第 2 章 勾股定理

第 2 章 勾股定理

这时,柯贝内拉拿出一张圆盘板一样的地图,不停地转动着查看。那上面真有一条铁路线沿着白蒙蒙的天河左岸,通向正南方。

——宫泽贤治《银河铁道之夜》

 

2.1 泰朵拉

“学长?”

“嗯?”

“啊……抱……抱歉吓着你了。”泰朵拉说。

现在是午休时间,我跟泰朵拉一起在高中的楼顶吃着午饭。风儿微凉,但并不影响明媚的阳光给我们带来的好心情。泰朵拉吃着盒饭,我啃着面包。

“没事,嗯……我在想家里亲戚的事。”

“这样啊。”

泰朵拉微微笑了一下,继续吃她的盒饭。

她上高一,是小我一年的学妹。短发,大眼睛,总是笑眯眯的,个子小小的,跟我关系很好,我们总在一起学数学。基本上都是我在教她,不过她经常也会提出一些充满亮点的主意让我吃惊。

“对了,村木老师的卡片呢?”

“哦哦,差点忘了。”

她拿出卡片,上面只写了一句话。

问题2-1

存在无数个基本勾股数吗?

“还是……那么简短。”

“素好短吶……”

泰朵拉大口嚼着煎蛋卷说。

“泰朵拉,你知道基本勾股数吗?”

“那当然,直角三角形斜边的平方等于剩余两边平方的和,对吧?斜边呢,就是跟直角相对的那条边!”

泰朵拉说着,用筷子在空中划出了一个大大的直角三角形。

“……”

“咦?不对吗?”

“你说的,是勾股定理……”

勾股定理

直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

{%}

a^2+b^2=c^2

“勾股数和勾股定理有什么不一样吗?”

“这个嘛,有关系但是不一样。勾股数指的是可以构成直角三角形三边的一组自然数。”

我和她解释勾股数的定义。

勾股数

自然数 abc 满足以下关系式时,可将(a, b, c)这一组的三个自然数称为勾股数。

a^2+b^2=c^2

“然后,基本勾股数的定义是这样的。”

基本勾股数

自然数 abc 满足以下关系式,且 abc 的最大公约数等于 1 时,将(a, b, c)这一组数称为基本勾股数

a^2+b^2=c^2

“也就是说,直角三角形三条边为自然数时,这三个数的组合就是勾股数。要是最大公约数还等于 1,那这三个数就是基本勾股数。村木老师的问题就是,是否有无数个这样的基本勾股数。”

“啊……等等,我还不太明白‘最大公约数为 1’的意思……”

“那我们来举个例子。打比方说,(a, b, c) = (3, 4, 5) 是勾股数对吧?因为 32 + 42 = 52 是成立的,计算一下就会知道 9 + 16 = 25。然而 (3, 4, 5) 既是勾股数,也是基本勾股数。3、4、5 的最大公约数 —— 也就是能整除这三个数的最大数为 1,对吧。”

“……学长,抱歉我的脑子有点跟不上。勾股数和基本勾股数的区别,我还是不太明白……”

“没事,不明白也没什么,再举几个例子。(3, 4, 5) 既是勾股数,也是基本勾股数。但是,将这三个数分别乘以 2 得到的 (6, 8, 10) 呢?它们虽然是勾股数,但不是基本勾股数。”

“嗯,62 = 36, 82 = 64, 102 = 100,而 36 + 64 = 100……确实,62 + 82 = 102 是成立的,所以可以说 (6, 8, 10) 是勾股数。嗯,到这里我理解了。又因为 6, 8, 10 的最大公约数是 2,所以 (6, 8, 10) 就不是基本勾股数……能整除三个数的数字只有 1,这样的才是基本勾股数,对吧?”

“对,村木老师的问题是,是不是存在无数个这样的基本勾股数。”

泰朵拉一脸认真,默默地思考着。不过因为嘴里咬着筷子,怎么也严肃不起来。不久,她很疑惑地问道:

“学长,很奇怪啊……对于直角三角形的三条边 abca2 + b2 = c2 总是成立的对吧?然后各种改变边长,就可以造出无数个直角三角形,所以肯定有无数个基本勾股数不是吗?”

“静下心来,想想基本勾股数的条件。”

“咦?……啊,不对不对不对不对不对不对不对!”

泰朵拉呼呼地挥着手里的筷子。

“你一共说了 7 次‘不对’,是质数。”我说。她还是这么慌慌张张的,如果换成尤里,可能会更淡定一些。泰朵拉还是一如既往地容易忘记条件。

“我不小心把自然数这个条件忘了!三条边中两条可以自由选择,所以满足自然数的条件。但剩下的一边就不一定是自然数了……”

“没错。要处理这个问题,就多找几个 (3, 4, 5) 这样的基本勾股数的例子如何?”

“明白了,这就是学长你总挂在嘴边的那 句‘示例是理解的试金石’对吧?为了帮助自己理解,举出示例——”

泰朵拉真是又率直又有活力。不过……

“我说,你这也太危险了,别到处挥筷子行不行啊?”

