本文译者为齐民友老师,受齐老师托付,发布在图灵社区,欢迎大家批评和指正。
本文分两部分发在图灵社区,此为第一部分。

1魏尔斯特拉斯的深刻批判,为数学分析建立了稳固的基础。通过阐明许多概念,特别是最小、函数和微商,他消除了无穷小量微积分中存在的缺陷,理清了有关无穷小量的所有混淆概念,从而完全解决了这一概念带来的难题。如果说今天的数学分析已经一致认同了以无理数和极限概念为基础的演绎方法,甚至说在微分方程和积分方程理论最复杂的问题中,哪怕是用到了各种极限的最巧妙多变的组合,所得到的结果也能得到完全一致的认可,那么这种令人愉悦的状况,应该归功于魏尔斯特拉斯的科学工作。

1 本文是希尔伯特1925年6月4日在威斯特伐利亚数学学会(Westphalian Mathematical Society)为纪念卡尔•魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)于明斯特召开的会议上的演说,发表在Mathematische Annalen(vol.95(1926), pp.161-190)。这里的文本是由Erna Putnam 和 Gerald J. Massey翻译成英文的,收录在由Paul Benacerraf和Hilary Putnam 主编的文集Philosophy of mathematics中。感谢Mathematische Annalen的出版者Springer Verlag允许采用文集和翻译本文。

然而,尽管魏尔斯特拉斯为无穷小量微积分提供了基础,但关于数学分析基础的争论仍然在继续。

这些争论之所以没有终止,是因为无穷在数学上的意义从未完全阐述清楚过。魏尔斯特拉斯的分析通过把关于无穷大和无穷小的命题简化成有穷量间的关系[的命题],的确回避了无穷大和无穷小的概念,但无穷一词仍然出现在定义实数的无穷值级数和实数系的概念中,而实数系被看成了一个完整存在的整体。

魏尔斯特拉斯在他的数学分析基础研究中,毫无保留地接受并反复使用了用到无穷概念的逻辑演绎形式,例如他在探讨所有(即∀)具有某种性质的实数,或者论证存在(即∃)具有某种性质的实数时。

这样,无穷的概念就以另一种形式重现在了魏尔斯特拉斯的理论中,从而避开了在其批判中对无穷所要求的精确性。所以,我们需要在这个意义下一劳永逸地解决无穷的问题。正如在无穷小量微积分的极限过程中,谈及无穷大和无穷小时,无穷只不过是一种说法,我们也必须认识到,在演绎方法中把无穷作为一个整体时,它只不过是一种幻象。正如无穷小量的运算被有穷量的运算所代替,产生出完全一样的结果,和同样优雅的形式关系,一般来说,基于无穷的演绎方法也必须被有限过程所替代,并产生完全相同的结果;也就是说,可以得到同样的证明链,以及相同的方法获得公式和定理。

我的理论的目标是彻底地建立起数学方法的确定性。这是一项甚至在无穷小量微积分的关键时期都没有完成的工作。所以,这个理论应该完成魏尔斯特拉斯想通过其数学分析基础去实现的目标,而他已经朝着这一目标迈出了重要的一步。

但是,更普遍的观点依然与澄清无穷这一概念相关。细心的读者会发现,数学文献中不乏满纸荒唐言的蠢话,而它们都源于无穷。例如,有一些作者坚持认为严格数学的证明中只允许用有限次演绎(似乎要把这当作一个限制条件),好像有人成功用过无穷次演绎一样。

一些我们认为废弃已久的反对意见仍然以不同形式重现。例如近来发生的事情:虽然可以无风险即不会产生矛盾地引入概念,甚至可以证明这种引入不会引起矛盾,但是仍然不能以此为理由来引入概念。这与反对复虚数的异议不是异曲同工吗?曾有人指出:“的确,引入复虚数没有导致矛盾,但是因为虚数并不存在,所以引入复虚数仍然是没有根据的。”除了证明一致性,如果一种手段的正当性问题具有意义,则只能是确定它是否会获得相应的成功。事实上,这种成功至关重要,因为在数学里和在其他领域一样,成功是让所有人都心悦诚服的“最高法庭”。

