本文译者为齐民友老师,受齐老师托付,发布在图灵社区,欢迎大家批评和指正。
本文分两部分发在图灵社区,此为第二部分。

应用逻辑演绎和执行逻辑演算还有一个前提,就是必须事先就有某种概念性的东西,即在一切思考之前就有直觉体验的某个逻辑以外(extralogical)的具体对象。为了使逻辑演绎是确定的,我们必须能够看到这些对象的一切,必须给出它们的性质、差异、序列和邻近关系,以及对象本身,这一切和对象本身已经不能也没有必要再归结为别的对象了。我认为这些都是必不可少的基本哲理,不仅对数学,而且对一切科学思考、理解和交流都是必不可少的。按照这样的哲理,数学的主题就是一些具体的符号,其构造立即清晰可辨。

我们来考虑普通的有穷数论的本质和方法 10,它肯定可以从数值结构通过直觉的实地的思考得出,但是数学肯定不只是数值方程,也肯定不可能仅仅简化为数值方程。当然,我们仍然可以争辩说数学是一种工具,如果把它用于正整数总是会得出正确的数值方程。但即便是在这样的情况下,我们仍然需要彻底地研究这个工具的结构,以保证它们总能产生正确的方程。为了做这样的研究,我们只能使用在数论的构造中导出数值方程的同样具体的、与推理内容有关的有穷方法。这样做,科学上的要求是可以满足的,也就是说可能以一种纯粹直觉和有穷的方式,也就是我们获得数论的真理的方式,给出一种足以保证这些数学工具的有效性的见解。

10在这里,我们第一次遇见了有穷论(finitary theory,即finitism)的提法,那么,什么是有穷论呢?这里似乎缺少“明确的”定义。这不是偶然的、无关紧要的小事。我们可以说,这个脚注之前的一大段话正是对于有穷论的解释。关于这一点,希尔伯特和贝奈斯合写的《数学基础》第二卷(Grundlagen der Mathematik,Bd. 2, 1939,此书实际上是贝奈斯写的)更是明确地指出:他们并没有明确地给出finitistic和非finitistic的界限,书中说:“我们并没有把finitistic一词作为具有尖锐的界限的用语,而只是作为对于一种方法论的指导原则的描述,[这种描述并没有]使得我们可以把某种概念的形成和推理的方式看成是确定地finitistic的,而把另一些看成是确定地非finitistic的。这个指导原则并没有给出精确的界限使得符合其要求的就算是finitistic的、反之则算是非finitistic的。”(Hilbert and Bernays 1939, 347–48)——中译者注

让我们来更仔细地思考数论。在数论中,我们有如下的数值符号:

1,11,111,1111,

因为它们都是由符号1构成的,所以可以直觉地辨识出来。作为我们主题的这些数值符号本身并没有什么意义。但是,除了这些符号,即使在初等数论中,我们也还需要一些本身就有意义并有助于沟通的其他符号。例如,用符号 2 作为数值符号 11 的简写,用 3 作为数值符号 111 的简写。此外,我们也要用 +、=、> 这些符号来沟通各种命题。用 2+3=3+2 来表达:当考虑到 2 和 3 只是一种简写时,2+3 和 3+2 其实是相同的数值符号,即都是 11111. 类似地,3>2 则意在表达 :符号 3 (即111)比符号 2 (即 11 )更长,换句话说,后一个符号是前一个符号的真部分。

我们也使用字母 a,b,c 来进行沟通。这样,b>a 表达的是:数值符号 b 比数值符号 a 更长。从这个观点看来,a+b=b+a 只是表达了数值符号 a+b 和数值符号 b+a 是相同的。这个表达的内容可以用实地的演绎来证明。说实在的,这种直觉的实地演绎还可以走得更远。

我要给出一个把这个直觉的实地演绎剥离的例子。我们现在已知的最大素数是(39位)

p=170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727。 

利用欧几里得提出的著名方法,我们可以完全在有穷框架下给出一个证明:在 p+1 和 p!+1 之间至少存在一个新的素数。 11这个证明在有穷框架下完全有效,“必定存在”一词仅仅为了简化表达这样的意思;p+1 或 p+2 或 p+3,⋯,或 p!"+1" 必定是素数。此外,下面的说法显然说的是同一回事:必定存在一个素数,它:

  1. >p,同时又有
  2. ≤p!+1.