“啊……对不起。”

泰朵拉赶紧放下手,满脸通红。

2.2 米尔嘉

“你去哪儿了?”

我刚回到教室,米尔嘉唰地一下就凑了过来。

米尔嘉上高二,跟我同班,是位才女。尤其数学出类拔萃。一头乌黑长发配上金属框眼镜,高挑挺拔,容姿端丽。只要她一靠近我身边,我就感觉周围的气氛瞬间严肃了。

“楼顶……”

“去楼顶吃午饭?”

她把脸凑近,紧盯着我的眼睛。柑橘系的香味由淡转浓,锐利的眼光笔直地刺向我的心里。不妙,她似乎心情不好。

“嗯……”

“嗯……背着我?”米尔嘉缓缓眯起了眼。

“这……这个……你……你看,午休的时候你不是不在教室嘛。所以我想你是不是去盈盈那了。”

我到底在找什么借口啊?可是不知怎的,我在她面前就是抬不起头来。

“我去老师办公室了。”她表情缓和了些,“我把之前的报告拿给村木老师看,还是老样子,他又给了我一张新的卡片,问题很奇妙。”

村木老师是我们的数学老师。人有点怪,不过很喜欢我们,经常会给我们出一些有趣的数学问题。虽然净是跟上课和考试完全无关的内容,但是最后反而使我们理解得更加清楚了。我、泰朵拉和米尔嘉都很享受和村木老师的这种交往方式。

米尔嘉把卡片递给我。

问题2-2

以原点为中心的单位圆上,存在无数个有理点吗?

有理点是……x 坐标和 y 坐标都是有理数的点,对吧?”我说。有理数是 \frac{1}{2} -\frac{2}{5} 这种可以用整数比表示的数字。以有理数为坐标的点就叫作有理点。

“对。”米尔嘉点点头说,“在以原点为中心的单位圆圆周上,存在 (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) 这四个不证自明的有理点。问题是,除了这四个点之外,是否还存在其他‘无数个’有理点。”

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以原点为中心的单位圆,其半径为 1,而 0, 1, -1 这些整数也属于有理数的一种,所以它与坐标轴相交的点的确为有理点。

“单位圆上好像是存在无数个有理点啊……”我带着半分自说自话的语气念叨。

“为什么?”米尔嘉的眼睛一亮。

“因为,没办法避开密不透风的有理点去画出一个圆不是吗?”我说。“那就不算数学了。”米尔嘉伸出食指,笔直地指着我。“别说我们的手了,就算是圆规,也画不出真正的圆。现实世界里,把圆画得再怎么正确,也不能知道它有没有通过有理点吧?”

“这个嘛,是这么回事。”我老实承认。圆的真实的样子……

“不过,在现实世界里,我们有胜过一切的道具 —— 数学。是不是?”

“我知道了,米尔嘉。是我随随便便就下结论了。总之,把 a, b, c, d 设为整数,用 (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) 来表示单位圆上点的坐标,专心致志地算,就能得出结果了吧。”

“唔……这主意是不错。”米尔嘉好似唱歌般地说道。

 

“整数的结构,是由质因数表示的。”

“有理数的结构,是由整数之比表示的。”

 

然后,她恶作剧般地扬起了嘴角。

“不过,我刚刚在想别的事。”

“什么事?”

“你午饭是一个人吃的呢,还是……”

“诶?”居然冷不丁给了我一句。

“或者,能不能把圆上的有理点和‘某个无数存在的东西’进行映射呢?”米尔嘉一下子把话题拉回了数学。

“我在楼顶和泰朵拉一起吃的午饭……”

“很诚实嘛。赐予尔骑士称号与宝剑。”

这么说着,米尔嘉往我眼前递了一条奇巧威化巧克力。

我郑重地接下了巧克力。

下午课的上课铃响了。

真是的,这都什么跟什么啊。

2.3 尤里

“啊,哥哥你来啦!人家好高兴喵!”尤里说。

“身体怎么样?”

放学后,我从学校坐公交去了中央医院。

看到我进入病房,尤里摘下树脂框眼镜,面带笑意,看上去很高兴。她似乎一直靠在床上读书,马尾辫上绑着黄色的缎带。

“总觉得有点糟糕。”尤里说。

几天前,也就是我们一起吃完茄子咖喱饭的第三天,尤里因为脚痛去了医院检查。没想到就这么住院了。具体不太清楚,说是发现骨头有些不对劲。

“你好,尤里,初次见面。”

泰朵拉从我背后探出脑袋。

“哥哥,这位是……?”

“我学妹泰朵拉。我们一起来探望你的。”

“这个送给你,尤里~”

泰朵拉把路上从花店买的一小捧花递给尤里。尤里沉默地接过花,点了点头回应。

“学长?她叫你哥哥?”泰朵拉问。

“尤里是我表妹,她从小就这么叫我。”

我在一边的金属折叠椅上坐下,泰朵拉也坐下,来回打量着病房。

“上次我们一起搞的时钟巡回,真是太有意思了!”尤里先一步说话,“‘表盘数字的个数’和‘级数’互质就能完全巡回对吧,人家最喜欢听哥哥讲数学了!谁让哥哥是人家的专属老师嘛!”

