《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第3版)》第 100 页:

题 3.4.18 将三只青蛙放在正方形的三个顶点上。 每一分钟都有一只青蛙会越过另一只青蛙, 使得“被跨越者”正好位于“跳跃者”行走线段(线段的两端正好是跳跃着的起跳点和着陆点)的中点。 能否有一只青蛙到达这个正方形在初始状态时没有青蛙的那个顶点?


不失一般性,假设这三只青蛙分别位于 (0,1), (1,0), (1,1) 这三个坐标点上。现在我们来证明没有青蛙可以到达坐标原点 (0, 0)。

容易看出,只允许有以下 8 种跳跃方式:

  1. x = x + 2
  2. x = x - 2
  3. y = y + 2
  4. y = y - 2
  5. x = x + 2, y = y + 2
  6. x = x - 2, y = y - 2
  7. x = x + 2, y = y - 2
  8. x = x - 2, y = y + 2

因此,无论进行何种跳跃,都不会改变青蛙的坐标的奇偶性。而这三只青蛙的坐标的奇偶性分别为 (偶, 奇), (奇, 偶), (奇, 奇),但是坐标原点的奇偶性为 (偶, 偶),所以没有青蛙可以到达坐标原点。证毕。