《思考的乐趣:Matrix67数学笔记》是来自顾森的一本数学科普书,这本书的内容是从作者上千篇博客中节选而来的,分为“生活中的数学”、“数学之美”、“几何的大厦”、“精妙的证明”和“思维的尺度”五部分。每一部分都有其精妙之处,阅后令人意犹未尽。

在“生活中的数学”中,你将了解到原来说谎和找东西背后还有概率论,人们不愿承担风险的原因,如何给商品定价等等,在这一部分,作者将数学与生活巧妙地结合起来,使数学不再乏味,也让读者在轻松阅读的同时体会到数学的乐趣。

让我们来看下面这个有趣的例子:

我的书桌有8个抽屉,分别用数字1到8编号。每次拿到一份文件后,我都会把这份文件随机地放在某一个抽屉中。但我非常粗心,有 的概率会忘了把文件放进抽屉里,最终把这个文件搞丢。 enter image description here

现在,我要找一份非常重要的文件。我将按顺序打开每一个抽屉,直到找到这份文件为止(或者很悲剧地发现,翻遍了所有抽屉都没能找到这份文件)。考虑下面三个问题。

  1. 假如我打开了第一个抽屉,发现里面没有我要的文件。这份文件在其余7个抽屉里的概率是多少?

  2. 假如我翻遍了前4个抽屉,里面都没有我要的文件。这份文件在剩下的4个抽屉里的概率是多少?

  3. 假如我翻遍了前7个抽屉,里面都没有我要的文件。这份文件在最后一个抽屉里的概率是多少?

继续往下看之前,大家不妨先猜一猜,这三个概率值是越来越大还是越来越小?

事实上,三个概率值分别是。可能这有点出人意料,这个概率在不断地减小。但设身处地地想一下,这也不是没有道理的。这正反映了我们实际生活中的心理状态,与我们的直觉完全相符:假如我肯定我的文件没搞丢,每次发现抽屉里没有我要的东西时,我都会更加坚信它在剩下的抽屉里;但如果我的文件有可能搞丢了,那每翻过一个抽屉但没找到文件时,我都会更加慌张。我会越来越担心,感到希望越来越渺茫,直到自己面对着第8个抽屉,忐忑地怀着最后一丝希望,同时心里想:完了,这下可能是真丢了。

有一个非常巧妙的方法可以算出上面三个概率值来。

注意到,平均每10份文件就有两份被搞丢,其余8份平均地分给了8个抽屉。假如我把所有搞丢了的文件都找了回来,那么它们应该还占2个抽屉。这让我们想到了这样一个有趣的思路:在这8个抽屉后加上2个虚拟抽屉──抽屉9和抽屉10,这两个抽屉专门用来装我丢掉的文件。我们甚至可以把题目等价地变为:随机把文件放在10个抽屉里,但找文件时不允许打开最后2个抽屉。当我已经找过个抽屉但仍没找到我想要的文件时,文件只能在剩下的个抽屉里,但我只能打开剩下的个抽屉,因此所求的概率是。当分别等于1、4、7时,这个概率值分别是

如果把写成,就很容易看出,当时,它是一个递减函数。

在第二部分“数学之美”中,作者先是抛出了“让你立刻爱上数学的8个算数游戏”,如果你从小就被数学考试折磨,不妨从这部分看起,体验一下数学的趣味和妙处。接下来的“最折磨人的数学未解之谜”又会带你来到一片蕴藏着无数珍宝却看似荒芜的土地,3x+1问题、克拉克斯基数列、吉尔布雷斯猜想、辛马斯特猜想等一系列未解之谜充满了让人神魂颠倒的魅力,如果你有兴趣的话,就来一试身手吧!

第三部分是“几何的大厦”。“有时候,比证明一个几何问题更有意思的,是怎样精确地把这个几何图形画出来,”作者如是说。这部分包括“尺规作图问题”、“单规作图的力量”、“锈规作图也疯狂”、“火柴棒搭成的几何世界”、“折纸的学问”、“万能的连杆系统”、“探索图形简拼”。每一部分都是一个奇妙的几何世界,在那里,读者可以充分体会到几何之美。

接下来是“精妙的证明”,一个漂亮的数学结论,往往有一个漂亮的数学证明,在这一部分,作者搜集了许多巧妙有趣的证明,每一个证明都会让你拍案叫绝。最后一部分是“思维的尺度”,俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗?乘法之后是乘方,乘方之后又是什么呢?作者通过有趣的话题使读者享受数学概念间的联系、享受数学的思维模式。

本书的文章都是作者从自己的博客里精心挑选出来的,经过大量的添删和修改,有机地组织成了五个相对独立的部分。如果你是刚刚体会到数学之美的中学生,这本书会带你进入一个课本之外的数学花园;如果你是奋战在技术行业前线的工程师,这本书或许能不断给你带来新的灵感;如果你并不那么喜欢数学,这本书或许会逐渐改变你的看法……不管怎样,这本书都会陪你走过一段难忘的数学之旅。

本书推荐:
“本书一大特色,是力图把道理说明白。作者总是用自己的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉,在关键之处还不忘给出饱含激情的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考......本书讲了不少相当深刻的数学工作,其推理过程有时曲折迂回,作者总是不畏艰难,一板一眼地力图说清楚,认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使本书能够成为不少读者案头床边的常备读物,有空看看,常能有新的思考,有更深的理解和收获。”

——张景中,中国科学院院士

“事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立,对于广大数学爱好者同样成立。”

——汤涛,《数学文化》期刊联合主编,香港浸会大学数学讲座教授

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