“学长确实很会教人呢,我也从学长那……”

“我说,哥哥!”尤里打断了泰朵拉的话,“那天晚上,我们一起吃的超辣咖喱饭,真是好辣哦!辣过头了,害得人家喝水都喝撑了。吃完饭后哥哥讲的费马大定理也好有意思啊……稍微变换一下勾股定理的方程式就没有自然数解了,还真是不可思议喵……”

尤里兴冲冲地说个不停,泰朵拉只好闭口不言。病房里的氛围开始有些不妙,这时尤里的妈妈进来了,我松了一口气。

“直接从学校过来的吗?制服挺漂亮的嘛!这位是……女朋友?哎呀呀,太客气了,其实呀……”

听完尤里妈妈的一通唠叨,我们赶紧走出了病房。

然而,尤里的妈妈追了上来。

“不好意思,尤里说有话想告诉你那位女朋友,能让她来一下吗?”

“诶?我吗?”

我在电梯前等了一分钟左右,泰朵拉就回来了。好像在深思着什么。

2.4 毕达哥拉·榨汁机

我们一起坐公交去车站,进了一家名叫“豆子”的咖啡店。

“她跟你说了什么?”我问。

“没……没什么。”泰朵拉含糊其辞,指着柜台里面说,“学长,你看!”

那里新添了一台榨汁机。机器上分布着螺旋形的钢丝轨道,橙子就从轨道的一端一个个滚入机器里。机器上面写着“毕达哥拉·榨汁机”。毕达哥拉?

“我要一杯橙汁!”

橙子咕噜咕噜地滚动着,落入机器的瞬间就被自动切碎了。直到橙子被绞出汁液为止,整个制作过程都是透明可见的。泰朵拉看着机器,我看着她。还真是个好奇心旺盛的女孩子啊。

“超级好喝的,学长!”泰朵拉喝着刚榨好的新鲜橙汁说,“话说回来,那之后我找了几个基本勾股数的例子。”

泰朵拉翻开笔记本。

\begin{aligned}(3,\enskip4,\enskip5)\qquad&3^2+\enskip4^2=\enskip5^2\\(5,12,13)\qquad&5^2+12^2=13^2\\(7,24,25)\qquad&7^2+24^2=25^2\\(8,15,17)\qquad&8^2+15^2=17^2\\(9,40,41)\qquad&9^2+40^2=41^2\\\end{aligned}

“你怎么找的?”

“根据 a2 + b2 = c2,把其中的 a 逐次增大,然后拿符合条件的自然 数代入 bc 中。我发现 (a, b, c) = (3, 4, 5) 的话,c - b = 5 - 4 = 1 成立。在我找到的这五组基本勾股数中,有四组都是 c - b = 1。这一定是个重 要的线索!”

“不过,这是因为你找的方法太极端了吧?将 a 边边长设得很短,就会形成一个只有一边很短的直角三角形。比如说 (9, 40, 41) 就是个非常细长的直角三角形。因为形状细长,所以斜边和另一直角边长度相近,这是再正常不过的事了吧。”

“这样啊……”

过了一会,泰朵拉说道:“要是有个机器能像那个‘毕达哥拉·榨汁机’那样,从上面把橙子放进去,下面就会自动出来基本勾股数就好了。”

“不过,放进不同的橙子要出来不同的基本勾股数才行呢!—— 哎呀,我们在胡说些什么呢。”

我们笑了。

2.5 家中

夜晚。

家里人都已进入梦乡。我独自在书桌前思考数学。旁边空无一人,无人与我搭话。这是我一天中非常宝贵的时间。

听课是为了刺激自己学数学,读书也是为了研究数学。但是如果不留出时间充分开动脑筋,动手实践,听课和读书就完全没有意义了。

今天就沉下心来思考泰朵拉的问题吧。

“存在无数个基本勾股数吗?”

 

首先,试着列表总结一下基本勾股数,看看能不能发现什么。

\begin{matrix}\begin{array}{ccc}a~ & b~ & c\\\hline\end{array}\\\begin{array}{rrr}3 & 4 & 5\\5 & 12 & 13\\7 & 24 & 25\\8 & 15 & 17\\ 9& 40 & 41\\\end{array}\\\end{matrix}

2.5.1 调查奇偶性

我注意到 c 肯定为奇数,于是就试着把表里所有的奇数都圈上了圆圈。

\begin{matrix}\begin{array}{ccc}a~ & b~ & c\\\hline\end{array}\\\begin{array}{rrr}\textcircled{3} & 4 & \textcircled{5}\\\textcircled{5} & 12 & \textcircled{13}\\\textcircled{7} & 24 & \textcircled{25}\\8 & \textcircled{15} & \textcircled{17}\\\textcircled{9}& 40 & \textcircled{41}\\\end{array}\\\end{matrix}

在奇数上圈上圆圈

咦? ab 之中似乎总有一个是奇数。不过这是偶然?还是一般现象?我把心中的疑问记了下来。

问题2-3

存在 ab 皆为偶数的基本勾股数(a, b, c)吗?

