以下四个命题成立吗?

  • 1024 > 24!
  • 1025 > 25!
  • 1027! > 1027!
  • 1028! > 1028!

根据《具体数学》式(9.91),我们有以下斯特林近似公式

因此:

  • 1024 > 24!,因为:log1024! ≈ 23.8
  • 1025 < 25!,因为:log1025! ≈ 25.2
  • 1027! < 1027!,因为:log10log101027! ≈ 28.0,log10log101027! ≈ 28.4
  • 1028! > 1028!,因为:log10log101028! ≈ 29.5,log10log101028! ≈ 29.4

也就是说,对于正整数 b 和大于 1 的实数 a,当 n 是充分大的整数时:

  • an < n!
  • an! > bn!

参考资料

  1. Wikipedia: Stirling's approximation