一些人好像看到了鬼魂,而有一位作者看到了矛盾,即使没有给出任何命题:在感觉的现实世界中,他将“一致性功能”作为了特殊的假设。但我总是认为,只有命题,或者假设通过演绎得到了命题,才可能与另一个命题发生矛盾。在我看来,认为事实和事件本身就有矛盾,是典型的思想不严密。

以上的评论只不过是为了确定一个事实:对无穷的本质做出确定性的澄清,而不是局限于特定科学领域的阐述,是人类智慧的尊严

从远古时代起,无穷就比任何其他问题更能扰动人类的感情。几乎没有任何其他的思想像它那样卓有成效地刺激人类的心智。然而,也没有其他任何一种概念比它更需要澄清

在澄清无穷的本质之前,要简明地说说我们现在赋予无穷的实际意义究竟是什么。首先来看一下我们从物理学可以学到些什么。对于自然事件和物质,我们的第一个朴素印象就是其恒久性,亦即连续性。当考虑一块金属或者一些的液体时,我们的印象是,它们可以无限地分割,其最小的部分具有与其整体一样的性质。但是,在研究物质的物理学方法充分精细后,科学家们就遇到了可分性的界限,这界限并不是来自研究的不深入,而是来自事物的本性。由此,我们甚至可以把现代科学的这个趋势解释为从无穷小的概念中解放出来。相对古老的原理natura non facit saltus 2 ,我们甚至可以给出相反的断言——“大自然会跳跃”。

2 拉丁文,意思是“大自然不会跳跃”。——中译者注

众所周知,所有的物质都是由称为“原子”的微小构件组成的,它们的组合和连接产生了多样性的宏观物体。但物理学并未止于物质的原子学说,上世纪末3出现了初看相当离奇的电的原子学说。在那以前,电曾被想象为一种流体,曾被作为连续的活性剂的模型,然后它被证明是由正负电子构成的。除了物质和电,物理学中还有一种遵循守恒定律的实体,那就是能量。但是也已证实了,即使能量也并非无条件地允许无穷可分性。普朗克发现了能量量子

3 指19世纪末。——中译者注

所以,在现实中并没有发现允许分割为无穷小量的那种均匀连续体。连续体的无穷可分性仅是我们的一种思想操作。事实上,它只是一个想法,会受到我们观察自然的结果以及物理学和化学的实验结果的质疑。

在自然界是否能发现无穷,我们遇到这个问题的第二个地方是把宇宙看成一个整体。这里我们需要考虑宇宙的广袤以确定它是否包含了无穷大的东西。但是,现代科学特别是天文学又一次提出了这个问题,并基于实验和应用自然界规律,而不是骗人的形而上学思辨来解决这个问题。在这里也能找到对无穷的严肃反对。欧氏几何必然引出空间为无穷的公设。欧氏几何虽然是个一致的概念体系,但不能由此得到它在现实中就是成立的结论。现实空间是否就是欧氏空间只能通过观察和实验来确定。用纯粹的思辨来证明空间的无穷性存在严重的错误。从某个空间之外还有更大空间的事实出来,仅能说明空间无界,但不能说明空间是无穷的。无界性和有穷性并不矛盾。在所谓椭圆几何学中,数学研究给出了有穷宇宙的自然的模型。今天,放弃欧氏几何不再只是来自数学或哲学上的思辨,而是来自原本与宇宙的有穷性并无关系的考量。爱因斯坦证明了必须放弃欧氏几何。在其引力理论的基础上,他处理了宇宙学问题,而且指出有穷宇宙是可能的。此外,天文学的所有结果都与宇宙是椭圆形的公设完全相容。

我们已经在两个方向上,即无穷小和无穷大 4,确定了宇宙是有穷的。然而,在我们的思想中,仍然认为无穷还有其合理性,而且是个不可或缺的概念。我们来看看数学中的情况。我们先来探讨人类心智中最纯洁的产物,即数论。在数论极其丰富的初等公式中,我们任意取一个,例如
4前者是说,由于原子学说,在物质的结构上不会出现无穷小;后者则说,由于天文学的发展,空间结构也不会出现无穷大。——中译者注

12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)/6.