我认真地思考着。

嗯,这个问题不难。绝对不存在 a, b 都是偶数的情况。因为如果假设 a, b 都为偶数,这样由 a2 + b2 = c2 这个关系式可知,c 也会是偶数。因为 a, b 都是偶数的话,a2b2 都是偶数,两个偶数的和 a2 + b2 也是偶数。又因为 c2 就等于 a2 + b2,所以 c2 也是偶数。平方为偶数的数字只能是偶数,所以 c 是偶数。

也就是说,a, b 如果都是偶数,c 自然而然就为偶数。然而这违背了基本勾股数的定义:a, b, c 的最大公约数为 1。因为 a, b, c 全是偶数的话,a, b, c 的最大公约数就会大于等于 2。

由此可以说“ab 不能皆为偶数”。虽然不知道这能否成为解开泰朵拉卡片上问题的重要线索,不过这的确是一个重要的事实。

我徘徊在数学公式的森林中,对于我而言,重要的事实犹如用来做标记的丝带。“ab 不能皆为偶数”这个事实也是一条丝带。为了不时之需还是先绑在树枝上吧。说不定在探寻森林出口时就能派上用场。

解答2-3

不存在 ab 皆为偶数的基本勾股数(a, b, c)。

2.5.2 使用数学公式

嗯……基本勾股数中,a, b 不会皆为偶数,那么是否存在“皆为奇数”的情况呢?

问题2-4

存在 ab 皆为奇数的基本勾股数(a, b, c) 吗?

现在假定 ab 都是奇数,然后跟刚才一样调查奇偶性。

a 是奇数,则 a2 也为奇数。b 是奇数,则 b2 也是奇数。a2 + b2 = 奇数 + 奇数 = 偶数。由 a2 + b2 = c2 可知,c2 为偶数。c2 为偶数的话,c 也是偶数。也就是说,c 是 2 的倍数。2 的倍数的平方是 4 的倍数,因此可以得知 c2 是 4 的倍数。嗯,这想法有戏。然后,然后……这之后能推断出什么呢?

好吧,用数学公式吧。

假定 a, b 皆为奇数,如下所示,分别用自然数 J, K 来表示 a, b

\left{\begin{aligned}a&\quad=2J-1\\b&\quad=2K-1\end{aligned}

将其代入勾股定理。

{%}

在这个式子左边的 4(J 2 - J + K2 - K) + 2 中,因为后面的 +2 是用 4 除不尽的,所以整个式子用 4 除不尽。

另一方面,右边的 c2 是 4 的倍数,也就是说可以被 4 整除。

左边用 4 除不尽,右边可以被 4 整除。这就构成了矛盾

根据反证法,假定的“a, b 皆为奇数”不成立,因此 a, b 不能皆为奇数。

解答 2-4

不存在 ab 皆为奇数的基本勾股数(a, b, c)。

结果表明,ab 其中一方为奇数,另一方为偶数。换言之,ab 的奇偶性不一致。也就是说,只能存在“a 为奇数,b 为偶数”或“a 为偶数,b 为奇数”的情况。在此假设“a 为奇数,b 为偶数”。因为 ab 的奇偶性刚好相反,所以想求“a 为偶数,a 为奇数”的情况时,只需要交换 ab 的位置即可。

好了,继续吧!—— 话说,肚子有点饿了呢。

2.5.3 向着乘积的形式进发

我走到厨房,拿了一块妈妈珍藏的 GODIVA 巧克力。

说起巧克力,之前还从米尔嘉那拿了一块奇巧威化巧克力。我想起了当时她说的话。

 

“整数的结构,是由质因数表示的。”

 

确实,分解质因数就能明白整数的结构。但是怎么把 a2 + b2 = c2 分解质因数呢?嗯……不用质因数的乘积,只用“乘积的形式”表示行不行?

{%}

嗯。这下得到了 (c + a)(c - a) 的“乘积的形式”。但是 c + ac - a 都不一定是质数,所以这不能称为分解质因数。这条路走不通吗……

嗯……啊,我太傻了,又不是“总忘记条件的泰朵拉”,怎么把条件给丢了呢。计算前不是已经假定 a 为奇数,b 为偶数了吗。因为 a 为奇数,b 为偶数,所以 c 就为奇数。这样 ca 都是奇数,c + a 就是偶数, c - a 也是偶数。因为奇偶数之间普遍存在着以下关系。

