转载于:https://www.cnblogs.com/bytebull/p/7634088.html
欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

 欧拉函数的性质:它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后,所有的素数幂上的欧拉函数之积。

 欧拉函数的值  通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等     于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4)

推论:当n为奇数时,有φ(2n)=φ(n)。

若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
算法实现与分析:
求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),容易知道要对n进行素因子分解。
(1)直接实现


  int oula(int n)
  {
      int rea=n;
      for(int i=2; i<=n; i++)
          if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
          {
              rea=rea-rea/i;
              do
                  n/=i;//把该素因子全部约掉
             while(n%i==0);
         }
     return rea;
 }

 这个函数的复杂度为O(n),如果n达到1000000000,肯定会超时,由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子,所以只需遍历到根号n即可,这样复杂度降为O(√ˉn)

    下面是优化代码:


  int oula(int n)
  {
      int rea=n;
      for(int i=2; i*i<=n; i++)
          if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
          {
              rea=rea-rea/i;
              do
                  n/=i;//把该素因子全部约掉
             while(n%i==0);
         }
     if(n>1)
         rea=rea-rea/n;
     return rea;
 }

(2)素数表实现

    先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存,以方便欧拉函数使用,这样,在不考虑筛选法的时间复杂度,而单纯看欧拉函数,其复杂度为O(x),x为O(√ˉn)以内素数的个数。

  bool boo[50000];
  int p[20000];
  void prim()
  {
      memset(boo,0,sizeof(boo));
      boo[0]=boo[1]=1;
      int k=0;
      for(int i=2; i<50000; i++)
      {
         if(!boo[i])
             p[k++]=i;
         for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++)
         {
             boo[i*p[j]=1;
                 if(!(i%p[j]))
                 break;
         }
 }
 }//筛选法打表
 int phi(int n)
 {
     int rea=n;
     for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//对于一些不是素数的可不遍历
         if(n%p[i]==0)
         {
             rea=rea-rea/n;
             do
                 n/=p[i];
             while(n%p[i]==0);
         }
     if(n>1)
         rea=rea-rea/n;
     return rea;
 }

    (3)递推求欧拉函数

     如果频繁的使用欧拉函数值,就需要预先打表,下面介绍递推求欧拉公式的方法。

    可预先之所有数的欧拉函数值都为她本身,有定理可知,如果p是一个正整数且满足φ(p)=p-1;那么p是素数,在遍历过程中如果遇到欧拉函数与自身相等的情况。那么说明该数为素数,把这个数的欧拉函数值改变,同时也把能被素因子整除的数改变。


  for(i=1; i<=maxn; i++)
      p[i]=i;
  for(i=2; i<=maxn; i+=2)
      p[i]/=2;
  for(i=3; i<=maxn; i+=2)
      if(p[i]==i)
      {
          for(j=i; j<=maxn; j+=i)
              p[j]=p[j]/i*(i-1);
     }

附上欧拉函数表:

2-100欧拉函数表
n φ(n)
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
7 6
8 4
9 6
10 4
11 10
12 4
13 12
14 6
15 8
16 8
17 16
18 6
19 18
20 8
21 12
22 10
23 22
24 8
25 20
26 12
27 18
28 12
29 28
30 8
31 30
32 16
33 20
34 16
35 24
36 12
37 36
38 18
39 24
40 16
41 40
42 12
43 42
44 20
45 24
46 22
47 46
48 16
49 42
50 20
51 32
52 24
53 52
54 18
55 40
56 24
57 36
58 28
59 58
60 16
61 60
62 30
63 36
64 32
65 48
66 20
67 66
68 32
69 44
70 24
71 70
72 24
73 72
74 36
75 40
76 36
77 60
78 24
79 78
80 32
81 54
82 40
83 82
84 24
85 64
86 42
87 56
88 40
89 88
90 24
91 72
92 44
93 60
94 46
95 72
96 32
97 96
98 42
99 60
100 40