在日常生活当中,抛硬币是一种很常见的现象,在概率论的实验中,那就更加常见了。但是就这简单的抛硬币,其中包含着许多高深精妙的定理,而且大多数定理往往与我们平时的直觉不相符,甚至有些是背道而驰的。人们要相信与自己直觉完全相违背的事实总是困难的,但是一旦自己亲手从理论上严格地证明出来了,那时自己又会觉得不可思议,兴奋不已,会深深地感受到自然是如此的美妙。今天我就介绍一下要证明这些高深定理的基础原理——反射原理。

为了方便叙述,我们要引入几何路径模型,目的是为了将抛硬币中的概念与该模型中的术语相联系。我们知道在理想情况下,抛一枚硬币只有两种结果:正面和反面。我们用+1来表示正面,用-1来表示反面,这样抛硬币的一个结果序列就是一个由+1和-1构成的排列。接下来我将给出几何模型的数学定义:


enter image description here:表示抛第k次硬币的结果:+1或-1,即:enter image description here
enter image description here:表示部分和,即抛k次硬币后的结果累积和,公式为:enter image description here
n:表示抛硬币的总次数
p:表示抛n次硬币中出现正面的次数
q:表示抛n次硬币中出现反面的次数

于是我们有如下公式:
enter image description here


现在我们将用几何术语在直角坐标系中描述上面几何路径模型的数学定义:t-轴是横轴,轴上每个坐标点表示抛硬币的次数;x-轴是纵轴,轴上每个坐标点表示抛硬币结果序列的累积和。所以我们抛了n次硬币后得到的结果序列enter image description here可以在该直角坐标系上用一条折线表示,折线上每一这点的坐标就是enter image description here,我们称这种折线为路径

因此,我们称一条从原点(0,0)到点(n,x)(其中n>0且n和x都是整数)的路径就是满足如下条件的一条折线:其横坐标依次为enter image description here,纵坐标依次为:enter image description here,且enter image description here,当然也要满足上述几何路径模型数学定义中的所有公式。依据上述数学定义,我们知道要使该路径存在必须满足:n=p+q且x=p-q,这时由排列组合知识马上就得到从原点(0,0)到点(n,x)的总共有的路径数为enter image description here,即enter image description here,用enter image description here表示,即enter image description here,于是我们可以说从原点(0,0)到点(n,x)的总共有的路径数为enter image description here条。如果该路径不满足条件:n=p+q且x=p-q,则不存在该路径,即enter image description here

到这里我已经介绍完了几何路径模型的所有的术语,可以开始介绍反射原理了,其表述如下:

反射原理:在t-x直角坐标系的第一象限中存在两个点A和B,其中点A关于t-轴的对称点为点A°,那么,从点A到点B的路径中触及或穿过t-轴的路径个数等于从点A°到点B的路径个数。

为了方便证明,我给出一张示意图,如下: enter image description here
从示意图中我们看出反射原理很容易证明。从点A到点B的路径中触及或穿过t-轴的路径都会与t-轴有个接触点,如上图中的T点,这时就可以将A到T的这段路径关于t-轴对称过去,这样就必然会得到了一条新的路径,如上图中的虚线部分:A°到T的折线。因此,任何从点A到点B的路径中触及或穿过t-轴的路径通过t-轴对称之后,必然存在一条与之对应的从点A°到点B的路径,反之,从点A°到点B的每一条路径必然会与t-轴相交,因此也必然存在一条从点A到点B的路径中触及或穿过t-轴的路径与之相对应,所以它们是一一对应的。故此反射原理得证。

到这里你也许还看不出反射原理有什么巨大的威力,那么下面我就仅例举一个小小的例子,你就会惊叹于反射原理的无穷的魅力了。

该例子是一个经典的问题,其中最早的一种表述形式如下:

假设在一场选举中,候选人P获得p张选票而候选人Q获得了q张选票,此处p>q,那么,在整个的计票过程中,P的得票数总是比Q的得票数多的概率是多少?

这个问题被称为选举问题,早在1878年就被人解答出来过,我们现在无法知道他是怎么解出来的。但是通过反射原理,我们可以很轻松地解出这道经典的题目。首先我用前面定义的几何路径模型的术语来重新表述这个题目(为了一致性,我还是使用定义中的符号):对于满足条件n=p+q和x=p-q的所有路径中,求满足enter image description here的路径的概率是多少?

首先,根据前面我们知道满足条件n=p+q和x=p-q的所有路径数为enter image description here,而满足enter image description here的路径也就是从点(1,1)到点(n,x)的路径中从不触及或穿过t-轴的路径,这些路径我们可以通过从点(1,1)到点(n,x)的总路径数减去从点(1,1)到点(n,x)的所有触及或穿过t-轴的路径。运用反射原理,从点(1,1)到点(n,x)的所有触及或穿过t-轴的路径数等于从点(1,-1)到点(n,x)的所有路径数。所以我们现在只要求出从点(1,1)到点(n,x)的路径数和从点(1,-1)到点(n,x)的路径数就完全解决这个问题了。对于从点(1,1)到点(n,x)的路径数,等价于从点(0,0)到点(n-1,x-1)的路径数,即enter image description here;对于从点(1,-1)到点(n,x)的路径数,等价于从点(0,0)到点(n-1,x+1)的路径数,即enter image description here。所以该题解答出的概率为:
enter image description here,其中n=p+q和x=p-q,进一步推导如下:

enter image description here

所以在选举问题的计票过程中P的得票数总是比Q的得票数多的概率是 enter image description here

现在你应该对反射原理的威力有了初步的了解了,适当的运用反射原理可以很容易地解决一些看似比较复杂的问题,当然这只是初步。在随机起伏理论中还有许多由反射原理推导出的精妙的定理,这些定理既在意料之外又在情理之中,真的是令人欲罢不能啊!