03 瓷砖铺法知多少

03 瓷砖铺法知多少

“终于把这些倒霉的镜子都弄走了!墙面怎么装修呢?卧室里贴墙纸应该不错,我在家居市场看到一种花型特别棒,贴起来一定很漂亮。卫生间的墙还是用马赛克吧,经典又实用。”

“挺好的……但我还有别的想法,说给你听听啊……”

* * *

瓷砖可不能随便铺!要考虑颜色、大小、材质……而且瓷砖的形状绝对不能选错。方形的瓷砖虽然整齐,但太死板了,试试六边形的瓷砖吧,铺出来是蜂窝状,或者用第 15 种可密铺的五边形,看起来非常现代,这是 2015 年 10 月才出现的设计。

艺术家总是走在科学家前面。早在《梦想改造家》这类电视节目出现前 6000 多年,苏美尔人就已经用陶片来装饰墙面了,古罗马也处处可见石板铺成的地面,而伊斯兰艺术更用马赛克充分体现了周期密铺法中复杂的数学原理。西班牙格林纳达的阿尔罕布拉宫始建于 12 世纪。19 世纪末,俄国数学家叶夫格拉夫·费奥多罗夫仔细考察了其中的墙壁和地面,共找出了 17 种密铺法1

1这 17 种是否都能在阿尔罕布拉宫中找出,数学界还有争论。但这并不妨碍我们把费多罗夫分类称为“阿尔罕布拉定理”。

但密铺问题的本质是什么呢?所谓密铺法,就是用瓷砖把平面严密地覆盖起来,不留缝隙且不重叠。有一类密铺法是周期性的,即瓷砖间有平移关系。密铺法有无穷多种,数学家试图找出它们的异同,从而了解密铺问题的本质,说不定还能找到新的密铺法。

最多 17 种墙纸纹

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图 3.1 两种 pmg 型密铺法

图形不仅在平移之后不走样,在做轴对称(如果所有对称轴都平行)或中心对称之后也保持不变,甚至在滑动对称(平移之后再进行轴对称)变换之后,还能保持效果。

区分两种不同的密铺法是个棘手的问题,最主要的办法就是看对称关系。所谓对称关系,就是让总体不变的变换。以图 3.1 中的两个图案为例,第一个由凹六边形 2 组成,形成箭头和“之”字形,而第二个由四边形组成。

2沿多边形的任意一边作延长线,如果多边形的其他各边都在此延长线同侧,则此多边形称为凸多边形;如果有至少一条边的延长线使得其他各边不在同侧,则称为凹多边形。第一个图形中的六边形是个很好的凹多边形的例子,因为它有一边就是“凹”进去的。

乍看之下,这两个图案没有什么共同点,只是看着都让人觉得有种波动感。其实,这种感觉恰恰反映了这两个图案的共性,它们都是 pmg 型密铺法。如果我们仔细观察,就能找到许多平行的对称轴:在第一个图案中,对称轴就是穿过蓝色箭头的黑线;在第二个图形中,对称轴是几乎水平的直线。但事实上,这两个图案还有许多对称点:如果把第一个图形绕“之”字型的中心旋转 180°,还是会得到一样的图形;而第二个图形的对称点是平行线间线段的中点。人们按照不同的对称关系组合给密铺法分类,有些图案是轴对称,有些是点对称,有些是围绕一点旋转 180°、90°或 60°而成。仔细研究过所有的对称组合之后,我们发现归结起来只有 17 类(图 3.2),类型的名称看似比较费解,如 p1、p2、p3、pmg、pgg、p4、p3ml,等等。这是晶体学的标准化命名法,此处不再赘述。一种密铺法中所有的对称关系合起来称为“平面晶体群 3”,俗称“墙纸群”,每个群代表一种不同的类型。4

3群是数学中一个很重要的概念,是研究几何图形广义对称最合适的代数形式,这里不细述。

4读者若对墙纸群及其分类的细节内容感兴趣,请参阅维基百科 Wallpaper group 词条。——编者注

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图 3.2 17 种墙纸纹样群,或者说是 17 种平面晶系

