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前 言

远山启(1909—1979),日本数学家,著名教育家。国内对他的印象,多来自于《数学与生活》一书。笔者初读其书时,除了佩服他对数学概念的精妙讲解外,亦惊叹于他在文学、哲学、艺术方面的渊博学识。 查阅相关资料后,更折服于他从数学、教育等层面对“人”的深刻洞察。此外,笔者还发现,远山启与战后日本思想、学术和艺术界的学者联系密切,并对他们产生了深远影响。
例如,远山的学生吉本隆明(著名批评家、诗人,人气作家吉本芭娜娜的父亲)、奥野健男(文学评论家)、森毅(数学家);远山启东京工业大学的同事鹤见俊辅(日本思想家);此外,大冈信(诗人)、安野光雅(画家,绘本作家)等人都与有联系(或受其影响)。
远山启在日本的影响力已经超出了数学领域,成为日本战后的教育和思想界的一个交汇点。

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远山启

旧制中学与高等学校时期——“什么都想读”的自由博识者

远山启,生于1909年,日本九州熊本县人。据其学生森毅所言,远山家的祖先似乎是西海道肥后国的著名铸刀师,西南战争后,远山一族家道中落。远山启出生不久后,其父因病去世。
9岁之前,远山启与母亲生活在熊本的祖父母家。祖母去世后,远山随母亲移居东京,并于1922年进入东京东京府立第一中学(现东京都立日比谷高等学校)就读。

中学三年级(旧制)时,远山被几何的魅力所俘获,成为醉心于证明与作图的“几何狂人”。他投入大量精力研究几何,对于其他科目则只付出必要的精力,保证成绩及格。在东京居住期间,远山启与母亲、外祖母借住于小石川妙传寺内的民家,生活并不宽裕。
另外远山启也不太适应东京,为了早日摆脱这种生活,他发奋苦读,提前一年参考了高等学校的入学考试(旧制高等学校相当于大学预科)。以中学三年级的身份考入了福冈高等学校(现九州大学教养学部)。
日本旧制高等学校的学风自由,对学生的要求和限制不多。当时的远山启只会去上必要的课程,其余时间则浸在图书馆。远山启读书全凭兴趣,不会为了“博中求专”或“循序渐进”而在范围或顺序上设立禁区。
数学、文学、哲学、语言学、天文学、地质学,兴之所至,无所不读。这种驳杂的阅读经历,让远山启更习惯于自由式的自学模式,也更侧重摸索知识间的联系与意义。对于学校的那些固定式的规矩,他则毫不上心。
高等学校三年级时,远山启在图书馆读到了弗洛里安·卡乔里(Florian Cajori,1859—1930)的《方程式论》(An Introduction to the Modern Theory of Equations),他被群论所迷住,也折服于现代数学的独特魅力。
这本《方程式论》,让在繁山复水之间自在遨游的远山启,找到了自己想要探索的方向。他下定决心,大学要读数学专业。
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让远山启走上数学之路的《方程式论》及其中译本

大学时期——错位的数学因缘

1929年,怀揣数学之梦的远山启,考入了东京帝国大学(现东京大学)的理学部数学系。远山启期待日本一流的数学家能带他领略现代数学中的至美绝景,但大学课程的现实情况却让他心灰意冷。
给远山启的热情泼了冷水的人,是东京帝国大学的坂井英太郎教授。坂井教授开设的微积分课,是数学系、物理系、天文系的必修课,他的课程重视计算技巧,而不是思考与理解,并且讲课的形式非常固定。
传闻他每次讲课都用英文把要讲的内容写到黑板上,然后让学生抄写和计算。此外,板井课程中题目在计算上也非常烦琐,是众多理学部学生的噩梦。
板井教授的这种千篇一律的形式化计算课,让习惯自由学习的远山启难以忍受,他开始频繁翘课。并且,远山启在考试中,还故意使用了与板井课程中不同的简洁解法来解题。
他的这一行为,使他与板井教授之间的裂痕扩大到了难以愈合的程度。不出所料,远山启没有拿到这门必修课的学分。这让远山启产生了放弃大学的念头。

我满心期待大学会教授更加深邃的数学,引领我去更远、更深的地方,但我没想到数学系的课程就是让学生练习计算曲线的运动轨迹。这让我心灰意冷。我开始翘课,去阅读自己喜欢的书。不过,这位“曲线运动轨迹”教授,对于不去上课的学生绝对不会给学分。想到这里,我便想放弃大学,用现在流行的词语说,就是 drop out。

