛硬币什么也改变不了。尽管高斯构建的心智模型在预测和判定素数上没什么用,但是他发现,这有助于预测那些不太具体的问题。例如,随着计数越来越大时,人们能猜测出可能出现的素数个数。他用来估计抛出的 N 个硬币中素数的个数。常规硬币正面朝上的概率是 1/2,正面朝上的硬币数就是 N/2。但是素数出现的概率会逐渐降低。运用高斯构建的素数模型,预测到的素数个数为:

\frac{1}{\log({2})}+\frac{1}{\log({3})}+\cdots+\frac{1}{\log({N})}

其实,高斯进一步生成了一个叫作对数积分的函数,用 {\rm Li}(N) 表示。新的函数只不过对上述表示稍加调整,结果却惊人地准确。

当时,70 岁的高斯在写给恩克的信中提到,他已经制作出了一个 3 000 000 以内的素数表。在探索素数之路上,他写道:“我常常花上 15 分钟,计算一个又一个范围为 1000 的数字。”利用对数积分进行 3 000 000 以内的素数统计,其准确率仅相差 7%。勒让德也成功地修正了那个有点儿丑陋的公式,使之在 N 的值很小时也符合 \pi(N)。因此,基于当时可用的数据,勒让德的公式似乎更胜一筹。随着数据量更大的表格被不断制成,通过勒让德的公式预测 10 000 000 之后的素数变得越来越不准确。来自布拉格大学的雅各布·库利克教授,用了 20 年时间,独立构建了 100 000 000 以内的素数表。这部鸿篇巨制由 8 卷构成,于 1863 年完成,从未发表过,现存于维也纳科学院。尽管在第 2 卷上走了一些弯路,但是这些数表再次证明,高斯提出的基于 {\rm Li}(N) 的方法又一次击败了勒让德的公式。现代的数表也证明,高斯提出的方法是多么遥遥领先啊!例如,统计 10^{16} 以内的素数个数,高斯估算出的数值准确度,仅相差千万分之一。高斯做出的理论分析,粉碎了勒让德使用公式来匹配可用数据的企图。

对于自己所提出的方法,高斯还注意到一个有意思的现象。基于已知的 3 000 000 以内的素数,他发现,利用 {\rm Li}(N) 公式,似乎总是会过高估素数个数。他猜想这种情况是普适的。既然通过现有数据,证明了高斯对 10^{16} 以内的素数个数的猜想为真,那么谁又会反驳高斯的这一猜想呢?的确,任何实验如果得到 10^{16} 这一相同结果,那么对大多数实验室而言,都是不容置疑的。仅此一次,高斯做出的这一直觉性猜想,最终被证明是错误的。不过,尽管当代数学家已经证明了 \pi(N) 终将超越 {\rm Li}(N),但是没人能见证那一时刻,因为我们计算的数字远远没那么大。

\pi(N){\rm Li}(N) 的图像对比可知,它们简直天生一对,以至于很难在大范围内将二者区分开来。我要强调的是,利用放大镜就能区分出二者的不同之处了。\pi(N) 的图像看起来像阶梯,而 {\rm Li}(N) 的图像看起来更像是一条平滑的曲线,没有突出的棱角。

自然通过抛硬币选择素数,这一证据为高斯所识。硬币的重量配置,使得 N 是素数的概率为 1/\log(N)。但是,他还缺少一种可准确预测投掷硬币结果的方法。这就需要新一代数学家在此基础上添砖增瓦了。

换一种视角,高斯就发现了素数的一种规律。他的猜想被称为“素数猜想”。为了宣布高斯提出的猜想为真,数学家不得不去证明,高斯的对数积分和实际素数个数之间的误差会随着统计量的增加而减小。高斯早已看到远处遥不可及的山峰,留给后人的工作是提供证据,开辟通向山峰之路,或者揭开假象的面纱。

很多人称,谷神星的出现使高斯在素数猜想上分了神。在 24 岁那年,他一夜成名后,便开始涉足天文学领域。自此,数学就不再是他生命中的唯一了。1806 年,高斯的资助人布伦瑞克公爵卡尔·威廉·斐迪南被拿破仑处死,使得他不得不另谋出路,以维持生计。尽管圣彼得堡科学院向他抛来橄榄枝,并期待其能接替欧拉的位置,高斯还是选择担任哥廷根天文台台长一职。该天文台位于下萨克森的一个小型大学城内。他将更多的时间花在追踪夜空中的小行星,以及帮助汉诺威王朝(汉诺威王朝是德国布朗史维希王朝的分支之一,因此,又称布朗史维希王朝汉诺威分支)和丹麦王朝完成对陆地的探索上。但是他一直在坚持思考数学问题。绘制汉诺威山地图时,他还在思考欧几里得的平行线定理;回到天文台后,他继续致力于扩展素数表。高斯听到了素数乐章里的第一个主旋律。不过,他的学生黎曼却真正感受了杂乱无章的素数乐章背后隐藏的神秘而和谐的力量。

目录

  • 版权声明
  • 献词
  • 对本书的赞誉
  • 第 1 章 谁想成为百万富翁
  • 第 2 章 算术的原子
  • 第 3 章 黎曼的虚数世界观察镜
  • 第 4 章 黎曼假设:从随机素数到有序零点
  • 第 5 章 数学接力赛:实现黎曼的革命
  • 第 6 章 拉马努金:“与神对话”的数学天才
  • 第 7 章 数学大迁徙:从哥廷根到普林斯顿
  • 第 8 章 思想的机器
  • 第 9 章 计算机时代:从人脑到电脑
  • 第 10 章 破解数字和密码
  • 第 11 章 从有序零点到量子混沌
  • 第 12 章 缺失的拼图块
  • 致谢
  • 延伸阅读
  • 引用说明
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