本文作者:应俊耀: 数学思维教育倡导者和践行者,中外数学竞赛爱好者;大学特聘兼职经济学副教授,业余译者,自由撰稿人,澳洲和英国注册会计师。(个人微信公众号:Mr.Why说数学)

enter image description here

作为一位数学老师,我每年都会购买大量新出版的图书来学习,目的是为了让自己可以及时掌握各类考试和竞赛中所出现的新题型和新题目,不至于被时代所淘汰。因此,我每年会耗费大量的时间在寻找好书上。但是,让我失望的是,在图书市场上,大部分的书都是垃圾,不仅毫无“营养”,而且还可以归为“有害垃圾”。

在当下这个快节奏社会里,大部分人似乎都只追求能快速解决问题的实用主义技术,很难沉下心来学习更为深层次的东西。放眼现在的教辅书市场,充斥着大量东拼西凑出来的“题库”和“练习册”。与此同时,为了迎合很多“速食面”爱好者的口味,很多学校或者培训班的老师也只讲“如何快速解题”或“如何提高得分率”,对基础知识的原理和架构的解释能省则省。

从一名每天追着孩子回答各种“为什么”的数学老师角度出发,我买数学教辅书不喜欢那种“题库”型的教辅材料,而更加倾向于买那些讲解知识原理的图书。正是由于这种挑剔,所以能符合我审美标准的数学教辅材料就变得非常稀缺了。

与很多学科不同,数学是一门需要不断通过解题来获得知识的课,因此学会“怎样解题”就成了数学这门课的关键所在。关于“怎样解题”这个问题,曾经有很多数学家写过专著。

这其中,最著名的当属匈牙利籍美国数学家乔治·波利亚(George Polya,1887~1985)那本畅销七十余年的经典之作《怎样解题:数学思维的新方法》(How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method)。虽然这本书讨论的是数学中发现和发明的方法和规律,但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。

enter image description here

《怎样解题》一书围绕“探索法”这一主题,采用明晰动人的散文笔法,阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头,他们在本书的指导下,学会了怎样摒弃不相干的东西,直捣问题的心脏。这本书被翻译成近二十种文字,销量超过一百万册,启发了无数人的聪明才智。波利亚还有一本书《数学的发现》,也是很经典的关于解题的专著。

enter image description here

另外,我国著名的数学竞赛教练单墫教授也写了一系列的关于解题的著作,其中包括《我怎样解题》、《解题漫谈》、《解题研究》等书。这些图书影响了几代数学竞赛爱好者和数学老师们。我个人就是单墫教授的超级粉丝,从三十年前开始读,直到如今还在读。单墫老师通过这些书,告诉大家如何通过做高质量的数学题来做到举一反三、触类旁通,以摆脱“题海”的困扰。同时,这些书也介绍了作为数学老师应该如何命题。因此,是不可多得的参考读物。

以上几本关于“怎样解题”的书各有侧重。如果按照道家的理论来说,波利亚的《怎样解题》以及《数学的发现》更多的是从“道”这个层面来阐述如何解题,而单墫老师的解题系列则更多的是从“法”和“术”的层面来阐述如何解题。我们知道,“道”侧重理论,“法”和“术”侧重方法论。有道无术,容易沦为纸上谈兵;而有术无道又容易事倍功半。因此两者缺一不可。那么有么有一本将“道、法、术”三者结合得比较好的数学解题著作呢?有!这里我要介绍一本自己很喜欢并且深受影响的关于“怎样解题”的书。

这本书是由美国著名的数学竞赛教练保罗·蔡茨(Paul Zeitz)所写,原书名叫做The Art and Craft of Problem Solving,直译过来是“解题的技巧与艺术”,人民邮电出版社图灵新知品牌引进并推出的最新中文版题为《怎样解题:数学竞赛攻关宝典》(第3版)。为什么要推荐这本书呢?

enter image description here

根据本人多年的教学经验,大部分孩子对解题总是不得要领,一个很关键的问题出在他们总是为了解题而解题,只是就题论题,很少有学生会从解题的方法论出发,提升到解题的战略和战术这个层面上去。这样做,最终势必导致跳进题海而难以自拔,事倍功半也就成了情理之中的事情了。按照此书中文第二版的译者李胜宏老师的话讲,这与数学解题能力的培养和数学奥林匹克竞赛的精神是相违背的。是的,很多人对奥数的误解就是觉得参加数学竞赛的选手都是靠刷题刷出来的。

学数学,题目当然是要刷的,但是单靠刷题有用吗?我个人认为,这个答案是否定的。刷题的功效主要是为了巩固自己学过的知识,熟悉一下各种题型,以加快考试时的解题速度。但很多同学刷题却是了背题目和答案,希望考试的时候可以通过记忆获得考试高分。这样的想法其实很天真。我曾经写过一篇文章,文章的主旨是建议“不是学霸的孩子不要刷题”。很多人可能不知道,越高水平的考试或竞赛,题目越灵活,靠背题得高分几乎是不可能的。我们众所周知的每年一度的国际数学奥林匹克竞赛,赛前由各个国家教练员们所提供的很多重题都会被删除,哪怕一百年前出现过的古董级试题,都会有人找出来告诉你这是一道旧题。

那么,既然学习数学必须刷题,有没有办法可以通过刷相对少量的好题尽快掌握解题的方法呢?我个人的经验告诉我是可以做到的。这本《怎样解题:数学竞赛攻关宝典》(第3版)就是一个很好的关于怎样解题的示范。

