问题

《普林斯顿数学指南(第一卷)》“III.1 选择公理”一开始就提出一个问题:

考虑以下问题:容易找到两个无理数 a, b 使 a + b 为有理数,或者使 ab 为有理数(在这两个情况都可以取 ),但是能否使得 ab 也是有理数?

这是个很有趣的问题,请读者先思考一下。

基础知识

我们先看一张图:

  • 有理数:一个整数和一个非零整数之比。上图中绿色部分。
  • 无理数:不是有理数的实数。上图中实数范围内的灰色部分和黄色部分。
  • 实数:有理数和无理数的总称。实数可以直观地看作小数(有限或无限的)。几乎所有的实数都是无理数。
  • 代数数:任何整系数多项式方程的复根。实代数数包括全体有理数和部分无理数。上图中灰色部分和绿色部分。
  • 超越数:不是代数数的复数。实超越数一定是无理数。上图中的黄色部分。
  • 复数:为实数的延伸,它使任一多项式方程都有根。几乎所有的复数都是超越数。几乎所有的复数都不是实数。

解答

回到我们的问题:

是的。下面是一个优美的回答:令 。如果 x 已是一个有理数,则得到所需的例子:enter image description here就可以了。但是,如果 x 不是有理数,而是无理数,则令 ,而 ,则 ,就又得到了一个例子。

现在的这个论证肯定已经确定了有这样的可能,即 a 和 b 都是无理数,而 ab 是有理数。然而这个证明有一个非常有趣的特点:它是非构造性的,就是说,它并没有明确指出哪两个无理数能行。相反,它告诉我们或者令 ,或者令 ,总有一个情况能行。它不仅没有告诉我们起作用的究竟是哪一种情况,甚至一点线索都没有给我们。

《普林斯顿数学指南(第一卷)》“III.41 无理数和超越数”中给出以下定理:

Gelfond-Schneider 定理:如果 α ≠ 0, 1 是一个代数数,而 β 是一个代数数而非有理数,则 αβ 是一个超越数。

因此, 是一个超越数,也是一个无理数。所以上面的问题是后一种情况能行。

第二种解答

现在,我们令 ,则:

这两种情况中刚好有一种能够解答我们的问题。哪一种能行呢?

选择公理

回到书中的选择公理

选择公理是从一些集合做出其他集合的几个规则之一。这种规则的两个典型例子是下面的命题:对于任意的集合 A,可以作出其一切子集合的集合,称为 A 的幂集,还有对于任意的集合 A 和任意的性质 p,可以作出 A 中所有具有性质 p 的元素的集合(这两条规则分别叫做幂集公理概括公理)。粗略地说,选择公理说的就是允许我们在作出一个新集合的时候作任意多次未加特别说明的选择。