顺便一提,据说当时从东大退学的学生,不少人都曾在板井教授这里丢过学分。板井教授为微积分课程的创作的著作『微分積分演習』共有三卷,多达1500页。这套书也被戏称为是血祭了众多东大生而炼成的“魔典”。
在东大期间,远山启也遇到过令他钦佩的教授,那就是日本数学现代化的开山祖师高木贞治。据远山启本人回忆,高木教授课风趣幽默,甚至经常不拘于讲义,这让远山启感受到 与板井课程不同的自由气息,也在数学之中感受到了“人性”的存在。

我在东大的时候听高木(贞治)先生的讲义,觉得非常有趣。高木老师的讲义大体上是反英雄主义的,他总是能把那些高不可攀的数学家还原为真实的人。例如讲集合论时,他说策梅洛选择公理中有两种证明集合论的方法,这两种证明方法的结局是一样的。那么,为什么策梅洛教授会搞出两种同样的东西呢?因为这样可以多写很多论文……(笑)。这给我留下了很深的印象……

后来接替板井微积分课程的,正是高木贞治的著名讲义“解析概論”。小平邦彦、伊藤清等著名数学家,都是“解析概論”课程的修习者。高木贞治依据课程所著的『解析概論』一书,也成为畅销不衰的数学名著。
如果,当年远山启在东大再坚持一段时间(即便不能毕业),或许他就可以遇到高木贞治教授的课程了。不过以他的性格看,退学才更符合他的本性吧。
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改变远山启求学轨迹的微积分课“魔典”『微分積分演習』(无中译本)
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哺育了小平邦彦、伊藤清等数学家的数学分析“圣典”『解析概論』
(增补版定本,即将由图灵出版)
从东大退学后,远山启再次沉浸到文学与哲学的世界,这一时期,他靠做翻译和家庭教师来勉强糊口。当时日本的翻译出版并不发达,许多作品需要学习对应的外语才能读到,远山启为此自学了多门外语。
据森毅回忆,远山启可以用英语吟诵布莱克的诗,用德语评述《浮士德》的内容,用法语研究巴尔扎克,这是常人不能与之抗衡的。他晚年还学习了俄语,除了俄国文学哲学作品外,也会阅读俄语的数学专著。
不过,远山启的数学之路并没有结束。远山启在几位朋友组织的“量子理论与相对论”的研究会上,读到了赫尔曼·外尔的《群论与量子理论》(Gruppentheorie und Quantenmechanik)。这本书让远山启与数学久别重逢,再次激发了他研究数学的热情。
不过,在当时的日本,只有热情没有学历的话,是没法做数学研究的。于是,他再三权衡之后,报考了以学风自由而著称的东北大帝国大学,并于1935年考入了东北帝国大学的理学部数学系,专业为代数学。
东北帝国大学的学风确实如传闻中那样自由,用远山的话说,就是自由到“躺着都可以毕业”。在那段日子里,他又回到了高等学校时期的自在日子,一边研究数学,一边在图书馆博览群书。
1938年,远山启从东北帝国大学毕业,对于这六年的大学时期,他在自传文集中有如下回忆。

在那六年里,我失去了很多东西。从外表上看确实是这样。
然而,从内部来看,我似乎得到了一些东西。第一,我获得了一种从容,即使从学历这条轨道上脱轨,也不必那么慌张,总会有办法的。第二,离开学校的这段时间,让我能从学校之外冷静地思考学校是什么。这对我之后在大学的任教,起到了很大的作用。
事到如今回头一看,我觉得我从小学到大学都是“不适应学校的儿童”。


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让远山启重回数学之路的《群论与量子理论》 (未找到中译本)
从高等学校开始,远山启就喜好自由探索,过于死板的东西,似乎都与他格格不入。据森毅回忆,在“喜欢狗还是喜欢猫”这一问题上,远山启是不折不扣的猫派,比起忠犬,他更喜欢自由的猫。
另外,远山启晚年投身教育改革运动,由于工作需要经常出差,但他坐车从来都是只买“自由席”,他不喜欢座位被固定。在远山启的一生中,这种追求自由的性格似乎贯穿始终,从未改变。

东京工业大学任教时期——数学深处的“精神气息”

