第 1 章 将无限宇宙尽收掌心

第 1 章 将无限宇宙尽收掌心

同学们,有人说它像一条大河,也有人说它像一片牛奶

流淌后留下的痕迹

—— 这白茫茫的一片究竟是什么东西,你们知道吗?

—— 宫泽贤治《银河铁道之夜》1

1《银河铁道之夜》,宫泽贤治(著),周龙梅(译),少年儿童出版社 2014 年 7 月出版。

 

1.1 银河

“哥哥,好漂亮啊。”尤里说。

“是啊。数不清有多少颗。”我回答。

 

尤里上初二,我上高二。

她管我叫“哥哥”,但我并不是她的亲哥哥。

我的妈妈和尤里的妈妈是姐妹俩。也就是说,我是他的表哥。

她住在我家附近,比我小三岁。从小时候起我们就经常在一起玩耍。尤里很仰慕我,可能是因为我跟她都是独生子女吧。

我房间里堆着好些书,她很喜欢那些书,休息日总是泡在我家里读书。

那天也是如此。我们一起看星星的图鉴,大本的图鉴上满是照片,织女星、牛郎星、天津四、南河三、天狼星、参宿四……星星的照片,说起来不过是发光点的集合,仿佛存在规律性,又好似没有。我们深深地沉浸在这份美丽之中。

“听说看夜空的人分成两种 ——‘数星星的人’和‘画星座的人’。哥哥你属于哪种?”

“我应该是数星星的那种吧。”

1.2 发现

“哥哥,高中学习难吗?”尤里一边问,一边摇晃着栗色的马尾辫,把书放回书架上。

“学习?没有那么难。”我擦着眼镜回答。

“但是,这里的书感觉都好难啊。”

“这些不是学校的课本,是我自己感兴趣才看的。”

“出于兴趣读的书反而更难,真怪。”

“因为自己喜欢的书都是拿来挑战自己理解极限的嘛。”

“一如既往,好多数学书啊……”尤里踮着脚,望着高大书架上的图书,努力想看清书脊。紧腿蓝色牛仔裤很配她那苗条的身材。

“尤里你讨厌数学吗?”

“数学?”尤里回过头,“嗯……说不上喜欢,也不讨厌。哥哥你应该是 —— 喜欢的吧?”

“嗯,我喜欢数学。学校放学后,我也会在图书室里研究数学。”

“诶?”

“图书室在学校尽头,冬暖夏凉。我超喜欢图书室,每次去那都要拿上喜欢的书,基本上都是数学书,还带着笔记本和自动铅笔,在那写数学公式,然后思考。”

“诶?写数学公式?而且不是作业?”

“嗯。作业我课间休息的时候就写完了,放学后就开始摆弄数学公式。”

“那样……开心吗?”

“有时候也会画图,偶尔会发现一些美丽的东西。”

“诶?自己写笔记还会发现美丽的东西?”

“嗯,对啊,我自己都想不到。”

“尤里也想让哥哥教给人家喵~”

我这表妹,撒娇的时候不知怎的会学猫说话。

“好啊,现在就来试试看吧。”

1.3 找不同

我把笔记本在桌子上摊开,冲尤里招手。她拖着椅子轻轻坐在我左边。瞬间飘来一股洗发水的香气。尤里从胸前口袋中取出一副树脂边框的眼镜戴上。

“咦?这是哥哥写的?”

尤里探着头,惊讶地看着笔记本。是米尔嘉的笔迹。

“呃,这是哥哥的朋友写的。”

“诶,字好漂亮,简直跟女生写的一样。”

本来就是女生写的嘛。我心想。

哪个数字不同于其他数字?

101321681
911450811

“哥哥,这是什么题?”

“这个题叫作找不同。这里有六个数对吧? 101, 321, 681, 991, 450,还有 811。在这些数字中间,只有一个与别的数字‘不同’。我们就是要找出这个数。”

“很简单啊,450 对吧?”

“嗯,正确。不同的是 450。为什么呢?”