本人推荐此书的理由归纳起来大致有以下几点:

enter image description here

一、作者权威。该书作者本身就是一位经验丰富的数学老师和竞赛教练,这一点首先保证了该书的权威性。作者保罗·蔡茨曾代表美国首次参加国际数学奥林匹克竞赛,并多次担任国际奥林匹克竞赛美国队的教练,具有丰富的奥林匹克竞赛执教经验,对数学奥林匹克有着深刻的理解与认知。我经常和自己的学生说:人生苦短,我们读书一定要读大家之作,读经典之作。这本书就是数学大家之作的代表之一。

二、选题经典。这本书将数学的统一性贯穿始终,将理论方法与经典例题相结合。本书的例题和习题大都选自各类美国中学生数学竞赛(如AMC、AIME、USAMO、ARML),同时还有更高级别的国际数学奥林匹克竞赛(IMO),甚至有源自美国著名的大学生数学竞赛普特南(Putnam)数学竞赛。同时,书中还收录了俄罗斯和匈牙利等老牌数学强国的一些数学竞赛题,以及一些数学期刊上的趣味数学难题。这些赛题大都非常经典,而且灵活性大,趣味性和思想性较强,是很好的数学思维训练题。按照作者的话来说就是:“虽然本书花费很多的版面讲述解决问题的技巧,但我希望读者不要忘了解决问题的最高境界是要对解题充满激情,把它看作一项审美活动。打个不太恰当的比方,你可以把它看作学习即兴创作爵士钢琴曲的过程,要想创作出自己的曲子,首先需要得到别人的指导和启发,并从聆听前人创作的名曲中获得灵感。”我自己经常翻译美国的中学生数学竞赛题给学生进行训练,受益良多。大家要记住,数学题目是永远做不完的,但经典的、高质量的例题却能起到以一敌百的功效。

三、内容全面。该书虽然不是一本关于中学生数学竞赛的系统训练教材,因为一本书根本没法做到面面俱到,但这本书从解题者的角度分别讲述了代数学、组合数学、数论、几何和微积分等知识,基本上覆盖了中学生数学竞赛所涉及的主要知识点,大体上可以帮助那些试图在数学竞赛方面有所建树的学生在较短的时间内对数学竞赛的知识框架有一个大概的了解,也对那些讲授数学竞赛的教练员们有一个相对系统的知识指引。

四、高屋建瓴。本书将数学解题从纯粹的技巧性,上升到了战略和战术层面,甚至还讲到了解题所应具备的心理学知识,进而把解题提高到了“艺术”的高度。这也是这本书的重点,也是我强烈推荐的原因。本书开篇就总结解决问题的方法论,方法论也是整本书的核心内容,进而通过详细的实例阐述了具体的解题战术,如极端原理、抽屉原理等。从老师的角度出发,我们讲究“授人以鱼”,更讲究“授人以渔”。如果说例题是“鱼”的话,那么解题的战略、战术和方法论就是“渔”。我经常讲:教,最终是为了不教。如果只是让学生机械地刷题,那么学生永远都只是停留在就题论题的层面,不会举一反三,也就无法摆脱题海的束缚,事倍功半是难免的事情。要成为一名解题高手,唯有跳出题目本身,站在更加高的层面,比如战略和战术来看解题这件事。学生通过不断地训练和总结,形成属于自己的解题方法,这样才能触类旁通。

五、通俗易懂。与很多让人望而却步的数学竞赛类书籍不同,这本书没有大量看似深奥复杂的数学公式(当然不可能完全没有),更多地是采用平实的语言来对数学问题进行描述和解释。加上作者的语言风趣幽默,大大增强了此书的可读性。可以说,这是一本非常平易近人的数学竞赛辅导材料,一本将科学性和启发性完美结合的教材。这可能也是数学竞赛辅导书和解题宝典中的异类书籍。

六、参考丰富。我特别推荐读者朋友们阅读本书后面所罗列的中英文参考文献,里面有很多极为经典的数学书。有一些国内已经引进翻译出版,有些还没有。但在这个互联网及其发达的社会,我们有很多渠道可以获得这些资料。作者所罗列的每一本参考书都值得读者朋友们细细品味。

enter image description here

讲了这些推荐的理由之后,我有必要给读者朋友们一点温馨的提示,以下两类读者可能并不适合阅读本书:

一、认为一本书可以彻底改变学习成绩、成为解题高手的人。这个世界上没有万能钥匙,一个人最终能走多远,很大程度上要看实践了多少,解题是一个不断实践的过程,否则再伟大的书都是空中楼阁。但凡认为一本书就可以成为高手的,在我看来都是懒人。

二、认为题目越新越好的读者。这是一个信息爆炸的时代,作为数学习题而言,全世界每年都会出现各种新的类型和题目。你做得完么?当然不能。如果要论时效性,这本书上的例题时效性并不是特别强,但书中许多“历史著名问题”可以说大都非常之经典,具有很好的代表性和启发性。我自己曾经挑选和改编了很多书中的例题给学生训练,有些题目的思想巧妙着实让人叹为观止。

最后我想说的是,假如你想知道“解题的艺术”是怎么一回事,就读一读这本书吧!这是一本关于解题艺术的典范之作。

也许,你与解题高手之间的距离,差的可能就是这本书!

本书目录:

enter image description here

enter image description here

enter image description here

《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第3版)》已经上市: 京东:https://item.jd.com/12765284.html
当当:http://product.dangdang.com/28492307.html

更多精彩数学文章,欢迎关注Mr.Why说数学!

enter image description here