01 早餐代表我的心

01 早餐代表我的心

“亲爱的,天亮了,今天是 2 月 14 号,我特意为你准备了早餐。不用起床了,就在床上吃。好丰盛的,有刚出炉还冒着热气的羊角面包,有一大杯我刚刚亲手榨的橙汁,有新鲜水果,还有最重要的,一大碗牛奶!”

“你对我太好了,但为什么有牛奶呢?你知道我喝牛奶不消化啊……”

“很简单啊,因为这碗牛奶代表我对你的爱,你看看碗里面有什么……”

* * *

早餐是一天中最重要的一餐。每天早上,我都目光呆滞地盯着麦片盒上的配料表,心里默念这句话,等着没睡够的倦意退去。如果你泡了碗麦片,冲了杯咖啡或者倒了杯果汁,那么,在阳光的照耀下,杯子里面会出现一个类似心形的形状(图 1.1)。

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图 1.1 阳光照射下的碗里出现心形(图片来源:© Gérard Janot, CC BY-SA 3.0)

这个心形是怎么来的呢?

答案其实很简单,但先要了解下数学家是如何定义心形的。

画一颗心给你!

有了合适的方程和绘图仪,什么东西都可以画出来。Wolfram 1 公司市场部的编辑理查德·克拉克特别擅于用傅里叶变换写图形方程。有了他的贡献,我们才能把皮卡丘也用方程表示出来(图 1.2a)——我在这里就不把方程写全了,如果要写全,一页纸都不够。美国一所高中的数学老师 J. 马修 · 雷吉斯特也是图形方程的好手。2011 年,他的学生把他的蝙蝠侠图标方程(图 1.2b)发到了网上,引起了轰动。言归正传,数学爱好者给出了许多心形方程,各有千秋,但数学界“心有独钟”:他们认定用简单方程描绘的“心形线”(图 1.2c 和图 1.2d)。

1Wolfram Research 是一家美国公司,主攻数学领域,其产品 Mathematica 是一种科学计算软件,其开发的网站 Wolfram| Alpha 是一种计算搜索引擎。

心形线在英语里叫作 cardioid,这个词来自希腊语:kardia 意为“心”,eidos 意为“形”。心形线有许多不同的定义方法,但是异曲同工(图 1.2)。我们可以想象一个圆沿着另一个圆外侧滚动而不滑动,不动的圆叫作“准圆”,动圆上某一点的轨迹称为“外摆线”(epicycloid),这个词也来自希腊语:epi 意为“上”,kuklos 意为“圆”。准圆和动圆的半径相等时,就得到了心形线。如果动圆在准圆内部,而准圆的半径是动圆的 2 倍,也会得到心形线。

18 世纪初,布莱兹·帕斯卡的父亲艾蒂安·帕斯卡在对摆线的研究中提到了这种曲线,虽然言辞含糊,但这是历史上首次出现。其他数学家对这种曲线也是兴致勃勃。1708 年,法国数学家菲利普·德拉意尔证明心形线的长是准圆半径的 16 倍。直到 1741 年,乔瓦尼·达卡斯蒂利奥内才根据形状将其命名为“心形线”。

图像说明文字 图像说明文字 图像说明文字

图 1.2 几条有趣的曲线

(a) 理查德·克拉克的皮卡丘曲线。这是一个参数方程,t的取值在0到2π之间,曲线上某一点的坐标由(x, y)关于t的函数确定,即(x(t), y(t))。这里只给出了皮卡丘轮廓线的方程,完整的方程是其10倍长。