“只有 450 不是以数字 1 结尾,其他五个数字都是以 1 结尾的。”

“没错……那么,你能答对下一道题吗?这也是我朋友出的题。”

哪个数字不同于其他数字?

113141
516171

“诶?全部都以 1 结尾啊。”

“嗯,这一题跟上一题的规则不一样,每道题数字间的不同之处都是不一样的。”

“我不知道。哥哥你知道吗?”

“嗯,很明显啊,51 是不同的。”

“诶?为什么?”

“只有 51 不是质数。因为 51 = 3 × 17 可以分解质因数,所以 51 是合数,而其他都是质数。”

“这我怎么可能知道嘛!”

“那看看下道题如何?”

哪个数字不同于其他数字?

100225121
256288361

“嗯……哥哥,是 256 吧?其他数字中都有两个连续相同的数。100 的 00,225 的 22,288 的 88……对吧?”

“但是 121 不连续啊?”

“唔……有两个 1 相同,所以也算是啦。”

“那 361 又怎么算呢?”

“唔……”

“这道题里,不同的是 288。”

“为什么为什么?”

“只有 288 不是平方数。也就是说,只有 288 不能变成某个整数的平方的形式。”

\begin{matrix}100=10^2&&225=15^2\quad~~&&121=11^2\\256=16^2&&288=17^2-1&&361=19^2\end{matrix}

“我说哥哥,我能知道这个才怪呢。”

“那下面这道题如何?哥哥我可是花了一整天才解开这道题的。”

哪个数字不同于其他数字?

239251257
263271283

“你能想一整天?太吓人了。”尤里说。

这时,我妈拿来了可可。

“啊,不好意思,谢谢您。”

“脚不要紧吧?”我妈问尤里。

“嗯。”

“她脚怎么了?”我问道。

“脚跟附近偶尔会非常痛。”尤里说。

“是不是生长痛啊……”

“没关系,我下周去医院看看。”

“是吗?话说回来,这房里要是多放一些尤里喜欢看的书就好了。”

我妈看了一圈我的书架说道。

“没事,我喜欢哥哥的书架。啊,这可可超级好喝的!”

“喜欢就好,留下一起吃晚饭吧。”

“好!不好意思总麻烦您。”

“想吃什么?”我妈来回看着我俩。

“这个嘛,健康点的就好。”

“不过,要有活力的!”我说。

“不过,要洋气的!”尤里憋着笑。

“不过,要有日本情调的!”我也笑了。

“喂,孩子们……你们以为妈妈是神仙吗。好,那我就试试满足你们这超级具体又一如既往的愿望吧。”

我妈说着走出了房间,我们鼓掌目送她。

1.4 时钟巡回

“别猜谜题了啦,之前说的‘美丽的发现’是怎么回事啊?”

“那么我们就来谈谈时钟巡回吧。”

“嗯。”

“像这样,画个圆。—— 圆你知道吧。”

“当然!”

“画个圆,把它看成时钟。从 12 点的地方开始,每隔两个空连一条线。也就是先从 12 到 2 画一条线,然后再从 2 到 4 画一条线,接着从 4 到 6,从 6 到 8……明白吗?”

“当然明白。”

“一直画下去会怎么样?”

“会回到 12,形成一个六边形。”

“没错,会形成一个六边形。将 2, 4, 6, 8, 10, 12 连起来,跳过 1, 3, 5, 7, 9, 11。”

“嗯,我明白。把偶数连起来,跳过奇数对吧。”尤里连连点头。

{%}

“对。啊,尤里,你还知道奇偶数啊!”

“喂,哥哥!你从刚才就……把我当笨蛋?”她生气地鼓起脸颊。

“没有没有,那我们再画一个时钟。刚才是每隔两个空连一条线,这次我们每隔 3 个空连一条线,就是 3, 6, 9,然后回到 12。”

{%}

“哥哥,这次形成了菱形呢。”

“然后我们将级数设为 4。”

“级数?”

