今日面试题:相差甚远

给定一个数组,我们可以找到两个不相交的、并且是连续的子数组A和B,A中的数字和为sum(A), B中的元素和为sum(B)。找到这样的A和B,满足sum(A) - sum(B)的绝对值是最大的。

例如:
[2, -1 -2, 1, -4, 2, 8]划分为A=[-1, -2, 1, -4], B=[2, 8], 最大的值为16。

Magic Index 分析:
给定一个数组A,其中有一个位置被称为Magic Index,含义是:如果i是Magic Index,则A[i] = i。假设A中的元素递增有序、且不重复,请给出方法,找到这个Magic Index。更进一步,当A中允许有重复的元素,该怎么办呢?

没有重复元素的情况

一些同学在遇到这个题目的时候,往往会觉得比较简单。扫描一遍,不就ok了么?O(n)的。很简单呀。可是,大家要注意到,还有一个条件没有用:A中的元素是有序递增的。这个条件,并不是放在这里迷惑大家的,而是有更大的作用的。这个时候,该如何想呢?O(n)不是最好的方法,更好的是什么呢?怎么利用数组有序呢?在有序的数组中查找一个满足特定元素的条件,我们通常会想到二分查找。 我们来回顾一下二分查找,对于要查找的目标t,我们首先与数组中间的元素比较,如果t大于中间的元素,则在右半部分继续查找;如果t小于中间的元素,则在左半部分,继续查找。

那么,我们的题目能够利用上述的思想呢?我们来看一个具体的例子:

0    1    2    3    4    5    6
-10    -5    1    2    4    10    12

mid=3,A[mid] = 2,即A[mid] < mid。接下来,我们应该在哪一边查找呢?我们知道数组的元素是递增有序,且不重复的,也就是说,在A[mid]左边的元素,比A[mid]都要小,没有重复,意味着什么呢?每向左移动一位,至少减1。所以,在mid左边,不可能有一个i,A[i]=i的。如果有,根据前面的分析,我们知道A[mid] - A[i] >= mid - i, 如果A[i] = i,则,A[mid] >= mid, 这与事实A[mid] < mid相悖。所以,接下来,只能在右边进行查找。代码与二分查找也很像。

有重复元素的情况

如果数组A中,有重复元素,是什么情况呢?经过前面的分析,我们知道,是否有重复的主要差别在,数组的元素从右到左进行递减,每次不一定至少是1了,有可能是0了。让我们直观的看一下影响吧。

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    9    10    12

看上面的数组,同样A[mid] < mid。我们应该继续查右边么?显然,右边并不存在Magic Index。查找右边,就会找不到这样的Magic Index。此时,应该如何处理呢?我们无法确定,Magic Index是在左边,还是在右边了。那就两边都递归进行处理吧。

在这里还有一个小技巧,我们就是要分别递归处理[0, mid - 1]和[mid + 1, end](end是数组长度-1)么?我们看一个具体的例子:

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    2    10    12

这个例子,当我们进行左半部分递归处理的时候,需要考虑的范围是[0, 3]。可实际上,我们只需要考虑[0, 2]。原因是,数组元素在mid=4的左边的值都要小于或者等于A[mid]=2,所以最大的一个有可能是Magic Index的,就是index为A[mid]的情况。所以,这时右边的边界应该是min(mid - 1, A[mid])。

那么,右边的情况呢?如下例子:

0    1    2    3    4    5    6    
-10    2    2    2    9    10    12

此时,要在右半部分进行查找,范围一般是[5, 8]。但是,由于数组有序,后面的值,一定是大于等于A[mid]=9的。所以,有可能是Magic Index的最小Index是9,也就是说右边的递归,应该是从索引为9的位置开始。此例,就意味着,无需处理右边了。

本文来自微信:待字闺中,2013-07-15发布,原创@陈利人 ,欢迎大家继续关注微信公众账号“待字闺中”。