(b) J.马修·雷吉斯特的蝙蝠侠图标曲线。起初方程只有一个解析式,以椭圆方程和直线方程为基础。

(c) 尤尔根·科勒的心形曲线。

(d) 参数方程给出的心形线。

第二种构建心形线的方法是:取圆上一点 P,以圆上其他点为圆心,作经过点 P 的圆,所有这些圆内包于一条心形线。

更让人意想不到的是,心形线还可以通过数论的方法来构建。在圆周上均匀地取 100 个点,编为 0 到 99 号,然后把各个点与编号为其 2 倍的点相连,如果编号的 2 倍大于等于 100,则以减去 100 计,即编号乘 2 得 100 则对应点 0,编号乘 2 得 102 则对应点 2。按这种方法,点 21 与点 42 相连,点 53 与点 6 相连。所有这些线段形成心形线。取的点越多,心形线就越准确(图 1.3)。

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图 1.3 构建心形线的几个方法

可以是圆的外摆线 (a),也可以是经过圆周上一点且圆心也在此圆周上的圆的包络线 (b),或者圆周上某点与其 2 倍编号点连线的包络线 (c)。

说了这么多,还没有解释碗里怎么会有一颗“心”。真正原因是,心形线是圆的“散焦线”。

光之几何

光线照射到圆形容器的边缘,会发生反射。假设阳光是平行光,让我们来观察一下反射光路:根据光的反射定律,反射角等于入射角,即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角,法线是圆在入射点上切线的垂线(图 1.4)。

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图 1.4 光在曲线上的反射

根据光的反射定律(又称“斯内尔 - 笛卡儿第一定律”),反射角(红色)等于入射角(蓝色)。

阳光视为平行光,照射到杯沿并经过反射后,汇集成的曲线就是所谓的“散焦线”,与所有反射光路相切。这里的散焦线和心形线很相似(图 1.5a)。

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图 1.5 (a) 将阳光视为平行光,反射以后形成的“散焦线”与心形线很相似。这其实是另一种外摆线,称为“肾形线”。(b) 当光源位于圆周上的一点时,才能得到心形线

但是,这样得到的曲线并不是真正的心形线,心形线与圆周不会相交。其实,这是半肾形线,可以视为心形线的“亲戚”,因为它们都是外摆线的一种。如果准圆的直径是动圆的 2 倍,就会得到肾形线(图 1.6)。肾形线有两个对称轴和两个回复点,即曲线好像要往回走的那一点。“肾形线”这个词英语为 nephroid,也来自希腊语,nephrós 意为“肾”。这听起来就没“心形线”那么浪漫了。

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图 1.6 如果准圆的半径是动圆的 2 倍,则动圆上某点的轨迹是另一种外摆线,称为“肾形线”

但不要担心,想要杯子里出现心形线很简单,只要把光源移近一点就行。光源在杯子的圆周上时,出现的就是标准的心行线(图 1.5b)。下一个情人节,你就可以省着点过啦!不用去高级餐厅吃大餐,只要一盏灯和一碗牛奶就够了,然后再给他或她念一首诗,完美 2

2如果你真的这么做了,但你的心上人并不领情,作者不承担任何责任。

* * *

如果你是外摆线,你会是一条心形线。

如果你是全纯函数,你就是正弦的平方,

而我就是余弦的平方,我们刚好合二为一。

如果你是偶数,你会是 28,因为 28 是完全数。

如果你是奇数,你依然会是完全数。

但只有我知道,你这个奇完全数的存在。

如果你是对数,你将会……那个……你懂的。

目录

  • 版权声明
  • 前言
  • 01 早餐代表我的心
  • 02 照(不)亮你的家
  • 03 瓷砖铺法知多少
  • 04 青梅竹马分披萨
  • 05 如何平分有菠萝、奇异果和樱桃的蛋糕
  • 06 创意桌上游戏
  • 07 挂不上墙的神作
  • 08 认识地球的形状
  • 09 认识宇宙的形状
  • 10 教你数数
  • 11 争霸法国网球公开赛
  • 12 你究竟有几个冷笑话
  • 13 玩转《地产大亨》
  • 14 如何选秘书
  • 15 山无陵,天地合,乃敢与君绝
  • 16 议会席位怎么分?
  • 17 如何选总统?
  • 18 走出迷宫
  • 19 盖茨翻煎饼
  • 20 小便器优选法
  • 参考文献