因为 n 可以取任意整数,例如 n=2 或者 n=5,所以这个公式隐性地包含了无穷多个命题。这个特性对公式至关重要,使它能够表示一个算术问题的解,并且需要特别的想法来证明它。另一方面,单个的数值方程

12+22=2⋅3⋅5/6,
12+22+32+42+52=5⋅6⋅11/6"

可以简单地用计算来验证,因此每一个并没有特别的意义。

在重要而且富有成果的理想元素方法中,我们看到了无穷还有一个完全不同且非常独特的概念。理想元素方法甚至在初等平面几何中也会用到。平面上的点和直线本是很实在、真正存在的对象。一个适用于它们的公理是连接公理 5:通过两点有且仅有一条直线。从这个公理又得出,两条直线相交至多只有一个交点。然而,并没有哪个定理说两条直线必定相交于某点,因为它们很可能是平行的。我们也知道,通过引入理想元素,即无穷长直线和无穷远点,就能够使“两条直线总是交于某点且只能交于一点”的命题恒为真。这些理想的“无穷”元素的好处是,使连接公理体系尽可能地简单易懂。此外,由于点与直线之间的对称性,就可以得出非常富有成果的几何学对偶性原理。

5希尔伯特在他的《几何基础》一书中称其为结合公理(axiom of incidence)。——中译者注

另一个应用理想元素的例子是在代数中,这就是我们所熟悉的复虚数量,用来简化一个方程的根是否存在与有几个根的定理。

正如无穷多条直线(就是那些平行的直线)可以用来在几何学中定义一个理想点一样,无穷多个数也可以用来定义一个理想数。理想元素的这个应用原则是其一切应用中最巧妙的一个。如果我们在代数中系统地应用这个原则,就可知同样简单的除法法则对于整数1, 2, 3, 4, …也都成立。我们也就进入了高等数论的领域。

现在,我们来讨论在数学中最具美学、最为精巧的领域,即分析。你们都知道,无穷在分析中起着主导作用。在某种意义上,数学分析就是以无穷为主旋律的交响乐。

无穷小量微积分能取得巨大进步,主要是由于对无穷多个元素所构成的数学系统进行操作。但是,由于将无穷认为是极其大貌似很合理,因此很快就出现了不一致,这就是为古代诡辩论者所熟知的招式,即所谓的无穷小演算悖论。但是,许多在有穷情况下成立的定理(例如部分小于整体、存在最大值和最小值、和与积中各项次序的互换性,等等)都不能直接而且无限制地推广到无穷的情况,认识到这一点是个巨大的进步。我在本文开始处就提到过,主要由于魏尔斯特拉斯的敏锐,这些问题已经完全阐述清楚了。今天,数学分析不仅在其领域里绝对可靠,而且已经成了应用无穷的实用工具。

但是,仅凭数学分析并不能为我们提供关于无穷的本质的最深刻洞察。这个洞察是由另一学科完成的,它更接近一般的哲学思维方式,意在为关于无穷的整个复杂问题给出一种新的视角。这个学科就是集合论,由乔治•康托尔创立。本文中,我们只关注这个学科最独特、最有创造性的部分,它构成了康托尔学说的核心,即超穷数理论。我以为,这个理论是数学天才最精巧的产物,是人类的纯粹心智活动的最高成就之一。那么,这个理论是什么呢?

有些人想简单地刻画康托尔所引进的新的无穷概念,他们可能会说,我们在数学分析中只不过把无穷大量和无穷小量当作极限的概念进行处理,作为不断变化和发生的东西,也就是潜无穷。但是,这种无穷并不是真实的无穷。当把数1, 2, 3, 4,…的全体作为一个整体,或者把区间上的点看成同时存在的整体时,我们就遇到了真实的无穷。这类无穷称为实无穷

弗雷格和戴德金这两位在数学基础上声名远播的数学家,独立地应用实无穷为算术提供了基础,而算术与直觉和经验都无关。这个基础仅仅基于纯粹的逻辑,只用到纯粹逻辑的推演。戴德金甚至不从直觉导出有穷数,而是从无穷集合的概念逻辑地导出有穷数。系统地发展了实无穷概念的是康托尔。考虑两个关于无穷的例子:

