对于题 7.24 (a),存在正实数 d0,使得当且仅当 d ≥ d0 时,可以作出所要求的线段。对于题 7.24 (b),当且仅当 d ≤ d0 时,一根长度为 d 的细圆木能通过这个拐弯。

如上图所示,我们有:

并且 h/a = b/w,因此 h = ab/w,将 h 代入上式,整理后得:

对于给定的正实数 a 和 b,这个函数的图像如下所示(以 a=4, b=3 为例):

欲求这个函数的最小值,将函数 d 对自变量 w 求导:

令 d'=0,整理后得:

将第1项与第3项放在一起、第2项与第4项放在一起,提取公因子,分解因式,得:

我们得到正实数解:

于是:

将 w 和 h 的值代入第1个表达式,得:

这就是所求的 d0 值。这个表达式可以化简为:

要证明上面两个表达式相等是比较容易的,但是要从前者化简为后者就不容易了。实际上,后者来自书上的答案:

欲证明前面的化简是成立的,只需证明:

右边展开,得:

左边展开,整理后得:

其中

证毕