从前的数学故事

从前的数学故事

三次“抽象运动”的硕果:算术、几何和代数

长久以来,人类在不知不觉中掌握了各种数学概念。在旧石器时代初期,直立人就打造出了双面的手斧石器。直立人能做到这一点,正是因为他们已经将“对称轴”概念化了。当然,他们是无意识的,但直立人工匠必须在第一次击中石料之前,就预先设想好一个石料最终的形状会是什么样子。

然而,人类是从什么时候开始想要计算的呢?这很难说。但无论如何,如果想要计算就必须要有数字。那么,人类是从什么时候开始产生了计数的需求呢?

或许,是从智人决定在位于两河流域的美索不达米亚地区定居下来的那一刻起。农业和畜牧业的发展逐渐衍生出类似“收成”或“(牛、羊或家禽)群”的概念,于是,人们需要一种衡量“收成”或“群”的量的方法。那么,在将羊群托付给远去放牧数月的牧羊人之前,羊群的主人该如何记住羊的数量呢?

这时,石子成了计算和用于记忆的工具。人们把与羊的数量相等的石子放入一个罐子里。这将成为羊群主人与牧羊人在数月之后商榷后者薪酬的基础……

第一次抽象运动

有一天,有人萌生了在装石子的罐子上铭刻符号的想法,这样一来,人们不必打开罐子,也可以记住罐子里有多少石子了。也就是说,人们在罐子外面画上与罐子里的石子同样数量的羊。文字的概念即将出现……此外,还有另一个更具革命性的想法:将数字从其具体应用中分离出来!

有一天,有人在描述饲养在棚中的家禽的总数时,不再画出 7 次小鸡或鸭子的符号,而是创造了一种意思为数量“7”的符号,并把它加在需要被计数的动物图案后面。

人类思想史上这一伟大的时刻可以被视为数学诞生的日子。从此以后,数字不再是人类家中小牛犊、母牛、猪或者小雏鸡的一部分。数字被分离了出来,从被计算的假想对象中解放了出来。数字变成了抽象的事物。无论是计算树木、人数或者日子,方法都是一样的。正如伯特兰·罗素指出的那样,他花了很长时间让人们意识到,在两个农民和两天之间有着一些共同之处!

此时,人类距离计算仍然很远,甚至距离数字的定义更远,但是至此,我们已经有了数学诞生的佐证。

这对人类社会生活的影响是巨大的,特别是由此产生了一个十分重要的结果。事实上,为了使用数字,人们首先必须能将数字书写出来。口头传统 1 让人们不需要规定什么是字母“l”“f”或“r”,就可以谈论花朵或者下雨。这些概念可以轻易地通过脑海中的印象被理解,并找到对应的匹配物。然而,当有人告诉你 6234,这该怎么办呢?在你的脑海里,不会有什么确切的东西出现。在没有书写方法的情况下,一旦一个数字有点过大了,就无法引起人们的心智表征了 2

1口头传统指的是用口述或歌唱的方式传播如民间传说、史诗、歌谣等文化和传统,从而一代代地传递信息和本民族的历史。这种方式不依赖于文字。

2人的心智常常对物体、事件和环境产生意象,比如,即使你没有真的用感官感觉到,也能回想起见过的某个人、闻过的某种味道、去过的某个地点及其相关特点等,这种意象就是心智表征,它是外在现实和知识在人们心智中的反映。

事情的反转相当令人吃惊。文字在日常交流中是非常有用的,因为它能够记录、保留口语的内容。但是,当涉及数字的时候,文字就需要塑造口语的内容。在数字能够被书写之前,用来描述大数字的词语是不存在的。

然而,词语无法适用于所有情况,一旦数量变得非常大,就必须发明新的符号。这就是美索不达米亚人处理“大数量”的方法。美索不达米亚人创造了新的符号,用来指定 10、60、600、3600 或 36 000 个元素的集合。至此,我们闻到了十进制的气息,而下一个伟大的想法很快就会应运而生:按照位置顺序编排数字,而一个数字的值取决于它在数中的位置。

