这本《数学悖论与三次数学危机》,值得一读。

它的特色是:史料脉络清晰,说理透彻明白,文字通俗生动。这样的科普作品会引起读者的兴趣,会启发读者进一步的思考,会给读者留下回味,特别是使青少年读者受益。

将数学悖论和三次数学危机联系在一起谈,确实是一个不错的想法。三次数学危机都是数学史上的精彩情节,引人入胜;而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译,都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。

通过这些故事,你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果,数学的抽象更是经过千锤百炼而成的。

在本书中,你也许找不到“什么是数学悖论”这一问题的答案,但这并不影响你阅读本书,而且你还会从中得到乐趣和智慧。事实上,对于数学悖论,大家的理解至今并不一致。同一个问题,例如有理数的平方不可能等于2,在古希腊被认为是悖论,在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代,不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法,甲以为是悖论,乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。

例如,作者在前言开始就提到的有名的“说谎者悖论”,几年前经过我国数学家文兰的严密分析论证,其本质不过是布尔代数里的一个矛盾方程。矛盾方程在通常的代数中很普通,在布尔代数里也是要多少就有多少,每一个矛盾方程都可以转化为相应的悖论。“物以稀为贵”,若是要多少有多少,就不新鲜了。

一个悖论的数学本质被揭露了,它似乎就失去了被继续研究的价值。但是,在数学发展的历史上,它功不可没。当然,研究悖论的逻辑学家或数学哲学家,可能不同意文兰的看法;这说明,同时代的学者对同一个问题是不是悖论,也会有截然不同的看法。进一步可以说,同一个人,今天他认为某个问题是悖论,也许明天就会有不同的看法。

但是,不管一个数学问题叫不叫悖论,它总是一个问题。问题是数学的心脏,对问题的研究推动着数学的发展,对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫作数学危机,不知道是谁第一个说的。我向作者请教过,作者暂时还没有找到出处。不过,在多数数学家看来,数学没有危机,也不会有危机。但是数学家忙着自己的研究,一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人,对于有没有数学危机,也是各有各的看法。但既然有了这个说法,又比较能吸引大众的目光,让大家对数学有更多的兴趣,也是好事。

我说这些,是希望读者看本书的时候更多地思考。对书中引用的不少观点,你不妨多问几个为什么,和古人做一次假想的对话,提出自己独立的看法。如能这样,从本书里得到的好处,可算是非常丰富了。

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2007-3-14

目录

  • 前 言
  • 第一部分 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
  • 第1章 几何定理中的“黄金”:勾股定理
  • 第2章 秘密结社:毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
  • 第3章 风波乍起:第一次数学危机的出现
  • 第4章 绕过暗礁:第一次数学危机的解决
  • 第5章 福祸相依:第一次数学危机的深远影响
  • 第二部分 贝克莱悖论与第二次数学危机
  • 第6章 风起清萍之末:微积分之萌芽
  • 第7章 积微成著:逼近微积分
  • 第8章 巨人登场:微积分的发现
  • 第9章 风波再起:第二次数学危机的出现
  • 第10章 英雄时代:微积分的发展
  • 第11章 胜利凯旋:微积分的完善
  • 第三部分 罗素悖论与第三次数学危机
  • 第12章 走向无穷
  • 第13章 数学伊甸园
  • 第14章 一波三折:第三次数学危机的出现
  • 第15章 兔、蛙、鼠之战
  • 第16章 新的转折
  • 附录 哥德尔证明