《概率论及其应用（卷1·第3版）》-图灵社区

《概率论及其应用（卷1·第3版）》

空军发表于 2014-11-29 19:14 2055 阅读

《概率论及其应用（卷1·第3版）》131页习题33，证明：

$\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}{\ge}b(k;n,p)\ge\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.$

证明： 先看113页 6.2节二项分布 的一个定理：

定理令 $b(k;n,p)$ 是具有成功概率为 $p$ ，失败概率为 $q=1-p$ 的 $n$ 次伯努利试验中，有 $k$ 次成功， $n-k$ 次失败的概率，则

$b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}.$

117页 6.5节泊松逼近 (5.1)式： $\lambda=np$ ，于是 $p=\frac{\lambda}{n}$ ，从而我们有（注意到 $q=1-p$ ）：

$b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$

$=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

$=\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

$=\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

$=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

$=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k},$

当 $n\,{\ge}\,i\,{\ge}\,n-k+1$ 时，我们有：

$1=\frac{n}{n}\ge\frac{i}{n}>\frac{n-k}{n}=1-\frac{k}{n},$

因此：

$1\ge\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}>\left(1-\frac{k}{n}\right)^k,$

代入即可。

以上论证假设 $k>0$ ，直接验证易知 $k=0$ 时原题成立。

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