1938年,毕业后的远山启曾受聘于海军担任数学教师。然而,军队这种固定型的场所显然不适合他。远山启辞去军队工作后,开始在理化学研究所做兼职工作。
后来,经好友早川康弌(东京大学教授,数学家加藤文元的外祖父)的介绍,他进入东京工业大学担任助理教授。直到六十岁退休,远山启一直在东京工业大学工作,这段时间也是他研究数学的鼎盛时期。
1938年,法国数学家安德烈·韦伊发表了题为《阿贝尔函数的一般化》的论文,这篇论文对远山启产生了莫大的吸引力。进入东京工业大学后,他沉溺于这方面的研究,并发表了多篇拓展深化韦伊理论的论文。
他的论文都是的着眼点都是“非阿贝尔的函数论”。1949年,远山启完成了他的博士论文《代数函数的非阿贝尔理论》,他也成为了东京工业大学的教授。据说当时韦伊对自己理论的深化不太上心(因为涉及太多技术性计算,非常麻烦),但他对远山启的各篇论文非常关注。
1955年韦伊来日本参加代数数论国际会议时,还特意找到远山启,问他:“现在你在研究什么?”远山启回答:“我在研究日本的教育问题”。韦伊说:“教育确实是很重要。”之前埋头数学研究的远山启,并且已经获得一些国际关注度的他,为何会1951年前后转向了数学教育?对于在数学研究与数学教育之间的抉择,远山启曾有一段非常迷茫的时期。
当时的远山启非常希望能将自己的代数理论继续深化,并且他也已经找到了很多继续前进的线索。但从实际情况来看,远山启最终还是选择了投身数学教育。这一选择,或许与他在东京工业大学开设“量子理论的数学基础”的经历,以及对战后状况的思考有关。
1945年战后的日本满目疮痍,社会陷入停滞与混乱。大学的教学活动也被迫中断,变得死气沉沉。在这一时期,远山启在自己的研究室开设了“量子力学的数学基础”的课程。凭借他在文学、哲学、艺术等方面的深厚积淀,以及对数学的敏锐洞察与思考,他的课程成为了废墟中的思想火种,吸引了众多渴求知识和思想的年轻人。
这些年轻人中,就包括著名日本战后启蒙学者吉本隆明和奥野健男。尽管远山启的课程是私自开设的地下黑课,也没有学分,但是每次都有约200名学生主动前来听课,人气爆棚。在战后艰苦的岁月里,远山启的课为何能吸引如此多的年轻人?对于这一问题,后来始终将远山启尊为“恩师”的吉本隆明回忆如下。
惯于嘲笑那些匠气十足的教授们的慵懒学生,究竟是被什么吸引了呢?我认为那是远山老师带来的知识中的兴奋感。量子力学角度的化学键理论非常晦涩,但他带领学生层层深入,如同剥洋葱一般探究其中的奥秘,将其变为了易懂的知识。
让学生体会到这种来源于知识本身的乐趣与刺激,正是远山老师课程的魅力所在。不过,除了知识之外,还有一个重要原因。那就是我从远山老师的言语之中感受到的“精神气息”,这是一种更加深远,令人沉醉的魅力。
在空洞一样沉寂下来的大学里,我那在那间夕阳映照的教室里,第一次发出了感叹——这就是“学问”吧。我当时在早已荒废学业,但是远山老师让我在学校中感受到了“学问”,让我有这种感触的,只有远山先生一个人。
很多学生都从远山启的课程中受益,在混乱的日子里重新找到了方向,燃起了对学问的热情。为了感谢远山启,很多学生想方设法搞到了一些牛肉作为听课的礼物送给远山启。
在那个物资匮乏,大家普遍吃不饱饭的时代(这个时期,后来的诺贝尔物理学奖得主朝永振一郎,甚至在考虑放弃物理转而研究光合作用,以解决日本的吃饭问题),这是非常贵重的礼物。由此足可见学生们对远山启的崇敬之情。
1952年,42岁的远山启完成了他最初的著作『無限と連続』(中译本:《数学与生活3:无穷与连续》),这本书不仅以鉴赏角度介绍现代数学的体系,还对“逻辑与自由”“抽象与直观”等数学哲学问题,做了一次人文性的思想探索。
这本书让远山启成为了“全学联”(全日本学生自治会总联合)中东大学生的偶像。《无穷与连续》的读书讨论会,也成为了日本著名数学团体——新数学人集团(SSS,成员中包括谷山丰、银林浩、杉浦光夫、斋藤正彦等后来的日本数学家)的起点。越来越多的学生被这本书感染,来到东京工业大学远山启的研究室向他咨询人生。
远山启的研究室,成为了当时日本的“水泊梁山”,据说有不少“英雄好汉”的奇闻异事。例如,远山启曾藏匿在“血色劳动节”运动中遭通缉的丸山滋弥,帮助在“扫红运动”(red purge)中从东大退学的共产党员银林浩进入东工大研究生院,等等。
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成为日本战后年轻人精神道标的 《数学与生活3:无穷与连续》及其中译本
在东工大开课的这段经历让远山启意识到,教育是影响日本未来的一种社会改造运动。如果要让日本避免再次陷入战争这种狂热的思维陷阱,那么让年轻人具备科学精神与批判精神是非常必要的。不过,让他开始关注学校教育的契机,是一件更加私人的事情——他发现自己女儿因无法理解算术,并且产生了厌学情绪。

