在伊恩·斯图尔特教授编写的书中,有一段关于用美国地图分析四色定理的文字。书中没有给出美国地图,因此读者可能会看得云里雾里。在这里,我配上美国地图再讨论一番,以飨读者。



这里有一幅美国地图(图1),它由50个州构成各块区域。显然,如果每个州用一种颜色,那么50种颜色一定能行,但是用的颜色可以更少。我们试着为各块区域着色,看看最少需要几种颜色。这里需要明确一个技术细节:如果州与州之间仅仅交于一点,比如科罗拉多州和亚利桑那州,那么只要你愿意,它们是允许使用相同颜色的。因为,它们是没有公共边界线的。 enter image description here 【图1】 50个州的美国地图

以美国地图为例,还可以说明一些简单的通用原则。阿拉斯加州和夏威夷州实际上没什么用,因为它们和其它州完全分开:我们可以给它们随便用什么颜色。更重要的是,我们显然需要至少3种颜色。因为犹他州、怀俄明州和科罗拉多州必须都使用不同的颜色,因为它们两两之间都有公共边界线。 我们要为这3个州选取3种颜色。只要是不同的,无所谓是什么颜色。因此如图2所示,犹他州用黑色、怀俄明州用深灰色,科罗拉多州用中灰色。 enter image description here 【图2】 为什么至少需要3种颜色。

为了论证的需要,我们假设地图的剩余部分也只用这4种颜色。那么,内布拉斯加州要用黑色的,因为它与深灰色和中灰色区域有公共边界线。这将使得南达科他州必须得用中灰色。按照这个规则继续下去,可以把蒙大拿州、爱达荷州、内华达州、俄勒冈州和加利福尼亚州都涂上颜色(图3),这些新着色区域的颜色都只有唯一的可能: enter image description here 【图3】 如果只用3种颜色会无法继续。

与亚利桑那州接壤的各州使用了中灰色、深灰色和黑色。因为到目前为止,所有颜色都是由相邻各州的颜色决定的,所以整幅地图无法只用3种颜色。因此,我们需要用到第4种颜色——也就是浅灰色——才能继续下去(图4): enter image description here 【图4】 用第4种颜色救场。

除了阿拉斯加州和夏威夷州,还有38个州需要着色,我们也有可能在某处要用到第5种,甚至是第6种颜色……谁知道呢?然而,用四种颜色改变了整个游戏。具体而言,之前分配的某些颜色是可以改变的(例如,怀俄明用浅灰色)。颜色的选择不再是必须唯一确定的,因此整个问题变得更难分析。然而,只要合理猜测,并且遇到问题时调整颜色,我们是可以继续下去的。这里提供一种着色方案,它只有3个浅灰色州:亚利桑那州、西弗吉尼亚州和纽约州。虽然这里有50个州,但我们仍然可以只用4种颜色为整幅地图完成着色(图5)。 enter image description here 【图5】 不需要第5种颜色。

(这里还有一个技术要点:密歇根州被密歇根湖隔开,变成两块不相连的州区域。虽然在这里它们都用了深灰色,但是不相连的区域有时候会需要更多颜色。这点在完整的数学理论里是需要考虑的,但是此处不太要紧。) 美国地图不算特别复杂,我们可以想象那种有几百万块区域、每块区域又都歪歪扭扭、而且到处有许多突起的地图。可能它们会需要更多种颜色。然而,考虑过那些可能性的数学家们形成了一种坚定的信念,那就是不管地图有多复杂,绝对不会需要多于4种颜色。无论地图是画在平面上还是球面上,只要是连着的区域,4种颜色就够了。