奇数 + 奇数 = 偶数
奇数 - 奇数 = 偶数

因为 ca 都是奇数,所以下述式子成立。

c + a = 偶数
c - a = 偶数

c + ac - a 皆为偶数,b 也是偶数……。好,用数学公式把“偶数”表现出来看看。将 A, B, C 设为自然数,可写成如下形式。

\left{\begin{aligned}c-a~~&=2A\\b~~~~~~~&=2B\\c+a~~&=2C\end{aligned}

等一下,这样 A 会不会变成负数呢?不,不会的。因为 a, b, c 是直角三角形的三条边,斜边 c 肯定长于直角边 a,也就是说 c > a。所 以 c - a > 0, 2A > 0。那么,来研究一下 A, B, C 吧。

{%}

这下就把勾股定理中自然数 a, b, c 的“和的形式”变换成了自然数 A, B, C 的“乘积的形式”。只调查一下 a, b, c 的奇偶性,就迈出了一大步。但是,还不知道这条路走得对不对。

B2 = AC 的左边是平方数,右边是乘积的形式。虽然化成了乘积的形式,不过下一步应该从哪边着手呢?

2.5.4 互质

B2 = AC 这个式子到底能说明什么呢?

我绕着房间来回转圈,冥思苦想,环视书架,突然脑中浮现出尤里踮着脚尖张望的背影。这时我耳边响起自己说过的那句话。

 

“就算是明摆着的事,最好也要认真总结下来哦。”

 

那么,总结一下明摆着的事吧。

  • c - a = 2A。

  • b = 2B

  • c + a = 2C

  • B2 = AC

  • ac 是互质的……

等等,ac 是互质的吗?根据基本勾股数的定义可知,a, b, c 的最大公约数为 1。然而就算三个数的最大公约数为 1,其中两个数的最大公约数也不一定为 1。比方说 3, 6, 7 这三个数的最大公约数为 1,但是把 3 和 6 单拿出来,它们的最大公约数是 3……

不,不对。因为存在 a2 + b2 = c2 这个关系式,所以在基本勾股数的情况下,可以说“ac 的最大公约数是 1”。

现在假设 ac 的最大公约数为 g,且 g 大于 1,那么存在自然数 J, K 使得 a = gJ, c = gK。然后……

\begin{aligned}a^2+b^2&=c^2\\b^2&=c^2-a^2\\b^2&=(gK)^2-(gJ)^2\\b^2&=g^2(K^2-J^2)\end{aligned}

这样 b2 就是 g2 的倍数,所以 bg 的倍数。也就是说,a, b, c 这三个数都是 g 的倍数。然而这不符合 a, b, c 三个数互质这一条件, 所以 ac 的最大公约数 g 大于 1 这个假设不成立,所以 ac 的最大公约数是 1,ac 是互质的。

同理可证 abbc 之间也是互质的。

现在已知 ac 互质。嗯……话说回来,此时 AC 呢? AC 也是互质的吗?

问题2-5

ac 互质,当 c - a = 2Ac + a = 2C 时,可以说 AC 互质吗?

我认为可以说 AC 互质。但是说“认为”太主观,必须证明才行。

这个命题,用反证法马上就能证明了啊。

反证法 —— 假定原命题不成立,从而推导出矛盾的方法。

要证明的命题是“AC 互质”,所以反过来假设“AC 不互质”。此时 AC 的最大公约数不为 1,即大于等于 2。把 AC 的最大公约数设为 d (d ≥ 2)。dAC 的最大公约数,所以既是 A 的约数,也是 C 的约数。反过来说,AC 都是 d 的倍数,因此存在满足以下关系式的自然数 A', C'

\left{\begin{aligned}A&=dA'\\C&=dC'\end{aligned}

另一方面,下式是成立的。

\left{\begin{aligned}c-a&=aA\\c+a&=2C\end{aligned}

那么就用 A'C' 来表示 ac

{%}

这次我来消去 c

{%}

a = d(C' - A') 可知“ad 的倍数”。

因为 ac 都是 d 的倍数,所以 d ≥ 2 是 ac 的公约数。换言之,即“ac 的最大公约数大于等于 2”。然而问题中给出的条件是 ac 互质,所以“ac 的最大公约数应该为 1”。好,这样就引出了矛盾

出现矛盾,是因为最初假设了“AC 不互质”。因此,“AC 不互质”是不正确的,根据反证法可知“AC 互质”。

解答2-5

ac 互质,当 c - a = 2Ac + a = 2C 时,可以说 AC 互质。

至此已经求得“AC 互质”,这也是个重要的事实,是第二条标记用的丝带。

我将第二条丝带绑在树上,深呼吸。虽然有点累,不过还能在林中走一阵子。接下来,往哪儿走呢?

刚刚考虑的式子 B2 = AC 难不成相当于“平方数”等于“互质的两个整数的乘积”?这难道是路标吗?

2.5.5 分解质因数

现在舞台已经从 a, b, c 转向了 A, B, C

问题 2-6

  • A, B, C 是自然数。

  • B2 = AC 是成立的。

  • AC 互质。

此时,就没有什么有趣的东西吗。

“有趣的东西”是指什么啊,我忍不住吐槽自己。

好像我已经从原本的问题——“存在无数个基本勾股数吗”跑偏到外星球去了。

我又想起了米尔嘉的歌。

 

“整数的结构,是由质因数表示的。”

 

这样啊……将 A, B, C 分解质因数,会变成什么形式呢?以下这种形式吗?

