超几何分布属于组合问题,它描述的是从n个物品中抽出r个物品,成功抽出指定种类的物品(共有n1个)的个数为k的概率。一般数学表示为:

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这公式是通常的从组合的角度得出的,易于理解,要使抽出的r个物品恰有指定的物品为k个,那么可以这样抽取:先在n1个指定的物品中抽取k个,然后在其余的(n-n1)个物品中抽取余下的(r-k)个物品。我受排列的启发,发现也可以从排列的角度重新得出超几何分布的公式,如下:

enter image description here, 其中: enter image description here

这个公式的物理意义也比较容易理解,要使抽出的r个物品恰有指定的物品为k个,那么可以这样考虑:r个物品中有k个指定物品,一共有enter image description here种情况,对于每一种情况如果考虑顺序,易知一共有enter image description here种情况,既然分子上考虑了顺序,那么分母上的总数也应该考虑顺序,故为enter image description here。经计算,其实上述两种表达式是等价的:

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现在我们可以说,无论是从组合还是从排列的角度,超几何分布的这两种表达式都是等价的,因为对于排列角度的超几何分布,分子和分母都考虑了顺序,其作用相互抵消了。虽然排列角度的表达式和组合角度的表达式是等价的,但是我们可以利用新推出的排列角度的表达式很容易的解决许多问题。下面我们就用新的排列角度的超几何分布公式来证明“超几何分布的极限定理”。

超几何分布的极限定理表述如下:如果n充分大,而且n1=np,n-n1=nq,那么有如下不等式:

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证明如下(注意其中利用了排列角度的超几何分布):

  • 先证左边部分 enter image description here enter image description here

  • 再证右边部分 enter image description here enter image description here

至此,超几何分布的极限定理证明结束。当然排列角度的超几何分布的应用不仅仅于此!