11按照一个应该归功于欧几里得的方法,我们可以证明这个定理,所以我们在下面称这个结果为欧几里得定理。

这样会导出一个定理,但它只表示了欧几里得定理的一部分,即必定存在一个大于 p 的素数。就其内容而言,这个定理比欧几里得定理要弱得多——仅断言了欧几里得定理的一部分,虽然从欧几里得定理转换到这个定理没有害处,但当部分命题脱离了上下文而被视为一个独立的命题后,就可能落入超穷性的领域。

怎么会这样呢?因为我们有一个存在性命题,必定存在!事实上,欧几里得定理还有一个类似的表述,我已经说过,这个必定存在只是命题“或者是 p"+1" ,或者是 p+2,或者是p"+3",⋯,或者是 p!"+1 " 为一素数”的缩写,这就好像我们把 “或者这支粉笔,或者这支,或者这支,……,或者这支是红的”这句话换一个简明的说法:“这其中必定存在一支红色的粉笔。”像“存在具有有穷整体某一性质的对象”之类的命题,完全符合有穷的方法。但是,像“或者是 p+1,或者是 p"+2",或者是p+3 …… (直到无穷)具有某种性质”这样的命题本身就是一个无穷的逻辑乘积。对于这样的命题,除非给出进一步的解释和解决办法,否则在微积分中是不允许从有穷乘积推广到无穷乘积的。这样的推广通常是毫无意义的。

从有穷主义的观点来,每一个形如“必定存在具有某种性质的数”命题,一般只是作为某个命题的一部分才有意义,即只作为一个更确定的命题的一部分。然而,出于更多的目的,更广泛的命题并不需要准确的陈述。

在分析一个其内容不能被表述为有穷的析取式 12时,就会遇到无穷。类似地,否定一个一般命题(就是涉及无穷多个数值符号的命题),也会得到一个超穷的命题。例如,命题“如果 a 是一个数值符号,则 a+1=1+a 普遍为真”,从有穷的视角看来是不可否定的。用下面的看法来看就更清楚了:这个命题不能解释为任意多个数值方程用“和”(即逻辑连词“与”,其符号为“∧”)连接而成,而只能解释为断言在给定数值符号下某事成立的假言判断。

12析取就是disjunction,也就是逻辑连接词“或”,其记号通常是“∨”。——中译者注

所以,从有穷的观点看来,对于我们刚才得到的那种含有任意数值符号的方程,我们既不能证明它对于每一个数值符号都成立,也不能用一个反例来给以反证。反证法的使用要依据排中律,其前提是假设这样一个普遍适用的命题是能够否定的。

不管怎么说,我们注意到:如果我们停留在有穷命题的领域内,事实上,我们就必然会遇到非常复杂的逻辑规律。如果“必定存在”和“所有”的说法组合在一起,或者它们嵌套在其他表达式的表达式内,那么这种逻辑规律的复杂性将是我们无法控制的。总之,亚里士多德所教导的逻辑规律以及人们从开始思考时就一直在使用的那些逻辑规律不再成立了。当然,我们可以去发展对于有穷的命题一定成立的逻辑规律。但是,发展这样的逻辑对我们并没有好处,因为我们不想放弃使用亚里士多德的简单的逻辑规律。再说,哪怕有人用“天使的话语”(tongues of angel) 13讲话,也无法阻止人们否定一般的命题,形成部分判断,或者使用tertium non datur 14 。那么,我们该怎么办呢?