  1. 1, 2, 3, 4,…
  2. 0到1区间中的所有的点,也就是0和1之间的全体实数。

从这两个集合的大小来看待这两个例子是很自然的事。但是,这样的处理揭露了一些当今数学家都熟知的结果。因为当我们考虑0与1之间的所有有理数的集合,也就是分数1/2, 1 /3, 2/3, 1/4,…, 3/7,…的集合时,我们就会注意到,如果仅从集合的大小来看,这个集合并不比第一个例子中的所有正整数的集合更大。所以,我们说有理数可以按照通常的方法来计数,或者说它们是可数的。所有正整数的各阶根的集合也是可数的,所有的代数数的集合亦复如此。第二个例子与此相类,但是出现了令人吃惊的情况:一个正方形或正方体中的所有点的集合不比0到1区间中所有点的集合更大。所有连续函数的集合也是这样。当你第一次学习这些时,可能会以为从集合大小的观点来看就只有唯一的一个无穷。不对,确实不对!我们一般的说法是,1和2两个例子中的集合是不等价的(non-equivalent)。而是,第二个集合是不可数的,因为它比第一个集合更大。在这里,我们遇到了康托尔理论中更能表示其特征的新东西。一个区间里的点不能用通常的方法来计数,就是不能像1, 2, 3, …那样计数。但是,既然我们已经承认了实无穷,就没有必要止步于这两个例子。当我们对1, 2, 3, …计数后,就可以把这些已经计数了的对象视为以某种次序同时存在的无穷集合。如果我们像康托尔那样,称这个集合为具有型6 为 ω 的次序。然后,我们自然地计数下去,得到 ω+1,ω+2,⋯,直到 ω+ω(即 ω⋅2)。再往下有

6准确些说是序型。——中译者注

(ω⋅2)+1, (ω⋅2)+2, (ω⋅2)+3, (ω⋅2)+ω(即(ω⋅3)),

进一步有

ω⋅2, ω⋅3, ω⋅4, ω⋅ω, ω2 +1,⋯

最后,我们就会得到下面的表:

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这就是康托尔造出了次序最靠前的第一批超穷数(transfinite number),康托尔称它们为第二类数(numbers of the second class)。我们得到它们只是简单地把计数推广到通常的可数无穷之外,这是通常有穷计数的一种自然且唯一可确定连续一致性的推广。迄今为止,我们只是计数到集合的第一个、第二个、第三个……元素,还未计数其第 ω 个、第 ω+1 个……,以至第 ωω 个元素,等等。

区得这样的一些进展后,我们就会想,用这些超穷数是否能够真正对所有那些不能用通常方法计数的集合进行计数。

在这些概念的基础上,康托尔相当成功地发展了超穷数的理论,并且发明了超穷数的完整计算。这样,由于弗雷格、戴德金和康托尔的赫拉克勒斯7 式的合作,无穷成了王者,享受到伟大胜利的荣耀。它振翅冲天,达到了令人眩目的顶峰!

7 Hercules,希腊神话中的大力神,他完成了十二项被认为不可能的业绩,包括解救普罗米修斯。——中译者注

但是,反对意见也不少。事实上,它们是以一种非常戏剧化的方式出现的,完全类似于反对无穷小量微积分的方式。数学家会沉浸在发现新的重要结果的欢乐中,完全没有注意到其推导方法的有效性问题。但是,只要应用了当时常见的定义和演绎方法,矛盾就逐渐出现了。这些矛盾,即所谓的集合论的悖论,虽然一开始只是零散的,却逐渐变得更加尖锐、更加严重了。特别是由策梅洛和罗素所发现的那个矛盾,在被整个数学界所知后,产生了彻底的灾难性后果。面对这些悖论,戴德金和弗雷格完全放弃了自己的观点,后退了。戴德金在经过长时间的犹豫以后,才允许发行自己划时代的名著《数的意义》(Was sind und was sollen die Zahlen)的新版。弗雷格则不得不在后记中承认他的著作《算术的法则》(Grundgesetze der Arithmetik)是错误的。康托尔的学说遭到各方抨击。这个反应是如此剧烈,甚至连数学中最普遍和最有成果的概念以及最简单和最重要的演绎方法都受到了威胁,对它们的使用也几乎被宣布为是不正当的。旧的秩序当然也有保护者,但是他们的保护策略太过软弱无力,而且在最紧要之处从来没有形成过统一的意见。对于这些悖论提出了太多的补救方法,也太过零乱。