每个群对应周期密铺法中的一组对称关系。图中的对称轴以黑色实线表示,平移再轴对称的对称轴以虚线表示。如果是围绕一点旋转而成,则旋转 60°、90°、120°和 180°的点分别用绿色、蓝色、红色和黄色表示,由此可知绿色、蓝色和黄色的点也是对称点。

当数学家看到一种周期性的图案,他的第一反应是把对称关系找出来,比如看到国际象棋的棋盘,他会把四个方向的对称轴找出来,再把对称点和 90°旋转点找出来。只有 p4m 类型包含了所有的对称关系。你在装修卫生间的时候可千万别选这种密铺法,样子太普通了。不过还有那么多类型,挑选起来可真犯难。

15 种可密铺五边形

数学家经过很长时间才意识到,有意思的不仅是对称关系。如今,他们发现用来铺出图案的瓦片或砖块更值得研究,因为密铺单元的问题更复杂。那么,到底用几边形可以密铺平面呢?

想要完美地回答这个问题,恐怕写几本书都不够。我们不如先来看看最基本的问题:用哪种凸多边形可以规则地密铺平面呢?当然,必须假设这些多边形完全相同且互不交叠。

首先,我们可以试试正多边形,即所有内角相等、所有边也相等的多边形。不难看出,等边三角形、正方形和正六边形都可以密铺平面。但正五边形不行,因为它的内角是 108°,这样一来,当 3 个正五边形相拼时,内角和达不到 360°,而 4 个正五边形相拼时,内角和又会超过 360°。同理可得,正七边形或者边数更多的正多边形都行不通。

我们再来看看非正多边形的情况。首先是三角形:两个全等三角形以等边相拼,就得到一个平行四边形;所有的平行四边形都可以密铺平面,所以三角形也可以密铺平面。三角形的瓷砖没什么稀奇的。那四边形呢?我们知道正方形、菱形,或者更广义地说,平行四边形可以密铺平面。实际上,任意四边形都可以密铺平面,无论凹凸(图 3.3)。

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图 3.3 任意四边形都可以密铺平面

两个相同的四边形可沿等边相拼,一直重复这一操作,就可以密铺平面。

凸六边形就有点意思了。不是所有的凸六边形都能密铺平面,只有 3 种可以:第一种,有一组对边平行且相等;第二种,有两组等边,且有三个内角和为 360°;第三种,三组邻边相等,且其夹角之和为 360°(图 3.4)。不符合以上条件的凸六边形无法密铺平面。这一类解决了,但复杂的事情还在后面。

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图 3.4 三种可密铺六边形

我们再来看看凸七边形,很快就会发现不可能密铺。1978 年,伊万·尼文就已经证明,凸七边形或更多边形不可能密铺平面。想要瓷砖铺得有独特性,唯一的希望就是五边形了,这也是最复杂的问题。

最古老的可密铺凸五边形应该是“开罗砖”,即内角为 120°、90°、120°、90°、120°的五边形(图 3.5)。这种砖名副其实,因为在埃及首都开罗的地面上真的能看见它的身影。4 个这样的五边形可以组成一个六边形,然后再通过平移就可以密铺平面。

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图 3.5 开罗密铺法

用 4 片开罗砖(左上)组成一个六边形(右上)就能密铺平面(下)。

那么问题来了,哪些凸五边形可以密铺平面?实际上,符合情况的五边形有无穷多。比如,只要五边形有两边平行,就可以密铺平面。既然“合格者”有无穷多,那么一一列举就不现实了。让我们分类来说。有两边平行的五边形算作第一种。

要注意的是,可密铺五边形的分类与对称组合并无直接联系。先选择一种可密铺五边形(密铺单元),再选择一种对称组合,才能决定密铺的方法。但是,有些组合在实际中无法实现。

以下这些图案中的五边形都属于第一种可密铺的五边形,却能实现 8 种不同对称关系组合(图 3.6),可见两者之间没有决定关系。

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图 3.6 同是第一种可密铺五边形,即有两边平行的五边形,组合出的密铺形式却不同,对称关系组合包括 cm、p3、pgg 和 p6

