解法一

易知:

∠EBD + ∠C = ∠EBD + ∠ABC = π

∠EBD = ∠A + ∠C

由此可得:

∠A = ∠EBD - ∠C = 2∠EBD - π

令 cos∠EBD = x,得到:

cos∠A = cos(2∠EBD - π) = 1 - cos2∠EBD = 1 - 2x2

不失一般性,令 BD = 1。 由余弦定理可得:

DE2 = 12 + 12 - 2cos∠EBD = 2 - 2x

BC2 = AB2 + AC2 - 2·AB·AC·cos∠A = 2·DE2·(1 - cos∠A) = 4x2(2-2x)

我们还有(注意:x < 0):

由 CD = DE 可得:

整理后得到:

8x3 - 6x - 1 = 0


我们知道:

cos3θ = 4cos3θ - 3cosθ

令 θ = 5π/9, x = cosθ,则:

cos3θ = cos(2π - π/3) = 1/2 = 4x3 - 3x

整理后得到:

8x3 - 6x - 1 = 0

也就是说,cos(5π/9) 满足上述方程。 所以 ∠EBD = 5π/9


解法一的说明

熟悉三倍角公式的话,不难猜测出正确答案。我实际上是 用数值方法解上述三次方程并求反余弦(注意, ∠EBD 的取值范围是从 2π/3 到 π/2,对应的 x 值是从 -0.5 到 0):

$ gp -q
? a=solve(x=-0.5,0,8*x*x*x-6*x-1)
-0.17364817766693034885171662676931479600
? acos(a)*180/Pi
100.00000000000000000000000000000000000

WolframAplpha 解上述三次方程(注意:三个根都是实根,但是用根式表示的话,必须引入虚数单位 i 才行):


有谁知道吗本题的更简单的解法吗?

解法二

根据 TeddyZ 的评论,得到以下解法:

作 ∠DCF = ∠BAC 且 CF = AB

易知 △DCF ≌ △BAC

易知 ∠FDC = ∠ABC

所以 FD ‖ AE

因为 AE = AB - EB, BC = CD - BD

所以 BC = AE

因为 △DCF ≌ △BAC

所以 FD = BC = AE

所以 AEDF 是平行四边形

所以 FA = DE

易知 △FCA 是等边三角形

所以 ∠FCA = 60°

又有 ∠BAC = ∠FCD = ∠ACB - ∠FCA

所以 ∠BAC = ∠ACB - 60°

所以 ∠ACB - ∠BAC = 60°

易知 2∠ACB + ∠BAC = 180°

所以

3∠ACB = 240°

∠ACB = 80°

∠EBD = 180° - ∠ABC = 180° - ∠ACB = 180° - 80° = 100°

答案是:∠EBD = 100°