第一章 追寻线索

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一种提高解题能力的好玩而有趣的方法是,思考和解决趣味数学问题。

数百年来,趣味数学问题和游戏一直是人们的一个乐趣来源。许多问题的起源可以追溯到古代,《希腊诗文选》(The Greek Anthology)可能是第一部重要的问题集,其中收录了许多被认为由公元6 世纪的梅特罗多勒斯(Metrodorus)所整理的数学问题。之后许多问题集相继问世。在其中,法国数学家克劳德• 加斯帕尔• 巴谢• 戴梅齐利亚克(Claude Gaspard Bachet de Méziriac)的《关于数的有趣问题》(Problèmesplaisants & délectables qui se font par les nombres, 1612)是第一部印刷出版的值得注意的问题集。

然而,直到19 世纪晚期和20 世纪早期,趣味数学才广泛流行开来。这个时期不仅出版了许多相关书籍,还有美国人萨姆• 劳埃德(Sam Loyd)、英国人H. E. 迪德尼(H. E. Dudeney)的报纸专栏,使趣味谜题得到大众广泛关注。之后几十年里,这个趋势依然不减:美国人胡伯特• 菲利普斯(Hubert Phillips)的报纸专栏、比利时期刊《斯芬克斯:趣味数学问题月刊》(Sphinx: Revue Mensuelle des QuestionsRécréatives)、《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly),以及许多书籍,继续在源源不断地提供大量趣味数学问题。

现如今的进展或可参阅《趣味数学期刊》(Journal of RecreationalMathematics)以及马丁• 加德纳的专著和他的《科学美国人》专栏。

尽管解决某些趣味数学问题需要一些特定的数学知识,但许多问题只需要一些基本推理技巧、专注和坚持,以及一点想象力和灵感。这些求解的技巧可以运用在各个领域帮助解决问题。

通过考虑下面的问题,我们来考察这些技巧中的一部分。

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例题1.1

考虑组织一场拳击淘汰赛。共有114 名选手参加,所以第一轮有57 对选手。在第二轮比赛中,57 名晋级的选手组合形成28 对,一名选手轮空晋级(即不用参加这一轮比赛)。获胜的29 人再次组合,依此继续。

(a) 需要进行多少场比赛以决出冠军?

(b) 如果有n 名选手参赛,一共需要进行多少场比赛?(n 是确定的整数,但未指明)

例题1.2

X、Y 和Z 女士(一个美国人、一个英国人和一个法国人,但顺序未定),三人坐在圆桌前打牌。每人传给坐在右边的人三张牌。Y 女士传给美国人三张红心。X女士拿了一张黑桃Q和两张方片给右边的女士,而这位女士把她的牌给了法国人。

美国人是谁?法国人是谁?英国人是谁?

例题1.3

Armand Alloway、Basil Bennington、Col. Carlton Cunningham、Durwood Dunstan 和Everett Elmsby 五位先生是德文郡马球俱乐部的高级会员。每人有一匹马,以其他四人中某人妻子的名字命名。

Alloway 先生的马叫Georgette,Cunningham 上校的马叫Jasmine,Elmsby 先生的马叫Inez。Francine 是Dunstan 先生的马,以Alloway 先生的妻子名字命名。Georgette 的丈夫的马以Bennington 先生的妻子名字命名。五名妻子中,只有Helene Cunningham 会骑马。

Jasmine 的丈夫是谁?谁的马叫Helene ?

例题1.4

Baker 先生(意为面包师)、Dyer 先生(意为染工)、Farmer 先生(意为农夫)、Glover 先生(意为手套商)、Hosier 先生(意为袜商)五位先生坐在圆桌前打牌。他们每人的名字分别是另外四人中一人的职业。染工坐在Hosier 先生左边第二个座位。面包师坐在Baker 先生右边第二个座位。农夫坐在Farmer 先 生左边。Dyer 先生坐在手套商的右边。

染工叫什么名字?([51],★ *问题36)

例题1.5

玩家A 和B 玩如下游戏。有一堆火柴,共有六根。每一轮,一名玩家必须从剩下的火柴中取走一根或两根,取走最后一根火柴的玩家胜。A 先行,两人都采取最佳策略。

谁会获胜?