晚年时期——寻找教育背后的“幽灵”

为了找到女儿厌学的原因,远山启亲自去女儿的学校听课,结果发现了学校教育中的深刻问题。这也揭开了他批判日本战后教育的序幕。
1951年,日本文部省颁布了新的《学习指导要领》(相当于中国的教学大纲),文部省参考美国的算术指导用书,在日本的算术教科书中引入了“生活单元学习法”。
生活单元学习法是源于美国的一种算术教学方式,这种方法将算术练习放到生活场景中,试图让孩子在实际生活场景中理解到算术的意义。然而这种方法仅重视应用的意义,却缺忽视了孩子对算术原理的理解。
这种方法在表面上拥有热闹非凡、丰富多彩的应用性场景,却因为偏离了知识本身而使越来越多到了孩子无法理解和掌握算术。对于这种方法,远山启有如下评论。

第二次世界大战后,驻日美军强制日本的小学采用生活单元学习法。虽然美军为了避免留下“强制”的证据而没有颁布书面文书,只发布了口头命令,但生活单元学习法确实来源于美国。
这种方法指的是,模拟学生会遇到的各种生活场景,如“购物”和“取钱”等,让学生通过练习加减乘除的运算来解决这些生活问题。这种方法导致学生无法在一段时间内集中学习某一种运算方法,结果造成了当时日本学生数学水平的迅速下降。

除了生活单元学习法外,他还细致研究了的日本数学教育中的要害问题,例如“教学方法的保守性”“教科书中‘量的缺失’”“教学顺序”等。这些问题大多集中在算术教学阶段,远山启之所以重视算术教育,是因为他认为算术是理解数、理解数学的入口,算术的教法,也会直接影响孩子对位值原理以及数学证明的理解。
在当时的日本,大多数孩子在学习算术时往往是很喜欢数学的,但到小学高年级却出现了很多学不明白的学生。远山启认为这一问题的根源,在于日本在算术教学研究上的滞后以及教科书中的“量的缺失”。
日本的教师和家长普遍认为,算术这种东西很简单,完全没有必要去研究算术的教法。远山启则认为,虽然算术题的结果是一成不变的,但也应当结合“数学概念的发展顺序”“儿童心理的发展情况”“数学的整体体系”来寻找具有“发展性”的教学方法。
他主张:“教育所必须做的事情之一,就是教会学生如何从众多方法中选出最便于思考的那种方法。这里说的便于思考,并非仅指对于孩子来说方便使用,更重要的是,孩子在将来也能独立使用同样的思考方法。也就是说,作为教育者的成年人,应当去寻找具有发展性的思考方法来教授,这是教育的一项重要任务。”
对于教科书中的“量的缺失”这一问题,远山启在研究中提出,量是人类思维中天然存在的东西,是对环境信息(大小、冷热、长短、轻重、快慢等)的一种识别,而数则是对量的抽象。
所以在教授孩子算术时,应当先量的角度着手,如果直接从数的角度教授算术,算术很可能变成单纯的死记硬背,即便孩子能做出算术题的答案,也不知道这背后的原理。
对于量与数的关系,远山启做过如下比喻:

数的世界类似于黑白电视机,量的世界则像彩色电视机。量的世界丰富多彩,有体积、长度等,但数的世界却要单调许多。彩色电视机能显示出丰富的色彩,黑白电视机则只能用黑白灰来呈现所有色彩。让学生先去理解彩色电视机般的量的世界,之后再转到黑白电视机般数的世界,这样会更好一些。