诚然,当前我们遇到悖论的事态是不可容忍的。试想一下,每个人在数学中所学、所教、所用的定义和演绎方法,原本是真理和确定性的典范,现在居然会导致荒唐!如果数学的思想有缺陷,我们又要到哪里去寻求真理和确定性呢?

然而,还是有一种完全令人满意、能避免这些悖论又不背叛我们科学的办法的。下面这种态度和愿望能帮助我们找到这个办法并告诉我们走向何方:

  1. 只要有挽救的希望,我们就要细心地研究富有成果的定义和演绎方法。我们要哺育它们、强化它们、使用它们,谁也不能把我们驱逐出康托尔为我们建立的天堂8
  2. 我们必须在整个数学中建立起如同初等数论的演绎中同样的确定性,这是没有人怀疑的,而矛盾和悖论只是由于我们粗心才出现的。
    很明显,只有在我们完全阐明了无穷的本质后才能实现这些。

8 这句常被引用的话,原来人们总认为这是希尔伯特在歌颂集合论。其实讲的是,为了摆脱悖论仍要研究康托尔著作中有用的成分。实际上,希尔伯特正是在哺育、强化、使用这些成分的过程中,才得出了我们即将讨论的超穷数理论,有了有穷主义的思想和实践,而正是这些构成了康托尔为我们建立的天堂。这句话源出于此。——中译者注

我们已经看到,在现实中不论求助于什么样的经验、观察和知识,都不能找到无穷。难道所想的事物会与事物本身有这么大的区别吗?难道思考的过程与事物的真实过程如此相异吗?总之一句话,思想可以如此远离现实吗?难道还不清楚吗,我们认为在某种意义下遇到了无穷,那只是我们被现实世界中常见到的某种极大或极小的尺度诱惑所进行的思考?

难道说,实地的(material)逻辑演绎在应用于真实的事物或事件时,是在以某种方式欺骗我们,或者让我们陷入困境吗? 9 不!实地的逻辑演绎是不可少的。只是在我们做出任意抽象的定义,特别是在涉及无穷多个对象时,实地的逻辑才会欺骗我们。在这类情况下,我们不合法地使用了实地的逻辑,也就是没有充分注意有效使用实地的逻辑所必须的前提条件。在认识到有这样一些必需考虑的前提条件后,我们发现我们和一些哲学家是一致的,特别是康德。康德的学说认为,数学处理的是独立于逻辑的事物,这是康德学说一个不可或缺的部分。所以,数学绝不可能仅仅以逻辑为基础。弗雷格和戴德金以逻辑为数学基础的企图注定会失败。

9 文中,我们都把德文字“inhaltlich”翻译成了“material”或“materially”[中译文则翻译成了“实地”。——中译者注],这种译法是为了说明这与传统上讲的物质或内容与逻辑形式有别。——英译者注。

翻译说明
1. 本文的脚注主要分为:原文的注,即《论无穷》一文在 Mathematische Annalen 上发表时就有的,我们注为原注;英译者E. Putnam和Gerald J. Massey的注,我们注为英译者注;主编Paul Benacerraf和Hilary Putnam的注,我们注为编者注;中译者的注,我们注为中译者注。
2. 在翻译中,有些增加的句子成分会用方括号括起。

希尔伯特论无穷(二)

译者简介:齐民友
安徽芜湖人,生于1930年,1952年毕业于武汉大学数学系,从1952年开始依次任武汉大学数学系助教、讲师、副教授、教授、博士生导师。
社会兼职:武汉大学校长(1988~1992);中国数学会副理事长;第八届全国人大代表,教科文卫委员会委员(1993~1997)。