数学趣题：丢番图方程（一）-图灵社区

昨天晚上看到《怎样解题：数学竞赛攻关宝典（第2版）》第7章“数论”7.4节“丢番图方程”的如下习题：

今天早上 7:15 从家里出发，步行去上班，7:50 到达单位（其间还在单位食堂吃了早餐）。路上反正没事做，闲着也是闲着，就思考这道题，进行心算。以下是解题过程：

首先思考两变量的情况，即：。
因为是无理数， a = b 是不可能的。
心算化简：
- (a + 1)(b + 1) = 2ab
- a + b + 1 = ab
- a + 1= (a - 1)b
- b = (a + 1) / (a - 1)
很显然，(a, b) = (2, 3) 是一组解。
既然两变量的情况有解，三变量的原题也可能有解。
先固定 c = 2，得到。
再试试 c = 3，得到。
继续试 c = 4，得到。
嗯，还是 c = 3 的情况最简单。
类似地心算化简：
- 2(a + 1)(b + 1) = 3ab
- 2a + 2b + 2 = ab
- 2a + 2= (a - 2)b
- b = 2(a + 1) / (a - 2)
显然，原方程有以下解：
- (a,b,c) = (3,8,3)
- (a,b,c) = (4,5,3)
- (a,b,c) = (5,4,3)
- (a,b,c) = (8,3,3)

此时，我到达单位了。停止思考，写了下这篇文章。

在单位，继续，这次用笔算 c = 2 的情况，得到以下解：

(a,b,c) = (4,15,2)
(a,b,c) = (5,9,2)
(a,b,c) = (6,7,2)

然后，用 C 语言写了一个非常简单的程序：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
  const int n = 1000;
  for (int a = 2; a <= n; a++)
    for (int b = a; b <= n; b++)
      for (int c = b; c <= n; c++)
        if (2L*a*b*c == (a+1L)*(b+1)*(c+1))
          printf("%d,%d,%d\n", a, b, c);
}

运行结果：

2,4,15
2,5,9
2,6,7
3,3,8
3,4,5

现在我们来证明这些就是原方程的全部解。

不失一般性，假设 2 ≤ a ≤ b ≤ c，（请读者自己思考 a 为什么不能小于 2）则：