13语出新约圣经哥林多前书第13章(这里的译文来自中文圣经的和合本),意为只能在天国中适用,常人不可能遵守的语言或法令。——中译者注

14拉丁文,直译就是“没有第三者”。例如一个命题或为真,或为不真,再没有第三种情况,即为tertium non datur。所以,这个短语就是排中律。——中译者注

请不要忘记,我们是数学家。作为数学家,我们经常处于不稳定的境地,解救我们的则是非常巧妙的理想元素方法。在本文开始处,我就举出过一些应用这个方法的卓越的例子。例如,引入 i=√(-1) 是以简单形式保存代数的规律(例如方程的根的存在与个数的规律);又如,引入理想因子(ideal divisor)是以简单形式保存代数整数的可分性律(例如数 1+ √(-5) 和2就有一个公共的理想因子,虽然并不存在真正的因子)。类似地,要想保存形式简单的普通亚里士多德逻辑,就必须用理想的命题去补充有穷的命题。具有讽刺意味的是,克罗内克(Leopold Kronecker,1823—1891)如此激烈反对的非有穷的演绎方法,与他所热烈推崇的库默尔(Ernst Eduard Kummer,1810—1893)在数论方面的工作(克罗内克称赞这是数学的最高成就)极其相似。 15

15这里指的当然包含了克隆尼克的名言:上帝创造了整数,其余都是人造的。所以,如√(-1)=i当然也是人造的,所以是不存在的。同样,克隆尼克也只承认有穷的演绎,而非有穷的演绎也是不存在、无意义的。——中译者注

怎样获得这种理想命题呢?有一个非常值得注意,并且很利于我们又很有希望的事实,那就是为了得到这些理想命题,我们只需要以一种自然而且明显的方式来延续数学基础理论时曾经历的发展。事实上,我们应该看到,即使是初等数学也已超越了直觉的数论的立场。正如我们曾解释的,直觉的数论(实地的数论)并不包含用字母进行运算的方法。在直觉的数论中,我们使用公式只是为了进行沟通。字母表示数值符号,方程则用来传达等式双方的数值符号是相同的。在代数中则不同,我们把含有字母的表达式当作独立的结构,用以把数论中的实地的定理形式化。公式不再只是关于数值符号的命题,而是作为直觉研究的具体对象。我们所有的不再只是数论定理的实地证明,而是根据确定规则从一个公式到另一个公式的推导过程。

所以,甚至是在代数学中,就已经发生了有穷对象的扩展。迄今为止,我们的对象仅仅是 1,11,⋯,11111 这样的数值符号,只有它们才是实地处理的对象。但是,数学的实践即使在代数中也还可以有更多的发展。事实上,当我们从有穷的观点看来时,公式就它所表示的意义是有效的,例如

a+b=b+a

这个定理中,a 和 b 都是特定的数值符号。但是,我们宁可不采用这样的传达方法,而是使用公式

a+b=b+a

后一个公式绝不是所指事物的直接传达,而是被看成某种形式结构,它与许多旧的有穷命题如

2+3=3+2, 5+7=7+5

的关系在于:当我们在此公式中用数值符号 2,3,5,7 来取代 a 和 b 时,即可通过一个证明过程得到个别的有穷命题,尽管这只是一个很简单的证明过程。由此可以断言, a,b,=,+ 等符号以及整个公式 a+b=b+a ,就如那些数值符号 a 和 b 一样,其本身没有任何意义。但是,将这些公式解释为有穷命题的传达方式,我们仍然可以从该公式导出确实赋予意义的其他公式。对这个结论加以推广,我们就把数学设想成两类公式:一类公式对应于有穷命题的有意义的传达;另一类公式不表示任何意义,是我们理论中的理想结构

