原版第一版前言

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高等数学教程在相当多的高等院校里都或多或少要讲授. 所有的工科院校以及大部分军事院校、 农业院校和经济院校的学生们都了解数学分析的基础, 更不用说综合大学以及师范院校专门系科的学生了. 所有这些在各类学校讲授的教程不仅在其范围上, 而且在其赖以建立的原则、 思想以及逻辑的基础上都十分不同. 另一方面, 从本质上讲, 只有综合大学的教程才达到了较为可靠的科学水平, 其余的则不得不进行压缩, 只能满足或局限于科学观远远落后于现代科学的思想-逻辑基础, 而有时由于大纲的限制, 只能满足于有限的教学要求.

然而我们却时常遇到这样的情况: 工程师、 教师、 经济学家原来是依照那种简易的教程来学习高等数学的, 现在开始感觉需要拓宽自己的数学知识, 且先要有更加牢固的基础. 这种需要可能产生于该专家在其专业领域内的某个具体的研究, 或者是由于一般的拓宽科学和生活视野而必然提出来的——不管怎样, 这个要求当然应当得到满足. 乍看起来,做到这一点很简单: 拿一本完整的数学分析教程, 如Немыцкий的 1 或者Фихтегольц的 2, 然后凭借自己已有的不太牢固、 不太深刻的知识来系统地钻研它. 但是 经验表明, 这个看似自然的途径几乎从来就不能达到目的, 除少数例外, 都会让学习者失望, 时常就放弃了按此既定方向继续尝试. 问题在于, 一方面, 我们的学生为自己提出的目标一般只安排了十分有限的时间, 因此研究多卷的大教程是不可能的. 另一方面, 可能是最重要的, 他还没有坚实的科学基础且不是专业的数学家, 没有人指导, 不可能自己从研究中区分出哪些是原则性的内容, 因而可能会以全部精力注意于没有实质意义的微不足道的小事上, 最终迷失方向. 就像俗话所说的, 只见树木, 不见森林.

1Немыцкий и др., Курс математического анализа, т. I-II, Гостехиздат, 1944.

2Фихтегольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, Гостехиздат, 1947. [第八版有中译本: [俄罗斯] 菲赫金哥尔茨, 《微积分学教程》, 高等教育出版社, 2006. —— 译者注]

然而要完全满足这类学生的要求和需要, 其实所需非常有限. 几年前, 我有机会在国立莫斯科大学讲授了一门专门为此目的而设的课程, 总共12讲, 每讲两小时, 学生则是想要提高自己数学水平的工程师们. 应当承认, 起初我对此项任务几乎毫无信心, 然而后来我不得不承认, 我的课程满足了学生们的要求, 尽管它很简略. 取得这个成功的诀窍在于, 我找到了解决摆在我面前的教学难题的秘诀: 从一开始就拒绝了充分详细地讲授本课程哪怕只是某一章的想法, 而只限于讲授那些具有原则性、 扼要、 突出、 具体且使人有难忘印象的发展. 我讲的更多的是关于目的和趋势、 问题和方法、 基本的分析概念之间的以及它们与应用之间的关系, 而不是个别的定理及其证明. 我宁愿在许多情况下抛开不具有原则意义的证明细节(有时是一连串定理及其证明), 而让我的学生去看教科书. 但要是为阐明某个有着主导作用和原则意义的概念、 方法或者思想, 我则不吝时间, 力求用各种手段, 通过各种各样的表述、 直观形象等, 尽可能明白而有效地把这些基本内容灌输给我的学生. 我坚信: 有了这种修养, 他们每一个人在需要更深入地研究数学分析的某一章节时, 就能够独立地找到他所需的材料, 然后进行研究. 也就是说, 可以自立地区分主要和次要、 本质和非本质.

通过同个别或一组学生进行的许多次谈话以及课堂授课, 我确信自己所选择的道路是唯一正确的道路. 我愿借此机会指出: 大课堂上坐满了学习本课程的工程师, 他们大多数直到课程结束都没有退席, 这充分证明了工程师们广泛存在着要求提高自己数学知识水平的愿望.

这本书与我刚刚提到的那门课程都是为了同一目的, 并且力求以同样的方法来实现它, 因而一开始就应当告知读者: 你在这里找不到大学数学分析教程的完整表述, 或者哪怕是本课程个别选定章节的完整表述. 我给自己提出的任务仅仅是给出数学分析的一般的、 尽可能容易了解和记忆的基本思想、 基本概念和基本方法的概述. 这种概述对任何人都是容易阅读和掌握的, 即使是只学过最简单的数学分析课程的人. 而且一旦掌握了它, 它就能使你任意并独立地研究本课程的任何一部分、 任何一章的所有细节.

我相信, 国立大学数学系的许多学生阅读本书也能带来实质性的收益. 问题在于, 无论是教科书还是讲座, 自然要受到大纲和时间的限制, 只可能充分注意原则问题的讨论, 而对阐述具体问题的所有细节必然有所限制. 然而, 谁都知道, 有时撇开树木来观察森林是多么有好处. 我希望本书能对某些未来的数学家, 首先是着手研究数学分析的人有所帮助.

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