《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第3版)》第 300 页:


则 A = 2207 - 1/A,即 A2 - 2207A + 1 = 0,解得:

舍去较小的根,由题目中的条件可知:

显然,c = 5。令 u = a/d, v = b/d,使用二项式定理展开上式,整理后得:

令 u = kv,代入式 (1) 和 (2) 得:

式 (3) 除以式 (4),整理后得:

这个函数的图像如下所示:

显然,这个八次方程有且仅有两个实根:k1 = 5/3, k2 = 3。

将 k = 5/3 代入式 (3) 得 ,舍去(因为 v 是有理数)。

将 k = 3 代入式 (3) 得 v = 1/2,因此 u = 3/2。最终答案是:


根据小学徒的评论,有以下非常巧妙的解法:令

则 A = 2207 - 1/A,即 A + 1/A = 2207。令 x8 = A,得:

于是:

因此:

舍去较小的根,最终答案是:


实际上,我们还有: