《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第3版)》第 56 页:

题2.4.16   是否可以使用红色、白色和蓝色为 27 个相同的 1x1x1 立方体的面染色, 以便将它们排列成所有外部面都为红色的 3x3x3 立方体; 然后重新排列成所有外部面都为蓝色的 3x3x3 立方体; 最后,重新排列成所有外部面都为白色的 3x3x3 立方体? 一般情况下呢(n 种颜色和 nxnxn 立方体)?


一般情况是指:

是否可以使用 n 种颜色为 n3 个相同的 1x1x1 立方体的面染色, 以便将它们排列成所有外部面都为第 i 种颜色(1≤i≤n)的 nxnxn 立方体。

显然,这 n3 个相同的 1x1x1 立方体共有 6n3 个面, 而 nxnxn 立方体的 6 个外部面共有 6n2 个小格。

当 n=1 时,显然可以做到。

当 n=2 时,共有 8 个 1x1x1 立方体, 只需将这些小立方体的 3 个面染成红色,3 个面染成白色即可。 注意,3 个相同颜色的面必须有一个公共点。


当 n=3 时,共有 27 个 1x1x1 立方体, 分为以下 4 种情况:

  • 1 个体中心块(没有外部面)
  • 6 个面中心块(有 1 个外部面)
  • 12 个边块(有 2 个外部面)
  • 8 个角块(有 3 个外部面)

只需将这些小立方按照以下方式染色即可。

  • 小立方体的个数 1 1 1 6 6 6 6
  • 染成红色的面数 0 3 3 1 3 2 2
  • 染成白色的面数 3 0 3 2 1 3 2
  • 染成蓝色的面数 3 3 0 3 2 1 2

注意,3 个相同颜色的面必须有一个公共点, 2 个相同颜色的面必须有一个公共线。


当 n=4 时,共有 64 个 1x1x1 立方体, 分为以下 4 种情况:

  • 8 个体中心块(没有外部面)
  • 24 个面中心块(有 1 个外部面)
  • 24 个边块(有 2 个外部面)
  • 8 个角块(有 3 个外部面)

只需将这些小立方按照以下方式染色即可。

  • 小立方体的个数 4 4 4 4 4 4 4 4 16 16
  • 染成红色的面数 0 0 3 3 1 2 1 2   1   2
  • 染成白色的面数 1 2 0 0 3 3 2 1   2   1
  • 染成蓝色的面数 2 1 1 2 0 0 3 3   1   2
  • 染成黄色的面数 3 3 2 1 2 1 0 0   2   1

一般情况下,共有 n3 个 1x1x1 立方体, 分为以下 4 种情况(n>1):

  • (n-2)3 个体中心块(没有外部面)
  • 6(n-2)2 个面中心块(有 1 个外部面)
  • 12(n-2) 个边块(有 2 个外部面)
  • 8 个角块(有 3 个外部面)

染色方案待定。