50 年来,到底有几种可密铺五边形的问题一直悬而未决。德国数学家卡尔·莱因哈特曾给出 5 种,大家都以为这就是全部了。但 1968 年,美国数学家理查德·克什纳又找到了 3 种新的可密铺五边形(第 6、7、8 种)。而且他认为只有 8 种,没有更多了!但克什纳并没有给出严格证明。1975 年,马丁·加德纳在《科学美国人》杂志的专栏中介绍了克什纳的发现。一位加州的程序员理查德·詹姆斯受此文启发,又找出了一种可密铺五边形,现称为第 10 种 5。但詹姆斯没有尝试证明不存在其他可能了。

5你没看错,第 9 个被发现的五边形却被称为第 10 种。这主要是因为此后发现的另一种类型与第 8 种十分类似,就被算作第 9 种了。

1977 年,加德纳又发表了一篇文章,介绍了詹姆斯的发现。这篇文章被一位叫作玛乔丽·赖斯的家庭主妇看到了。玛乔丽未受过任何专业数学训练,却找出了 4 种新的可密铺五边形。这真是数学爱好者的胜利!

1985 年,德国数学家罗尔夫·施泰因发现了第 14 种可密铺五边形,并证明了有且仅有 14 种。但几年之后,人们发现他的论证有漏洞。

2015 年夏天,三位美国数学家凯西·曼、珍妮弗·麦克洛德 - 曼和大卫·冯·德劳用计算机枚举法找到了第 15 种可密铺五边形。这太出人意料了,因为大家都已默认最多只有 14 种可密铺五边形,尽管没有证明。

迄今为止,人们共找到 15 种可密铺五边形(图 3.7),没有人敢断言还有没有其他的可能。一个五边形可以同时属于两种类型的可密铺五边形,比如开罗砖就同时属于第 2 种和第 4 种。

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图 3.7 15 种可密铺五边形

今天,密铺法依然是许多数学问题的研究对象。虽然周期性密铺的分类已经基本被掌握,但还有许多问题尚待解决。非周期性密铺,即密铺单元不按一定规律重复的密铺,也有许多发现,如 1970 年发现的彭罗斯密铺(图 3.8)。以上这些密铺都是在二维平面上进行的,但我们也可以把问题扩展到三维空间,这时就不止 17 种对称组合了,而是有 230 种之多。喜欢抽象思维的人甚至可以推广到更多维空间。

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图 3.8 彭罗斯非周期性密铺

其基本单元为菱形,大菱形的内角为 72°和 108°,小菱形的内角为 36°和 144°。

密铺问题本来只是数学家的小娱乐,但数学就是这样,只要假以时日,就会在其他学科中找到用武之地。晶体学,即从原子层面研究晶体结构的科学,就用到了三维密铺法来研究原子的排列方式,而某些非周期性密铺则为准晶体研究提供了优秀的模型。

然而最重要的是,人人都可以铺出与众不同的卫生间啦!

* * *

“我觉得还是用第 14 种可密铺五边形的瓷砖吧。很有设计感,看着又现代,有个性,用在卫生间真是完美。你知道哪里有卖吗?”

“呃……其实就用长方形的瓷砖也不错……”

目录

  • 版权声明
  • 前言
  • 01 早餐代表我的心
  • 02 照(不)亮你的家
  • 03 瓷砖铺法知多少
  • 04 青梅竹马分披萨
  • 05 如何平分有菠萝、奇异果和樱桃的蛋糕
  • 06 创意桌上游戏
  • 07 挂不上墙的神作
  • 08 认识地球的形状
  • 09 认识宇宙的形状
  • 10 教你数数
  • 11 争霸法国网球公开赛
  • 12 你究竟有几个冷笑话
  • 13 玩转《地产大亨》
  • 14 如何选秘书
  • 15 山无陵,天地合,乃敢与君绝
  • 16 议会席位怎么分?
  • 17 如何选总统?
  • 18 走出迷宫
  • 19 盖茨翻煎饼
  • 20 小便器优选法
  • 参考文献