“把‘每隔 4 个空’称为‘级数为 4’。级数为 4 时,就连上了 4、8 以及 12。”

{%}

“形成了三角形。”

“那么,再往下看。这次我们每隔 5 个空连一条线,也就是说——”

“也就是说,级数为 5 对吧。”

“对。这次就好玩了! 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7,然后回到 12。”

{%}

“哇!好好玩,转得好漂亮啊!”

“是吧。尤里你刚刚说的‘转得好漂亮’,是说‘把所有数字都连上了’吧。”

“嗯,对。绕一周后没有刚好回到 12,而是错过去了。每绕一圈就继续向下错位,最后终于回到 12。结果线通过了所有的数字。”

“没错。我们把时钟表盘上所有的数都绕一遍的现象称为完全巡回。级数是 5 的话,就能完全巡回。”

“我明白了。”

“接下来级数是 6。”

{%}

“级数为 6 就没意思了,只有 6 和 12 啊。”

“那这次换尤里画画看。哥哥看着你画。”

“嗯,知道了,我试试看。嗯……级数是 7 对吧。从 12 开始,沿顺时针方向,每隔 7 个空连线。首先是 7,然后是……2 吧。2 之后是 9…… 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5, 12。啊,完美地绕遍了所有数字。完全巡回!”

{%}

“有没有发现什么?”

“发现什么?”

“随便什么都行。”

尤里看着图陷入了深思。

我从侧面看着她那认真的样子。栗色头发束在脑后,一脸专注的初二学生,眼镜与她的气质很是相称。

“嗯……不知道。”

“我们把刚刚级数 5 和级数 7 的图放在一起看看。”

{%}

“嗯?啊,顺序相反!嗯……每隔 7 个空顺时针连线的效果,刚好跟每隔 5 个空逆时针连线的效果一样。”

“对。那这次我们把级数换成 8……”

“啊,不行不行,哥哥!不准你画!我来画!这次是跟级数 4 的效果一样!”

{%}

“就是这样。”

“剩下的都交给我来画!”

{%}

“好有意思啊。”

“把级数 1 和级数 11 也画出来啊,尤里。”

“啊,对……级数 1 的话不用空过去直接连就好了。—— 这也算完全巡回吗?”

{%}

“级数为 6 时,说起来就是跟自己配成一对哦,尤里。”

{%}

“全部都组成了一对呢。嗯……自己动手画居然能有新发现。”尤里说。

“倒不如说,只有自己动手画才能有新发现。”

1.5 完全巡回的条件

“哥哥平常就在图书室干这些事吗?”

“嗯。哥哥我呀,就喜欢这种游戏。玩时钟巡回大概是初中时候的事了。那时候我在笔记本上画了好多这样的图形。”

“我说哥哥,这图形有什么秘密吗?”

“貌似是有什么规律。”

“嗯!确实!”

“比如说,什么时候能实现‘完全巡回’呢?”

“嗯,级数是 1, 5, 7, 11 的时候?”

“是这样没错。嗯……先在这里总结一下吧。”

可实现完全巡回的级数总结

若级数为1, 5, 7, 11,可完全巡回。

若级数为2, 3, 4, 6, 8, 9, 10,无法完全巡回。

“这不是明摆着的事吗?”

“就算是明摆着的事,最好也要认真总结下来哦,尤里。总结出具体例子,看级数是哪些数时可以实现完全巡回,然后据此找出级数的规律。‘从具体例子中引出规律’称为归纳。为了进行归纳,要更认真地思考。你认为形成完全巡回的规律是什么?”

问题 1-1 (完全巡回的规律)

级数具备何种性质时,可实现完全巡回?

“我不太明白呢……话说回来,感觉就像人家在跟哥哥一起研究呢。”

“尤里,不是就像在一起研究,而是正在一起研究哦。虽然问题本身很不起眼。”

1.6 巡回哪里

“我们试着把能巡回的数字按级数归纳到里,不分先后顺序。”

{\begin{array}{c|c}\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\\8\\9\\10\\11\\\end{array}&\begin{matrix}~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\~2&4&6&8&10&12\\~3&6&9&12\\~4&8&12\\~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\~6&12\\~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\~4&8&12\\~3&6&9&12\\~2&4&6&8&10&12\\~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\end{matrix}\end{array} }

“怎么看这张表呢?”

