蒙提霍尔问题(The Monty Hall problem)有可能是历史上最富争议的概率问题。问题很简单,但正确答案与人们的直觉完全不同,所以很多人难以接受。不少聪明人不仅自己弄错了,还公开为错误的结果高声辩护。

蒙提·霍尔原本是美国电视游戏节目Let's Make a Deal的主持人,蒙提霍尔问题就是源自该节目中的一个游戏。如果你是参赛者,以下是节目现场的情况。

  • 你会看到三扇关闭的门,蒙提会告诉你每扇门后的奖励:其中有一扇门后面是一辆车,而另外两扇门后面则是诸如花生酱或假指甲之类不太值钱的东西。奖品的摆放是随机的。
  • 你的目标就是要猜出哪扇门后是汽车。如果猜对,汽车就归你了。
  • 我们把你选择的门称为A门,其他两扇门分别是B门和C门。
  • 在打开你所选择的A门之前,蒙提往往会打开B门或C门扰乱你的选择。(如果汽车确实是在A门后面,那蒙提随机打开B门或C门都没有问题。)
  • 接下来,蒙提会给你一个机会:你是坚持原来的选择,还是选择另一扇未打开的门。

问题是,坚持原来的选择或选择另一扇门,会有什么不同吗?

大部分人凭直觉感觉这没有区别。因为,还剩下两扇门,所以汽车在A门后面的概率是50%。

但这就错了。实际上,坚持选择A门,获胜的机会就只有1/3;而如果选择另一扇门,获胜的机会就是2/3。接下来我会解释原因,但信不信由你。

其中的关键在于要明白,这里有三种可能的情况:汽车可能会在A门后,也可能在B门或C门后面。因为奖品是随机摆放的,所以每种情况的概率都是1/3。

如果坚持选择A门,那么就只有在一开始汽车就在A门后面的情况下才能获胜,获胜的概率是1/3。

但如果选择另一扇没打开的门,那么在B或C后面有车这两种情况下都会获胜,总体的获胜概率就是2/3。

你可能还是不信,没关系,很多人都跟你一样。Paul Erdős的一位朋友跟他解释这种情况时,他回答:“不对,这绝不可能,两者没有区别。”〔1〕

〔1〕参见Hoffman的The Man Who Loved Only Numbers一书的83页。

穷尽各种解释都不能说服他。最终,只能用计算机模拟让他接受这个结果。