为了能从实践上推动数学教育改革,1951年,远山启与小仓金之助等人成立了日本数学教育议会,由远山启担任会长,开始大规模批判当时的生活单元学习法。
1953年,日本数学教育议会成为全国性组织,公开批判文部省的教育政策与教科书中的不合理之处,其目标是打通小学到大学的数学体系,建立符合儿童发展认知与数学发展规律的科学教学体系。
经过数年研究,远山启提出了“量的体系”(1957年)与“水管道方法”(1958年)等教学理论,得到了各地一线数学教师的支持。1959年,远山启在总结数学教育议会的实践活动的基础上,创作出了在日本广为人知的数学名作『数学入門』(中译本:《数学与生活》)。
这本书推动了数学教学的科学化,也获得了每日文化出版奖。1962年,远山启与矢野健太郎创办了『数学セミナー』(数学seminar)杂志,希望能在多样性讨论中为教育改革提供新的空间和推动力。
这本杂志成为了日本数学家和数学教师自由表达意见和思想的重要阵地,高木贞治、小平邦彦等数学家关于数学和教育的文章,不少都发表于《数学seminar》。
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获每日文化出版奖的数学入门名著 《数学与生活》及其中译本
1972年,远山启总结了1957年到1971年之间的数学教学研究,写出了『数学の学び方·教え方』(中译本:《数学与生活2:要领与方法》)。对于这本书,日本教师中有人如下评价:“教师和学生只要熟读这本书的前半部分,就会大幅降低在学习算术或中学数学时陷入混乱的概率。”
此后远山启创办杂志《人》,探索教育对于人和社会的作用。1979年9月11日,远山启癌症去世。1995年,在远山启去世的6年后,日本文部省终于承认了远山启的教育理念,决定在检定教科书中采用《数学与生活2:要领与方法》中的教学理论与方法。直到今天,日本的审定数学教科书中,仍然沿用了远山启的理论。
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远山启数学教育理念的总结性作品《数学与生活2:要领与方法》及其中译本
对于自己的一生,远山启在自传文集中如下评述。

在战争结束之前,我是一位研究“无人式”数学的隐者。战争结束后,或者说正是因为战争这一契机,我的视野逐渐转向了“人”,特别是对孩子的教育上。在研究教育的过程中,我似乎看到了一条人类心智发展的河流,研究教育,就是沿着这条河逆流而上。
这趟旅途,这就像是从河口出发,向“人性”的水源地的一次探险。对于那片神秘的水源地,无论如何我都想要去看看。现在想来,我可能就是被这种欲望驱使着走到了现在。

远山启在数学与教育上对“人”的探索,为日本战后的数学教育打开了科学化与现代化的窗口。同时,他通过著作留下的理念与思想,源源不断地赋予当前教育工作者应对新问题的根源性力量,也让更多的学习者获得了精神上的自由。

参考文献

森毅.『森毅ベスト・エッセイ』(筑摩書房,2019)

森毅.『数学文化の教育と歴史』(国土社,1971)

遠山啓.『水源をめざして』(太郎次郎社,2017)

遠山啓.『文化としての数学』(光文社,2006)

森岡次郎.『遠山啓の教育思想』.人間科学:大阪府立大学紀要. 14, p.31-57
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数学领域的百年经典
远山启 | 著
吕砚山,李诵雪,马杰,莫德举 | 译
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《数学与生活(修订版)》以生动有趣的文字,系统地介绍了从数的产生到微分方程的全部数学知识,包括初等数学和高等数学两方面内容之精华。这些知识是人们今后从事各种活动所必须的。书中为广大读者着想,避开了专用术语,力求结合日常逻辑来介绍数学。读来引人入胜,枯燥之感。从中不但可得益于数学,而且还可学到不少物理、化学、天文、地理等方面的知识。
《数学与生活2 》为日本数学教育议会创立者远山启的数学教育科普作品。书中通俗解读了数学教育中的重点、难点知识,用直观的方式梳理了“量与数”“集合与逻辑”“空间与图形”“变数与函数”的知识体系,并结合作者多年的教学与研究经验,向读者传授了独创的教学方法与学习技巧,引导学习者掌握具有发展性的思考方法,真正从原理上理解数学知识。
《数学与生活3》不懂音符、乐理的人也能欣赏音乐,甚至可以成为音乐鉴赏家。不懂数学公式的人,是否也能理解现代数学的体系与思考方法,领略其中令人惊叹的超越性美景呢?