前 言

“现在我说的是一句假话。”这句话是真是假?假定它为真,将推出它是假;假定它为假,将推出它是真。

这个以“说谎者悖论”而闻名的命题自公元前4 世纪就开始流传,迄今仍然以其特有的魅力吸引着为数众多的人们。悖论所具有的非凡吸引力由此可见一斑!

“悖论是有趣的!”每一个接触过悖论的人都会对此深有同感。

“悖论是极其重要的!”接受这一观点的人却要少得多。

在这本书中,我们就是要通过介绍在数学发展中产生了巨大影响的三个悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论),使读者明了悖论不但迷人,而且是数学的一部分,并为数学的发展提供了重要而持久的助推力。

然而,什么是悖论?

对这个看似简单的问题,我们却不能给出一个普遍适用的答案。因为,悖论之悖是因人因时而异的。比如,现代读者一般很难在“ enter image description here 是无理数”这一数学命题中看到古怪之处。然而,这一命题正是我们在第一部分中所要介绍的毕达哥拉斯悖论,也正是它在古希腊成为一场巨大数学风波的导火索,从而引发了第一次数学危机,进而引导古希腊数学走向一条迥异于其他古代民族的发展道路。或许,对我们而言,如此平常的命题竟会导致数学危机并产生如此深刻的影响,才是真正的古怪之事!

由此得到的教益是,我们必须将悖论放在特定的背景下进行考察,才能透彻地明白其悖之因。鉴于此,在本书中我们将对毕达哥拉斯等悖论产生前的背景做详尽介绍。在此基础上,再对它们所引发的数学危机、危机之解决、悖论解决过程中产生的各种数学成果、悖论解决后产生的深远影响等做透彻阐述。

于是,读者朋友将会发现,这次数学之旅中对悖论的介绍在全书中占比不多。事实上,悖论在书中起的是穿针引线的作用,我们将围绕着它们更多地介绍“悖论之花”得以绽放的数学土壤和结出的数学之果。通过这种视野更为广阔的阐述,希望读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用,又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识,并理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的。书中还将数学思想融于其中,穿插数学家的逸事,融知识性与趣味性于一体,既增加读者的兴趣,又有助于增进读者对“数学家是什么样的人”“数学是什么”的了解。

本书在写作过程中参考了大量的数学图书(书后附有主要的参考文献),谨向这些书的作者和译者表示真诚的谢意。

此外,我还要感谢我的父母与妻子,感谢他们对我一贯的支持。特别是我的妻子张红负责绘制了本书中的许多几何图形,为本书的早日完成提供了直接帮助。

张景中院士在百忙中为本书写了精彩序言,在此对张院士表示由衷的谢意。

需要说明的是,这本新版添加了一篇“哥德尔证明”的长文作为附录,并对旧版中存在的个别介绍不清或不当之处做了补充、修改。尽管如此,书中不足或错误仍在所难免,我真诚地期望能得到读者朋友的指正。如果你有什么意见或建议,可以通过电子邮件与我联系:zhhxt@163.com。

目录

  • 前 言
  • 第一部分 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
  • 第1章 几何定理中的“黄金”:勾股定理
  • 第2章 秘密结社:毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
  • 第3章 风波乍起:第一次数学危机的出现
  • 第4章 绕过暗礁:第一次数学危机的解决
  • 第5章 福祸相依:第一次数学危机的深远影响
  • 第二部分 贝克莱悖论与第二次数学危机
  • 第6章 风起清萍之末:微积分之萌芽
  • 第7章 积微成著:逼近微积分
  • 第8章 巨人登场:微积分的发现
  • 第9章 风波再起:第二次数学危机的出现
  • 第10章 英雄时代:微积分的发展
  • 第11章 胜利凯旋:微积分的完善
  • 第三部分 罗素悖论与第三次数学危机
  • 第12章 走向无穷
  • 第13章 数学伊甸园
  • 第14章 一波三折:第三次数学危机的出现
  • 第15章 兔、蛙、鼠之战
  • 第16章 新的转折
  • 附录 哥德尔证明