“最左侧那列,竖着排列的 1~11 是级数。然后将与级数对应的巡回的数字从小到大排列,就是右边横着排列的那些数字。打比方说,级数为 3 时,就能巡回 3, 6, 9, 12 这四个数字,就是刚才我们画图时用线连起来的数字。从这张表中你能看出些什么吗?”

“感觉像倍数?”

“什么意思?”

“呃……我说不好。”

“这可不行。得把想到的都好好表达清楚。”

“那个,我感觉巡回的数字就是‘巡回的数字中最小的那个数字’的倍数。”

“哦?比如说?”

“比如说,从上面数第二行,2, 4, 6, 8, 10, 12 全都是 2 的倍数。然后刚才哥哥你说的从上面数第三行的 3, 6, 9, 12 全都是 3 的倍数,对吧。所以右边最左端的数字是 1 的话,就可以转一周。就是完全巡回。举个例子,级数为 1, 5, 7, 11 时,对应那一行就把 1~12 所有数字都集齐了。因为每个自然数都是 1 的倍数!”

“原来如此!确实是这样。我们把 1, 5, 7, 11 这四行单独拿出来看看吧。”

{\begin{array}{c|c}\begin{array}{r}1\\5\\7\\11\\\end{array}&\begin{matrix}~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\~1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\end{matrix}\end{array} }

“对吧对吧?”

“没错。能实现完全巡回的级数那行肯定包含 1,而且不能实现完全巡回的级数那行是不包含 1 的……”

“嗯嗯。这样问题 1-1(完全巡回的规律)就有答案了呢。”

“不不,还没有。问题要求的是级数的性质,所以必须说出巡回的数字中包含 1 的都有哪些级数。”

“什么意思啊,哥哥?”

“我们把‘巡回的数字中最小的那个数字’称为最小巡回数。刚才你发现‘最小巡回数’等于 1 的话就可以实现完全巡回对吧。”

“是这样呢。”

“问题是可以从‘级数’计算‘最小巡回数’吗?我们试着总结之前研究的内容,把从‘级数’到‘最小巡回数’的对应关系写出来,看看能不能找出‘最小巡回数’的计算方法。”

     “级数”\longrightarrow“最小巡回数”

\begin{aligned}1\longrightarrow1\\2\longrightarrow2\\3\longrightarrow3\\4\longrightarrow4\\5\longrightarrow1\\6\longrightarrow6\\7\longrightarrow1\\8\longrightarrow4\\9\longrightarrow3\\10\longrightarrow2\\11\longrightarrow1\\\end{aligned}

“唔……人家看不出来。刚开始是 1, 2, 3, 4,怎么突然又回到 1 了呢。”

“那给你个提示。时钟的‘表盘数字的个数’一共有 12 个对吧。结合 12 这个数字想想看。”

尤里拨弄着马尾辫,想了一阵。

“嗯……嗯……倍数?感觉左边的数字好像是右边的数字的倍数。”

“嗯?”

“比如从下往上数第四个,左边是 12 和 8,右边是 4 对吧。12 和 8 都是 4 的倍数!”

“原来如此,确实是这样……”

“啊,这个我在学校学过。这个叫公倍数,不不,搞反了,是公约数。右侧的‘最小巡回数’是左侧两个数字的约数……因为是两个数字的约数所以是公约数! 12 和‘级数’—— 也就是‘表盘数字的个数’与‘级数’的公约数就是‘最小巡回数’!”

“真厉害!可惜有点遗憾,不只是公约数这么简单哦。”

“诶?啊,对了,是最大公约数!”

“没错。那什么情况下能实现时钟的完全巡回呢?”

“最大公约数为 1 的时候。‘表盘数字的个数’与‘级数’的最大公约数为 1 的时候能实现完全巡回。”

“对,回答完全正确!”