那么,我们的目标是什么呢?在数学中,一方面我们有只包含数值符号的有穷命题,例如

3>2, 2+3=3+2, 2=3, 1≠1

等,从有穷观点看,它们都是立刻用直觉能理解的东西,不用借助其他东西。这些命题都是可以否定的,可以为真,也可以为假。对于它们,可以不加限制地应用亚里士多德逻辑,无须特别小心。无矛盾原理 16(the principle of non-contradiction)对于它们是成立的,也就是说tertium non datur (就是任意命题或者其自身成立,或者其否定成立;说一个命题为假就等价于说它的否定为真)对于它们总是成立的。另一方面,除了有这些不产生问题的初等命题外,我们还会找到更多有问题的有穷命题。例如,我们能找到不能分割成部分命题的有穷命题。最后,我们引入了理想命题,使得通常的逻辑规律也能普遍适用。但是,因为这些理想的命题(也就是这些公式)在有穷命题范畴下并不具有任何意义,所以逻辑运算就不能像对有穷命题那样实地的应用于它们。因此,有必要把这些逻辑运算及其证明加以形式化。这样的形式化就需要将逻辑运算转化为公式。因此,除了数学符号,我们还必须引入

&    ∨   →   ∼ 17
与 或 蕴涵 非

等逻辑符号18,而且除了如 a,b,c,⋯数学变量,我们还必须使用表示命题的变量A,B,C,⋯,等等。

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18这类符号叫作逻辑连接符(logical connective)。——中译者注

怎样做到这一点呢?幸运的是,我们在科学发展的历史中经常看到同样的、和谐的预先设定。正是这种和谐的预设,为爱因斯坦在提出引力的一般理论时提供了已经充分发展的不变微积分学,同样,它也会帮助我们发现事先完成的逻辑演算。可以肯定地说,逻辑演算原来是从完全不同的观点出发而发展起来的。逻辑演算中的符号原来只是为传达而引入的。否定逻辑符号具有任何的意义,就如我们曾经否定数学符号的意义,而宣称逻辑演算的公式都是本身没有任何意义的理想命题,这仍然符合我们的有穷观点。我们现在是把逻辑演算看成一种语言,它可以把数学命题化成公式,而用形式程序来表示逻辑演绎。正如同从实地的数论转变为形式代数一样,我们现在是从抽象意义上对待逻辑演算的符号与运算符号。这样,我们最后得到的就不再是用普通语言来传达的实地的数学知识,而只是一组含有按确定程序一步一步生成的数学和逻辑符号的公式。这些公式中的一些对应于数学公理。这些公式按由一个到另一个的推导规律对应于实地的演绎。这样,实地的演绎就被代以服从某些规律的形式程序。所以,对公理和逻辑演算都实现了严格的由朴素到形式处理的转变。(公理原来是被朴素地看成基本真理的,在现代公理学中,则久已被看成是概念之间的关系。逻辑演算则原来被看成一种不同的语言。)

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19 这种格式称为“假言推理”(modus ponens)。下文由中译者作了一些修改。——中译者注

这个程序还指导我们在创立证明论(即关于这种证明的数学和逻辑学理论)时要选择哪些命题作为公理。尽管有一定程度的任意性,但就如在几何学中,还是可以定性分出某一组公理的。下面就是这种分组的例子。

Ⅰ 蕴涵公理
i. I Α→(Β→Α) (添加一个假设)
ii. (B→C)→{(A→B)→(A→C)} (消除一个命题)

Ⅱ 否定公理
i. {A→(B &∼B)}→∼A (矛盾律)
ii. ∼∼A→A (双重否定律)
Ⅰ和Ⅱ两组公理只不过就是命题演算的公理。

Ⅲ 超穷公理
i. aA(a)→A(b) (由普遍成立可以推断到特例,也叫亚里士多德公理)
ii. ∼(a)A(a)→(∃a)∼A(a) (如果一个谓词不普遍成立,则一定有反例)
iii. ∼(∃a)A(a)→(a)∼A(a) (如果一个命题没有特例,则它对一切 a 为假)

数学和逻辑学发展到这里,我们发现了一个非常值得注意的事实,就是所有这些超穷公理都可以从一个公理导出,这个公理的要点就是所谓的选择公理(axiom of choice),它是数学文献中最具争议的公理:

(i' ) A(a)→A(εA).

