IMO 2011 P2 设 S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过 S 中单独一点 P 的一条直线 l 开始,以 P 为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到 S 中的另一点,记为点 Q 。接着这条直线以 Q 为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到 S 中的某一点,这样的过程无限持续下去。 证明:可以适当选取 S 中的一点 P ,以及过 P 的一条直线 l ,使得由此产生的“风车”将 S 中的每一点都无限多次用作旋转中心。

参考3blue1brown的视频讲解

1.边读题边画画图

2.想象一下直线l的运动过程(有动画会好理解许多)

3.规律(不完全归纳): 当直线从点集边缘开始时只能以边缘的点为轴,无法扫到内部的点 当直线位于“中间”时,可以扫到所有的点

4.尝试用数学语言解释“中间”: 平分点集,即直线l两侧的点的数量相等

5.梳理思路

当奇数个点时,从一条平分点集的直线l开始,扫描到某一个点A时,轴点O与点A共线,继续旋转,点A成为新的轴点,而原轴点O则顶替了点A原来的位置,从而使得直线l两侧的点数仍相等。当直线l与初始位置平行时,共旋转了180°,由两侧点数相等易证直线l回到了初始轴点,以为不存在三点共线,易证此时扫过了所有的点。

偶数个点时,将轴点视作某一侧的点,360°一周期