{%}

把以上式子代入关系式 B2 = AC 观察一下。

{%}

喔?将 B2 分解质因数时,质因数 bk 全变成了 b^2_k 这种平方的形式。

原来是这样。将平方数分解质因数,就会发现里面包含偶数个质因数。

例如 182 这个平方数,分解得 182 = (2 × 3 × 3)2 = 22 × 34,里面包含质因数 2 和 3,2 和 3 的个数都是偶数。想想就觉得理应如此。

根据质因数分解的唯一分解定理 —— 分解质因数的方法是唯一的 —— 可知,B2 = AC 的左边和右边,质因数列是完全一致的。左边出现的质因数应该也会在右边的某处出现。也就是说——

啊,我明白了!

在此,第二条丝带——“AC 互质”这个条件有用了。AC 互质,也就是说 AC 的最大公约数为 1,换言之就是 AC 没有共同的质因数。考虑 B 的质因数 bk,则任意一个质因数 bk 不包含在 A 中,就包含在 C 中!

沿用刚才的例子 22 × 34,这个数可以表示为互质的两个自然数 AC 的乘积。如果有 1 个质因数 2 包含在 A 的质因数分解中,则所有的 22 都应该包含在 A 的质因数分解中。如果有 1 个质因数 3 包含在 A 的质因数分解中,则所有的 34 都应该包含在 A 的质因数分解中。某个质因数不能同时放在 AC 中。拿 22 × 34 来说,只能出现如下四种拆分方法。

\begin{array}{ll}A&\quad C\\\hline1&\quad2^2\times3^4\\2^2&\quad3^4\\3^4&\quad2^2\\2^2\times3^4&\quad1\end{array}

AC 中不能出现相同的质因数。而且质因数的个数是偶数……这也就意味着,AC 都是平方数。

解答2-6

  • A, B, C 是自然数。

  • B2 = AC 是成立的。

  • AC 互质。

此时,AC 是平方数

厉害厉害,因为 AC 是平方数,所以可以用自然数 m, n 来表示,如下所示。

\left{\begin{aligned}C~&=m^2\\A~&=n^2\end{aligned}

变量太多了很头痛,不过还可以前进。弄错了方向的话,再回头看看笔记就好。

因为 AC 没有共同的质因数,所以毫无疑问,mn 也是互质的。到头来 a, b, c 都可以用互质的 mn 来表示了!

首先,因为 a = C - A,所以

a=C-A=m^2-n^2

因为 a > 0,所以 m > n。又因为 a 是奇数,所以 mn 的奇偶性应该是不一致的。

接下来,因为 c = C + A,所以下式是成立的。

a=C+A=m^2+n^2

然后又因为 b = 2B,所以……这里需要计算一下。

{%}

因此,可知下式是成立的。

b=2B=2mn

最后,a, b, c 就可以用互质的 mn 来表示。

(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)

反过来,像上面这样用 mn 的形式表示的一组数 (a, b, c) 肯定是基本勾股数。这个只要计算一下就能确定。

{%}

a, b, c 的互质关系也可以通过简单的计算得到。

研究奇偶性,留意着互质这个条件分解质因数……我得到了基本勾股数的一般形式

基本勾股数的一般形式

互质的一组自然数(a, b, c),当满足关系式 a^2+b^2=c^2 时,可全部用以下形式表示(可以交换 a, b 的位置)。

\left{\begin{aligned}a&=m^2-n^2\\b&=2mn\\c&=m^2+n^2\end{aligned}

  • mn 互质

  • 满足条件 m > n

  • m, n 有一个是偶数,另一个是奇数

这下,隐藏在基本勾股数中的结构就浮现出来了。只要明确到这一步,泰朵拉的问题自然也就迎刃而解了。

不同的质数之间是互质的,所以使用质数列,就应该可以创造出无数个基本勾股数。例如设 n = 2,m 为大于等于 3 的质数。把 m 依次定为 3, 5, 7, 11, 13 的话,从 mn 的组合中可以创造出不同的 (a, b, c)。因为质数有无数个,所以可以创造出无数个基本勾股数。

路途很漫长,不过没有行差踏错。

解答2-1

存在无数个基本勾股数。

2.6 给泰朵拉讲解

“这样啊!如果是我的话,是绝对想不到的……”泰朵拉扬起双手说道。

“嘘——”

第二天放学后,我在图书室跟泰朵拉讲解昨晚的解法。没错,方法就是投入 m, n 这两个水果,榨出基本勾股数这杯混合果汁。

“抱歉,学长。这个解法很厉害,但换成我的话是绝对想不到的。所以该怎么说呢……厉害是厉害,但是太厉害了,反而不好拿来参考了。这个解法唰地一下想不出来啊……”

“我也不是唰地一下就想到的。想问题就好比在森林里漫步。这样吧,这次我们一起来想想问题的本质。”