例题1.6

图1.1 表示铁轨和上面的火车头和两节车厢。车厢B 从传送带装满了煤,车厢A 是空的。隧道可容车厢通过,但火车头L 不能通过。另外,每节车厢都比隧道长,所以在隧道中时,车厢两端都可以连接火车头。

火车头可以推动或拉动车厢。有什么办法可以交换两节车厢的位置,并使火车头仍在两节车厢中间?

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在继续阅读前,尝试解决例题1.1(第2 页)。
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对于(a) 问,你是否用了如下办法对比赛场次计数?

第1 轮:57 场比赛,57 名选手晋级

第2 轮:28 场比赛,29 名选手晋级

第3 轮:14 场比赛,15 名选手晋级

第4 轮: 7 场比赛, 8 名选手晋级

第5 轮: 4 场比赛, 4 名选手晋级

第6 轮: 2 场比赛, 2 名选手晋级

第7 轮: 1 场比赛, 1 名选手获得冠军

因此需要进行57 + 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 113 场比赛。

★ 参见参考文献(第342 页)相应编号的文献。

例题1.1 的解答

如果用的是这种方法,你已经正确解出了(a) 问。

同样的办法能否回答(b) 问呢?还不能直接给出解答。

还有没有其他方法?试着采取另一种思路。

再次考虑(a) 问。最终只会有一名选手获得冠军,要淘汰113 名选手,因此需要进行113 场比赛。

这种方法看起来更简单,但对于(a) 问,两种方法都能正确解答。第二种方法的好处是可以直接用于(b) 问:要淘汰n−1 名选手,所以要进行n−1 场比赛。 ———————————————————————————————
从这个例子中我们学到了什么?一个问题经常有多种思路。有时多种方法能得到同样的解,而有时只有一种能正确解答。但即使多种方法都能解答,可能其中也有一种更简单或更合适。(随着你的解题经验增长,对于一个问题你可能会找到不同的解答,可以比较它们从而选出看起来最优雅的一个。)

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从这个角度看,解答一个问题就好像寻找走通迷宫的路线。也许有多条路线通往目标,但其中可能有最短的一条。

另一方面,也可能只有一条正确的路线,其他路线只会把你带进死胡同。类似地,某个特定问题的几种思路或许都会让你陷入僵局。

通常在迷宫入口,没办法预先知道哪条路是正确的。尝试走一条路,如果走进死胡同,或发现自己在兜圈子,我们就退回到入口尝试另一条路。★*类似地,也没有什么万能法则能帮助我们解决所有问题。一种思路看起来没有希望,我们尝试另一种。由于迷宫中只有有限条路线,通过许多次尝试最终总会走通。然而不幸的是,对于解题,并不是所有路线都一目了然。虽然有时思路比较明显,但一个人解决问题的能力常常取决于他发现“隐藏路线”的能力。

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然而另一方面幸运的是,解题相比走迷宫也有些重要的有利条件。站在迷宫里,我们只能看到身边的路,看不到每条路将通往哪里。而当我们试图解题时,通常可以看到问题全貌——也就是说,可以俯视整个问题,而不是只能站在其中。纵观整个问题,可以获得更深入的理解。

另外,我们能发现相似的问题,利用已有的经验。如果一个问题让我们想起另一个解决过的问题,可以先尝试原来的技巧。所以经验越丰富,面对新问题的胜算越大。

★ 解决迷宫有系统性的方法,例见[13],第127–137 页。

虽然不存在万能法则,在尝试解答过程中还是有一些基本技巧的。不过在讨论这些之前,你应该再 次尝试几个例题,并注意你的思考过程。哪些技巧是成功的?在哪里会遇到困难? ————————————————————
尝试解答例题1.2 和1.3(第2 页)。
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既然你已经思考过这些问题,并且可能已经解决了,现在我们就以这些问题为模板讲解一些解题技巧。
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在例题1.2 中,我们知道如下条件:

  1. 每人把牌发给坐在右边的人。

  2. Y 女士把牌给了美国人。(在这里,三张红心并不重要。)

  3. 拿到X 女士牌的人,把自己的牌给了法国人。

我们怎样利用这些条件呢?