“万岁!”

解答1-1 (完全巡回的规律)

“表盘数字的个数”与“级数”的最大公约数等于 1 时,可实现时钟的完全巡回。

“总之就是‘互质’时可以实现完全巡回。”

“互……质?什么意思?”

“就是‘最大公约数为 1’。”

互质

自然数 ab 的最大公约数等于 1。

此时我们将 ab 的关系称为互质

“打个比方,12 和 7 的最大公约数等于 1,所以 12 和 7 是互质的。而 12 和 8 的最大公约数等于 4,所以 12 和 8 不互质。用互质可以这样描述完全巡回:只有‘表盘数字的个数’与‘级数’互质时,才能实现时钟的完全巡回。”

解答1-1a (完全巡回的规律)

只有‘表盘数字的个数’与‘级数’互质时,才能实现时钟的完全巡回。

“嗯……互质啊。”

“尤里有一种打破砂锅问到底的精神,真了不起啊。刚才我列表的时候,你也问我该怎么去看来着。不太明白的时候就有必要打破砂锅问到底。尤里就是这种‘打破砂锅问到底的人’呢。”

“因为人家笨嘛,好多东西都不懂。”

“尤里才不笨呢,勇于承认‘不懂’是正确的,笨蛋是那些揣着不懂‘装懂’的人。”

“哈哈……只有哥哥你才会表扬我的‘不懂’。不过,能受到表娘好开心喵~”

“表娘?”

“不要在意细节!人家不好意思嘛,你就别吐槽了啦~”

1.7 超越人类的极限

“哥哥,这个时钟巡回也是数学吗?”

“是啊,我认为是标准的数学。”

“不过,怎么说呢……画个时钟,咕噜咕噜转,列个表……很有意思,不过还是更像玩游戏。这是数学吗?数学是什么?”

“数学是什么?—— 这一句话是说不清的。不过,调查数字的性质应该是数学重要的活动之一,归在数论这个领域。就像刚刚咱们两个那样,画画图,列列表,推测推测数字的性质,找出其中的规律。这确实很有游戏的味道,不过归根结底还是数学。一般规律不可能一眼就看出来,而是要通过分析具体的事例来导出,这个过程就是归纳。其口号就是从特殊到一般。”

“嗯……是这样吗?”

“这么说吧,表盘数字的个数一般有 12 个对吧。12 个数很少,用级数一个个去试,自己就能亲眼见证能不能实现完全巡回。但是要是有 100 个数字怎么办?虽然这时候已经算不上时钟了。要是有 1000 个,100 000 000 个数字呢?那时候,级数是多少才能实现完全巡回呢?”

“那么多想试都试不了。”

“对,我们没有办法实际去试。不过啊,就算不能靠画图实际确认,只要求出‘表盘数字的个数’和‘级数’的最大公约数,就知道能否转遍所有数字。即使自己不去尝试,世界上谁都不去实际尝试,我们也能知道答案。这就是数学的力量。”

“……”

“看穿问题中隐藏的规律,我们甚至能洞察自己无法到达的未来,以及世界的尽头。”

“看穿规律……”

“数学连无限都可以处理。既可以将无限时光折叠,放入信封,也可以将无限宇宙尽收掌心,令其高歌。这就是数学的乐趣所在。”

“喔……”

“数学很厉害的哦。”我说。

“数学是很厉害,但是哥哥你能这么热情地聊数学就更厉害了!比学校的老师还有热情!人家都吓了一跳喵……”尤里抿嘴笑着说,“哥哥你干脆将来当老师吧,你也很会教人。要是哥哥来当我的老师,人家成绩肯定会突飞猛进的。”

“但是等我当上老师的时候,尤里你都已经毕业了啊。”

“啊,对啊……”

 

尤里摘下眼镜,慢悠悠地放回胸前口袋,略带几分扭捏地摆弄着头发。不一会儿,她突然换了个话题。

“我说,‘哥哥’这个称呼,是不是太孩子气了呢。”

“没有啊,你喜欢怎么叫就怎么叫。”

“嗯,也对!我说……哥哥。”

“什么?”

