《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第3版)》第 57 页:


根据以下定理,这题的答案是 1235。

定理1: 给定正整数 m 和非负整数 n,如果将

展开并化简后共有 C 项,则:

  1. 当 m 是偶数时 C = 2n+1。
  2. 当 m 是奇数且 n < m 时 C = (n+1)(n+2)/2。
  3. 当 m 是奇数且 n ≥ m-2 时 C = m(2n-m+3)/2。

将上取整替换为下取整,这个定理也成立。


三项式定理:

其中三项式系数定义如下:

注意:三项式定理的右边共有 (n+1)(n+2)/2 项。


我们以 m = 5, n = 12 来看看定理1。根据三项式定理,有:

满足 j, k ≥ 0 且 j + k ≤ n 的格点如下所示(横坐标为 j,纵坐标为 k,格点的值为 3j+5k):

显然,这样的格点共有 1+2+…+(n+1) = (n+1)(n+2)/2 个。但是,这些格点的值有重复的。从图中可以看出,满足 j < m 的格点的值都不相同,这些格点共有 m(m+1)/2 + m(n+1-m) = m(2n-m+3)/2 个。


当 m = 13, n = 12 时的格点如下所示(横坐标为 j,纵坐标为 k,格点的值为 7j+13k):

从图中可以看出,这些格点的值都不相同。