这里的 ε 就是所谓的超穷逻辑选择函数。
再往下还要加上一些特殊的数学公理,它们是:

Ⅳ 恒等公理
i. a=a
ii. a=b→{A(b)}

最后还有:

Ⅴ自然数的公理 20

i. a+1≠0
ii. 完全归纳法公理

20 就是皮亚诺公理。——中译者注

现在,我们已经准备好了完成我们的证明论,构造出可证明公式的系统,也就是建立起整个数学。但是,当我们因这一成就而欢乐,特别是因毫不费力就找到了已经发展完善的、必不可少的工具(即逻辑运算)而愉悦时,绝不要忘记我们的工作有一个基本条件——一个与理想元素方法相关的、绝对必要的条件。这个条件就是一致性(consistency)的证明:想使通过理想元素方法来扩展领域是合法的,就必须要求这个扩展不会在以前的、较窄的领域中出现矛盾;或者换句话说,就是在把理想元素除去以后,所余下的关系在旧结构中始终是适用的(valid)

一致性问题在目前的状况下很容易处理。它显然可以归结为:用我们的公理以及设定的规则不会得到 1≠1 作为证明的最后一个式子;也就是说,1≠1 是一个不可证明的公式。这项任务同样属于直觉处理的领域,例如在实地构造的数论中证明 √2 的无理性,就是证明不可能找到两个数值符号 a 和 b,使之适合关系式a2=2b2,也就是无法找到两个具有某种性质的数值符号。类似地,我们会义不容辞地去证明不可能找到某一类的证明。和数值符号一样,一个形式化的证明是一个具体可见的对象,我们可以完整地描述它们。此外,上述公式所必须的性质,即它可以读作1≠1,也是这个证明的可以具体确定的性质。因为我们事实上可以证明,不可能找到一个以此公式为最后一个公式的证明,所以我们也就论证了引入理想命题的合理性。

使我们惊喜的是,我们也同时解决了长久以来困扰着数学家的问题,就是证明算术公理一致性的问题。因为只要我们应用公理方法,证明的一致性问题就会出现。可以肯定地说,在选择、理解和应用规则和公理时,我们不愿意单纯地依赖盲目的信念。在几何学和物理学理论中,一致性的证明是通过把它约化为算术公理的一致性来实现的。但是,我们显然不能用这个方法来证明算术公理自身的一致性。正是我们基于引入理想元素的方法来建立的证明理论,帮助我们实现这关键一步,成为简称公理学的学说拱门的必要基石。我们曾经历了两次困扰:第一次是在处理无穷小演算时遇到的悖论,第二次是在处理集合论时遇到的悖论,现在不会出现第三次了,再不会出现了。

我们要在这里概述其要点的证明理论,不仅能为数学的基础提供坚实可靠的基础,而且我相信,也为处理基本的数学问题提供了一般的方法,而这个方法是数学家们迄今还未能掌握的。

在一定的意义上,数学已经成了一个仲裁法庭,一个决定基本问题的最高法庭——基于每个人都认同的牢固基础,每个命题都受其掌控。

在我看来,新的所谓“直觉主义”(intuitionism)的主张——虽然可能是比较温和的,必须要在这个法庭上得到“执照”。

可以处理这类基本问题的一个例子是:每一个数学问题都是可以解决的。我们都相信确实如此。事实上,吸引我们去破解数学问题的一个主要动力,是我们总能听到来自内心的一个呼喊:问题就在这里,去找出它的答案吧;只要你去想,就一定能找到,因为数学中没有 ignorabimus(不可知的东西)21。 现在,我的证明理论并没有给出解决每一个数学问题的一般方法——根本没有这种方法。然而,证明每一个数学问题都是可解的是个一致的假设,完全属于我的理论范围之中。22