“那个……”

“嗯。怎么了?”

“你知道人家现在在想什么吗?”

我看着尤里,尤里看着我。她把手背在脑后,捏着马尾辫,上下啪嗒啪嗒地摇着,好像小马的尾巴。虽然发色是栗色,但随着光影变幻时而会闪烁出金色的光芒。

“在想什么?”我问道。

“嗯……算了,不告诉你喵。”

尤里笑着冲我露出两颗小虎牙。

1.8 究竟是什么东西,你们知道吗

“对了,哥哥之前花了一天琢磨的那个找不同的谜题,你还没告诉我答案呢。”尤里说。

哪个数字不同于其他数字?

239251257
263271283

“弄明白了其实很简单的。239, 251, 257, 263, 271, 283 这六个数都是质数。质数中只有 2 是偶数,所以这六个数理所当然都是奇数。也就是说,将它们除以 2 都会余 1。”

“这个嘛,确实如此。”

“那么,不去 想‘除 以 2 的余数’,换个角度想想‘除以 4 的余数’。列成表就是下面这样。”

\begin{aligned}&239=4\times59+3\quad&251=4\times62+3\quad&257=4\times64+1\\&263=4\times65+3\quad&271=4\times67+3\quad&283=4\times70+3\end{aligned}

“诶?有什么不一样的吗?”

“六个数中,只有 257 除以 4 余数为 1。剩下的五个数除以 4 余数都是 3。”

“啊……是这样没错。但是哥哥,这平常根本不会注意到啊。不觉得有些牵强吗?除以 4 有那么重要?”

“可是……听到自然数这个条件,就应该马上想到‘它是奇数还是偶数’。奇数和偶数用除以 2 的余数来区分。偶数余数为 0,奇数余数为 1。用除以 4 的余数分类这个方法也跟它很像。因为奇数除以 4 余数不是 1 就是 3。哥哥我花了一天才注意到‘用除以 4 的余数来分类’这件事。为这事儿我肠子都悔青了。”

“哥哥你真是喜欢数学啊!总觉得听哥哥讲话好有意思啊!人家想知道什么,哥哥就会马上告诉我。人家稍微提一句,哥哥就会告诉我像时钟巡回这么有意思的事,还会热情地跟我说关于数学的事……人家好想从哥哥那学更多东西啊……对了!不当学校老师也可以的,只要当人家的专属老师就好了!”

“请别人教是一方面,但是自己思考也很重要。即便是理所当然的事,也要想一想是不是果真如此,这种怀疑的态度是非常重要的。”

“简直就跟‘猫老师’一样呢。”

“猫老师?”

“爸爸那有部老动画,猫老师是那里面的角色。嗯……它是这么说的。”

 

同学们……

这白茫茫的一片究竟是什么东西,你们知道吗?

 

“白茫茫的一片?”我又问道。

“嗯。说的是银河。虽然人们叫它‘河’,但并不是一条河,它其实是由小星星汇聚而成的。猫老师其实是想让同学们去看它真实的样子。猫老师问焦班尼,焦班尼答不上来。可是啊,其实猫老师自己也不知道银河真正真实的样子。那之后,焦班尼坐着银河铁道列车体验了银河……”

“宫泽贤治的那部作品?”

“对对,就是那个。《银河铁道之夜》。”

“‘究竟是什么东西,你们知道吗’——这真是个好问题。这是在问‘真实的样子’啊……”

白茫茫一片的“真实的样子”。

数字本身“真实的样子”。

我们自身“真实的样子”。

……

 

这时,厨房传来了我妈的呼唤声。

“孩子们,开饭了!健康又有活力,洋气又有日本情调的 —— 超辣茄子咖喱饭!”

 

高斯走过的路即数学的前进之路。

这条路具有归纳性。

从特殊到一般!此乃标语。

—— 高木贞治 [3]

目录