“好……”

“‘整数’这个条件是非常强力的。”我展开了话题。

◎  ◎  ◎

“整数”这个条件是非常强力的。

基本勾股数的一大特征,就是它的范围内不包含实数,只包含整数,严格说来只包括自然数。实数的话值具有连续性,是不间断的。而整数的值具有离散性,是互相孤立的。

在做有关整数的研究时,研究奇偶性这个方法很有效。所谓“研究奇偶性”,就是问问自己某个数是奇数还是偶数。实数没有奇偶性,只有整数才谈得上奇偶性。只要出现整数 = 整数这样的等式,两边的奇偶性就是一致的。然后,奇数 + 奇数 = 偶数,偶数 × 整数 = 偶数这些计算也起到了作用。

整数的结构,是由质因数表示的”这句话也很有用。将整数分解质因数,整数的结构就显而易见了。分解质因数的结果是唯一的,所以存在整数 = 整数这个等式时,左边式子分解质因数的结果与右边式子分解质因数的结果是完全一致的。我们就利用这个条件。

如何利用呢?

我们将其落实到乘积的形式。构成乘积的数字称为因数。例如刚刚有提到 AC 这个乘积的形式。此时的 AC 都是因数对吧。你应该知道,质数是不能再进行质因数分解的。如果是两个互质的因数的乘积,那么一个质因数是不能同时出现在这两个因数之中的。所以我采用了“两个数的平方差等于两数之和乘以两数之差”这个定理,将问题落实到两个整数的乘积上。

当然,实际研究问题时,用数学公式表达语言这门技术也是不可或缺的。例如,把“偶数”写作 2k,把“奇数”写作 2k - 1 的形式,平方数的话就写成 k2。像这样,练习用数学公式将语言表达出来是很重要的。之前泰朵拉你也说过“这就像写数学作文”对吧。将“奇数”写作 2k - 1,应该就是数学作文的惯用句吧。

互质这一条件也很重要。两个数互质,也就是没有共同的质因数。根据这个条件才能获得“质因数不能分别包含于两个因数之中”这个决定性的要素。

就这样在一点点拓开道路,寻找标志性丝带的途中,就会逐渐找到森林的出口了。—— 嗯,或许会找到。

◎  ◎  ◎

“唉……”泰朵拉叹了口气。

“累了?”

“没……我没事。刚才讲的‘用数学公式表达语言’那一块儿,学长逐步导入了不少变量呢。用数学公式表达‘偶数’和‘平方数’的时候……我很不擅长这个啊,感觉一导入变量反而更难了。”

“原来如此。”

“出现整数的时候,办法是先研究奇偶性,再分解质因数,变化成乘积的形式,然后除以最大公约数构成‘互质’……”

“不过,这不适用于所有情况哦。”

“嗯嗯,这我知道,这只不过是想问题的思路。也就是说,有时候也会走错路对吧。”

“嗯……‘弄错了方向的话,往回走就好’。细细想来,透过村木老师出的这个问题,似乎可隐约看见‘整数真实的样子’。深究这个问题的话,是不是会逐步接近数字的本质呢……”

2.7 十分感谢

泰朵拉的声调突然沉了下来。

“学长,你知道……我……现在……在想什么吗?”

“诶?不知道。”

话说之前尤里也问了差不多的问题。

 

“知道我在想什么吗?”

 

“嗯……那个,搞得这么正式挺不好意思的……我想跟学长道谢。关于‘存在无数个基本勾股数吗’这个问题,我也认真地想了。我真的有认真想过哦。今天听了学长一席话,受益匪浅。我知道了解决‘整数’问题的独特方式—— 奇偶性、分解质因数、乘积的形式、平方数和互质。感觉整数发出了‘吱嘎吱嘎’的声音。我之前一直以为整数比二次方程式和微积分简单,但是我错了。整数虽然看似很简单,但不能小看它,我得端正对它的态度……这都多亏了学长不厌其烦地帮我讲解。从学长的话中,我总能学到学校和书本里学不到的东西,一些总是令我恍然大悟的东西。”

泰朵拉说着,脸颊逐渐染上了红晕。

“很多事情,我之前都认为自己是‘懂’的。勾股定理,我懂!整数,我懂!但是,或许我只是‘自以为懂’……”

泰朵拉继续说着。

“现在我很明白自己不太懂整数。不过有学长在,我就会不屈不挠,勇往直前。现在我在森林中迷路了。不过,我感觉总有一天,我会从中脱身……我说的这些话,是关于数学,又不全是关于数学……”

泰朵拉双耳通红,深深地鞠了个躬。

“学长,谢谢你带给我这美好的旅途。”

