前 言

学生如何能在一两个学期的大学课程里获得对数学的感觉?按照多数常见的方法(从历史的、文化的或应用的途径着手),学生在其中是观察者的身份。学生会学到别人做了什么,但没有学到独立思考。他们会学到一些方法,然后通过做一些与课堂教的一般无二的习题练习学到的方法。如果强调应用,一般只考虑大大简化的情况。例如,线性规划通常局限于两个变量的函数,而这在实际中是很少见到的。结果是,学生得不到多少长期的收获,也没能发现实际上数学多么有用。

几年前,我们尝试了一种新的方法。我们对学生说:“你们要作为数学家参与其中。拿到一个问题,可以用你们知道的任何知识去解决它。仔细思考,利用你们的大脑和想象力;如果必要,可以暂时搁置,记在心里,之后再回来。如果自己能解出它,这种感觉不是很美妙吗?若解不出,这可能需要一些(对你来说是新的)数学知识;我们先学习一些,然后看看结果。”

通过这种方法,我们得到了什么?作为教师,我们喜欢教这门课,因为学生对其产生了热情。我们的学生知道了数学不只是数字和运算:数学还是一种思考方式,它是一种解决问题的策略。事实上,数学的方方面面在我们周围随处可见,并可应用于任何背景下的任何问题。更为重要的是,学生学会了如何批判性地思考。我们的一些学生后来告诉我们,他们如何把这门课程中学到的知识运用于不同场合,从教学到商业,不一而足。

我们的方法是基于趣味数学——趣题、谜题和游戏。为什么?首先,因为它们有趣,而如何激起学习的动机可能是数学教学的中心问题。其次,许多重要的数学概念,历史上即起源于趣味数学问题。事实证明,对于文科数学课程中的大多数话题,通过趣味数学进行引入是非常理想的。然而,我们的重点不在于那些数学结论本身,而在于如何把这些结论应用于分析和解决问题。解决问题的能力,是一个人可以获得的最重要的能力之一。它不仅对学习数学有用,在其他许多领域乃至生活本身也同样非常重要。

基于趣味数学问题构建一门课程,我们遇到的主要困难是如何选择课程材料。许多书籍包含了优秀的趣题、谜题和游戏,但都不完全符合我们的要求。这些书很少解释如何分析问题,或正式地给出数学原理。因此,我们决定自己写出课程大纲,而这成了本书的基础。

在我们教授这门课程的几年中,包含的话题每学期常常有变化。我们打算在本书中包含大多数这些话题,所以本书内容超出了一学期的课程所需。因此,如果教师用本书教授一学期或少于一学期的课程,需要考虑选择哪些章节。由于这个原因,我们尽可能地使各章之间相互独立。

各章之间仅有的依赖性如下:

  1. 在第四章的部分练习和习题中,需要把口头描述的数量问题转化为方程。列方程的过程在第三章中有简要介绍,并可通过第三章习题进一步练习加深。代数基础较好的学生,可以完全跳过第三章。

  2. 第五章部分习题,用第四章中同余的概念解决最容易。这些题目用 # 标出。

  3. 第七章和第八章中部分游戏用到之前章节中的概念。特别地,第一章中介绍了一个火柴游戏;同余(在第四章中介绍)可用于第七章中的火柴游戏;尼姆游戏(第七章)的讨论中用到二进制系统(第五章),汉诺塔(第八章)中也涉及二进制;着色立方体的两种解答(第八章)涉及唯一分解(第四章)和图论(第六章)。

除此之外,其他章节之间是相互独立的,但我们建议从第一章开始。本书每章包含几种类型的问题,各有不同目的。“例题”用以吸引读者兴趣,并引出话题(例题的解答在正文中给出)。“练习”使读者巩固刚学过的数学概念。“习题”给读者以挑战,并培养解决问题的能力。过于困难或冗长的习题标以★(特别困难的标以★★)。练习或习题题号后的 表示在书后面的“部分问题答案”中给出了题目的答案; 表示在“提示和解答”中给出了提示, 表示给出了完整解答。每章都有一些题目给出了完整解答,这些解答丰富了章节的内容,有时也介绍了一些对其他问题也有用的技巧。

总体来说,本书中的例题和题目是我们几年来的积累。它们大多基于我们的学生和同事给出的问题,或取自有关趣味数学的专栏、期刊和谜题书,并作了一些改动。有些问题源自多个出处,可能形式不同,许多现已经成为经典。我们本想确定每个问题的真正出处,但我们发现这常常很困难甚至不可能,所以除了少数例外,我们决定只对基本上原文引用的问题给出参考文献。但我们希望读者注意到这些优秀的趣味数学书籍。这些资料启发了我们和我们的学生,我们希望它们同样给其他人以灵感。这些资料中的一部分参见第 342 页的参考文献。另外,对于知道作者的问题或游戏,我们会在括号中标明。因作者水平所限,有所错漏之处在此表示歉意。

邦尼 • 埃弗巴克

奥林 • 钱恩

1980 年 5 月

目录

  • 英文版出版者的话
  • 前 言
  • 致读者
  • 致 谢
  • 第一章 追寻线索
  • 第二章 运用逻辑解题
  • 第三章 从字词到方程:代数趣题
  • 第四章 运用整数解题:一些数论话题
  • 第五章 更多整数话题:进制和密码算术
  • 第六章 运用网络解题:图论简介
  • 第七章 二人策略游戏
  • 第八章 单人游戏和谜题 
  • 第九章 大杂烩