画图是很有帮助的。Y 女士把牌给了美国人,所以她不是拿到X 女士牌的人(图1.2)。拿到X 女士牌的人把自己的牌给了法国人(图1.3)。

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X 女士把牌给Y 女士了吗?比较图1.2 和1.3,显然不是这样。因此,X 女士把牌给了Z 女士(图1.4), 而Y 女士是法国人(图1.5)。

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再比较图1.2,我们知道X 女士是美国人(图1.6),而Z 女士只能是英国人(图1.7)。

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这个问题的解答相对简单。只要列出所知条件,直接得到一些结论。再画几张图,确认三人身份就很容易了。在列出解决这个问题的步骤之前,先考虑例题1.3(第2 页)。
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我们先把问题给出的条件列出来:

  1. Alloway 先生的马叫Georgette。

  2. Cunningham 上校的马叫Jasmine。

  3. Elmsby 先生的马叫Inez。

  4. Dunstan 先生的马叫Francine。

  5. Francine 与Alloway 先生是夫妻。

  6. Helene 与Cunningham 上校是夫妻。

  7. Georgette 的丈夫的马以Bennington 先生的妻子名字命名。

  8. 每个人的马以另外某人妻子的名字命名,而不以自己妻子的命名。

这里列一张表会有帮助——每行写下一位先生的名字、马的名字以及妻子的名字。再注明是从哪个条件知道的,我们得到图1.8。

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注意到为了把条件7 得到的信息列进表里,必须用X、Y 这样的字母代表还未确定的人。(这类似代数中用字母表示未知量。)在图1.8 中,X 先生是Georgette 的 丈夫,Y 代表Bennington 先生的妻子,也是X 先生的马的名字。

我们观察可得到:

Bennington 先生的马只能叫Helene,因为表格中马的一列其他四个名字已经被占据了。

X 先生不可能是Cunningham 上校,因为后者和Helene 是夫妻而X先生的妻子是Georgette。

因此,又由于Cunningham 上校的马叫Jasmine,X 先生的马叫Y,所以Y 不会是Jasmine。

Y 也不会是Francine 或Helene,因为Y 是Bennington 先生的妻子,而Francine 和Helene 都不是。

Y 还不会是Georgette, 否则的话,Georgette 的丈夫的马叫Georgette,而这与条件8 冲突。

于是只剩下唯一的可能,Y 是Inez。而Inez 也是X 先生的马的名字,所以X 先生一定是Elmsby 先生。

现在我们可以补全表格了,得到图1.9。排除不符合的情况,我们发现Jasmine 是Dunstan 先生的妻子。

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另一种方法,我们用图1.10 那样的表格。A、B、C、D 和E 是五位先生名字的首字母,F、G、H、I 和J 是五位妻子名字的首字母。每当确认两人是夫妻,在表格相应的行和列相交处打勾;确认两人不是夫妻,则打叉。每次打勾时,相应的行和列其他位置就可以打叉了,因为夫妻是一一对应的关系。记住这点,根据条件5 和6,我们可以画出图1.11。

另外根据条件3,我们知道E 与I 不是夫妻;由条件7 可知,B 与G 不是夫妻。(否则B 的马与B 的妻子同名,与条件8 矛盾。)于是得到图1.12。然而现在我们似乎遇到了困难,条件7 还没有利用。但应该怎么用呢?

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由于在图1.12 中Georgette 的丈夫只有两种可能,我们试试假设其中一个会是怎样的情形。

假设Georgette 嫁给Dunstan 先生。于是根据条件7,Dunstan 先生的马与Bennington 先生的妻子同名。但我们知道Dunstan 先生的马叫Francine(条件4),而Francine 不是Bennington 先生的妻子(条件5),得到矛盾。看来Georgette 与Dunstan 先生不会是夫妻。

注意到当假设推出矛盾(也就是说,假设某陈述成立,推出的结论与已知条件矛盾)时,那么假设一定是错误的。所以之前的假设一定不成立。

把新的信息补充进表,见图1.13。

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我们看到,Georgette 的丈夫现在只有一种可能,即Elmsby 先生。因此,在E–G 格打勾,E–J 格打叉。

再次使用条件7,Elmsby 先生的马以Bennington 先生的妻子命名。但Elmsby 先生的马是Inez,所以Bennington 先生的妻子是Inez。再次补充表格,得到图1.14。

现在,在B–J 和D–I 格打叉,D–J 格打勾。

于是我们得到相同的答案:Jasmine 与Dunstan 先生是夫妻。

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作为最后一步,不管采用的是什么方法,都要验证最终结论,以确保与已知条件没有矛盾。

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