2.8 单位圆上的有理点

第二天放学后,教室里只剩下我和米尔嘉。

“找到‘某个无数存在的东西’,就没这么难了。”米尔嘉站在黑板前,说是要用有趣的方法证明“单位圆上存在无数个有理点”。

米尔嘉捏着粉笔,在黑板上慢慢地画了一个大圆。我用眼睛追着那美丽的轨迹。

“首先再来确认一次问题。”米尔嘉说。

◎  ◎  ◎

首先再来确认一次问题。设(x, y)为平面坐标上的一个点,则方程式 x2 + y2 = 1 表示以原点为中心,半径为 1 的圆。在这个圆上“存在无数个有理点”,就相当于方程式 x2 + y2 = 1“存在无数个有理数解”,这两个命题是等价的。

现在,通过圆上的点 P (-1, 0),以 t 为倾角画一条直线 \ell

{%}

因为倾角为 t 时直线通过点 T (0, t),所以直线 \ell 的方程式如下。

y=tx+t

排除直线 \ell 与圆相切于点 P 的情况,除点 P 之外,直线 \ell 一定还与圆上另一点相交。我们称这个交点为 Q。要用 t 来表示点 Q 的坐标,只要解开下面的联立方程式即可。因为联立方程式的解就等于方程式所表示的图形的交点。

{%}

解这个联立方程式。

{%}

因为 t^2+1\neq0,于是这就变成了一个关于 x 的二次方程式。虽然用二次方程式的公式来解也可以,不过由点 P (-1, 0) 的 x 坐标可知, x = -1 是这个二次方程式的一个解。所以可以像下面这样,提出 x + 1 这个因式。

(x+1)\cdot\Bigl((t^2+1)x+(t^2-1)\Bigr)=0

该式与下式是等价的。

x + 1 = 0 或者 (t2 + 1)x + (t2 - 1) = 0

因此可以像下面这样,用 t 表示 x

x=-1,\quad\frac{1-t^2}{1+t^2}

如果使用直线方程式 y = tx + t,也可用 t 表示 y。因为 (x, y) = (-1, 0) 不是点 Q,所以我们只研究 x=\frac{1-t^2}{1+t^2} 的情况。

\begin{aligned}y&=tx+t\\&=t\biggl(\frac{1-t^2}{1+t^2}\biggr)+t\\&=\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}+t\\&=\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}+\frac{t(1+t^2)}{1+t^2}\\&=\frac{t(1-t^2)+t(1+t^2)}{1+t^2}\\&=\frac{2t}{1+t^2}\end{aligned}

这样就得到 x=\frac{1-t^2}{1+t^2},y=\frac{2t}{1+t^2}。这就是点 Q 的坐标,即

\biggl(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\biggr)

那么,我在想能不能把圆上的有理点和“某个无数存在的东西”一对一对应呢?现在我们关注 y 轴上的点 T。使用点 Ty 坐标 (t),通过加减乘除运算即可得到点 Q 的坐标。也就是说 —— 如果点 T 是 y 轴上的有理点,那么点 Q 也是有理点。这是因为将有理数进行加减乘除运算得到的还是有理数。可以通过自由变换 y 轴上的无数个有理点得到点 T,点 T 不同,交点 Q 也不同。综上所述,这个单位圆的圆周上存在无数个有理点。

{%}

解答2-2

以原点为中心的单位圆上,存在无数个有理点。

◎  ◎  ◎

“原来如此……”我说。

“你还没发现吗 ?”米尔嘉说。

“什么?”

“今天你还真迟钝啊,我是说泰朵拉。”

“我没跟她一起吃午饭啊。”翻什么旧账啊?

“我不是问你那个,你没看见泰朵拉的卡片吗?将 a, b, c 设为自然数,考虑勾股定理 a2 + b2 = c2,两边同时除以 c2,会出现什么?”

\Bigl(\frac{a}{c}\Bigr)^2+\biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1

“啊!(x,y)=(\frac{a}{c},\frac{b}{c})x2 + y2 = 1 的解!从勾股定理可以引出单位圆!”

“你要是说‘出现了单位圆上的有理点’就好了。不同的基本勾股数,就对应不同的有理点 (\frac{a}{c},\frac{b}{c})。‘存在无数个基本勾股数’和‘单位圆上存在无数个有理点’是等价的。两张卡片本质上是一个问题。”

“什么?!”我惊呆了。

{%}

“没想到你会这么吃惊,你真的一直都没注意到吗?”米尔嘉说。

没注意到……

泰朵拉的卡片上写着整数的关系。

米尔嘉的卡片上写着有理数的关系。

看了两张卡片,却没注意到是同一个问题……

“真没面子。”我说。

“嗯。搞得你这么失落,我也挺发愁的。把卡片组合不是村木老师的惯用招数吗。老师用两张卡片暗示了谜题。‘调查方程式的解’是代数题,‘用图形来捕捉事物’则是几何题。代数与几何—— 村木老师想让我们看这两个世界。”

“两个世界……”我说。

 

“‘数星星的人’和‘画星座的人’。这两种人,哥哥你属于哪种?”

 

在此谷山 - 志村猜想登场。

空前绝后的推测,在毫无关系的两个世界间架起了桥梁。

没错,数学家这帮人,非常喜欢干架桥这种事儿。

——《费马大定理》[2]

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