21 这是一个拉丁字,更常见的是一句拉丁格言:Ignoramus et ignorabimus。Ignoramus本意是“无知者”或“我们不知道”,在法律上也会用到这个字,不过这里是一个17世纪喜剧的标题。后来,德国生理学家Emil Heinrich du Bois-Reymond(1818—1896)把它用于表述科学哲学的不可知论,指在科学上有许多“我们不知道,也永远不可能知道”的事情。希尔伯特反对这种看法,并且针锋相对地提出自己非常著名的口号Wir müssen wissen. Wir werden wissen.(英文的标准译法是We must know. We will know.)。这个提法见于希尔伯特1930年在哥尼斯堡的退休演说中,后来成了他的墓志铭。——中译者注 22 这个问题称为逻辑学的判定问题(decision problem),或完全性问题,是逻辑学的一个基本问题。——中译者注

现在,我要亮出我的最后一张王牌了。一个新理论的试金石就是它解决一些问题的能力,而这些问题虽然人们久已知道,但这个理论本来并非专门用来解决它们的。“凭着他们的果子,就可以认出他们来。”23 这句格言对于一个理论也是适用的。我在前面已经指出,当康托尔发现他的第一批超穷数,即所谓的第二类数时,这个问题就已经出现,即这种超穷的计数方法能否用于在其他地方已知、在通常意义下是不可数的集合。区间内的点就明显地表示为这类集合。这个问题——区间内的点(也就是实数)能否用前文给出的表中的那些数来计数——就是著名的连续统假设。康托尔提出了这个问题,但是没有能够解决它。虽然有些数学家以为,通过否定这个问题的存在就可以处理掉这个问题。但是下面的说明就可以指出他们是大错特错了。连续统问题与其他问题的区别在于它的独特性和内在的美。此外,它相比其他问题还有一个优点,就是它把两种品质结合起来了:一方面它需要新的解决方法,因为老方法都失败了;另一方面,因为要获得结果,它的解决方法非常重要。

23 这句格言出自新约圣经《马太福音》第7章,这里的译文就是引自中文圣经和合本的。——中译者注

我所发展的理论给出了连续统问题的一种解决办法。每一个数学问题都是可解的,其证明正是这种解决办法的第一步,也是最重要的一步…… 24

24 希尔伯特的原文在此概述了他打算采用的解决连续统问题的方法。这个打算虽然不是没有意义的,但是从来没有实行过。所以现在略去这一部分。——编者注。[关于略去的部分,读者可以参看Jean van Heijenourt, ed. From Frege to Gὂdel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard Univ. Press Cambridge, 1967. Pp 367-92。——中译者注]

总结一下,让我们回到主题,并从我们关于无穷的全部思考中得出一些结论。我们主要的结果是:在现实世界中并不存在无穷。它既不存在于自然界中,也不能为理性思维提供合法的基础——它存在与思维间的一种奇妙的和谐。对照弗雷格和戴德金早前的努力,我们相信,某些直觉概念和洞察力对于科学知识是必须的,仅有逻辑是不够的。只有通过有穷才能使对于无穷的运作是确定的。

那么,为什么要保留“无穷”呢?它仅仅是一个想法,用康德的话来说,它是一种理性概念,超越了一切经验而使具体性成为一个整体——在我们建立的理论的框架下,我们可以毫不犹豫地相信这个看法。

最后,我要感谢贝奈斯 25 (Paul Isaac Bernays,1888—1977,瑞士数学家)在本文写作时在技术和编辑两方面给予的睿智合作和有价值帮助,特别是在连续统定理的证明上。

25 在数理逻辑上有重要贡献。——中译者注

On The Infinite 论 无 穷(一)

齐民友 安徽芜湖人,生于1930年,1952年毕业于武汉大学数学系,从1952年开始依次任武汉大学数学系助教、讲师、副教授、教授、博士生导师。 社会兼职:武汉大学校长(1988~1992);中国数学会副理事长;第八届全国人大代表,教科文卫委员会委员(1993~1997)。