到了这一步,人们仍然没有到达计算的层面,但现在有条件考虑一下这个问题了。数字工具是如此之强大,以至于人们将其归于超自然属性,甚至归于魔法。人类从一个极端走到了另一个极端。对于第一代智人来说,数字是不存在的,然而对于毕达哥拉斯来说,“万物皆数”。据说,毕达哥拉斯拨动不同长度的琴弦,比较它们产生的声音,由此得出了上述结论 3

3毕达哥斯拉发现了琴弦定律,即在给定张力的作用下,一根弦发出的音的频率与弦的长度成反比,而且音程之比越简单,和声越和谐。在发现了声音与弦长之间的数学关系后,毕达哥拉斯将数学应用在了调音等技术上,让音乐成为一门建立在数学和科学基础之上的艺术,在音乐理论方面做出了巨大贡献。

第二次抽象运动

数学史上的第二次革命出现在几何学领域。语源学家说得好:物体是地球的度量单位,而在当年,地球首先是古埃及人的。几何学既适用于大尺度范围——古埃及人计算出的地球周长与现代结论之间的误差小于 2%,也适用于小尺度范围,因为它也可以用来将一张莎草纸 4 分成三等份。

4莎草纸是古埃及人用于书写的纸张,由当年盛产于尼罗河三角洲的纸莎草的茎制成。

欧几里得让几何学变得制度化,他撰写的《几何原本》被公认为是历史上第一部科学理论典籍,全书共分为 8 卷,融汇了两种传统研究方法:一种是古埃及人的注重“实际用途”的研究方法,而另一种是更倾向于理论化的方法。后面这种方法诞生于古希腊,它为证明的思路提出了规则。

尽管欧几里得让几何学的证明变得更加系统化,但他并不是第一个提出证明方法的人。在 400 年前,人们认为古希腊数学家泰勒斯是率先提出几何定理的人,比如他提出,两条直线被一组平行线截断,截得的对应线段的长度成比例 5。泰勒斯曾住在米利都(如今的土耳其),从某种程度上来说,他对几何图形做的事和美索不达米亚人对数字做的事一样——泰勒斯把几何图形从具体物体上分离了出来。月亮,一个盘子,被绑在绳子末端不断旋转甩动的石子的运动路径,这三者之间有什么共同点吗?圆的概念就来源于此。圆的属性不再取决于所讨论的物体对象。

5这就是平行线分线段成比例定理。

然而,这种抽象的思维方式只有在伴随着具体测量时才有用途。比如,泰勒斯就是利用了相似三角形定理,才计算出了胡夫金字塔的高度。在太阳的照射下,当一根木棍的影子与其高度相等时,此时测量金字塔形成的阴影的长度,就能得到金字塔本身的高度。

米利都的泰勒斯造就了几何学,他勇敢地抛开了一切实际物体,直接谈论起直线或三角形,他更倾向于概括性的陈述。此外,泰勒斯对几何学的热爱最终让他自己完全脱离了数学——他被认为是世界上第一个提出关于永恒与变化问题的哲学家。

柏拉图始终奉行毕达哥拉斯学派的传统研究方法,他几乎要大胆断言:“一切皆几何。”他证明仅存在 5 种多面体,其所有面的形状都相同:各面都是正三角形的金字塔、正方体和其他三种多面体。直到 1800 年后,在柏拉图强大的影响力之下,开普勒坚持认为在自己设想出的太阳系中,行星的运行轨道必须与这些多面体成比例。

第三次抽象运动

随着阿拉伯数学理念的到来,西方数学将面临第三次冲击。除了数字“零”之外,阿拉伯数学家们还带来了一些极富创意的概念,例如“未知数”,这个概念会被不朽的字母 x 代表。阿尔·花拉子米提出的理论将激起一场革命。他把解决问题的方法与问题本身分开,并对已脱离了问题本身的解题方式进行单独处理。花拉子米把数学推理放入方程式中,就这样,在算术和几何之后开创了第三大课题——代数。

在花拉子米的启迪下,无论是计算浴缸排水时间、两个车队的相遇时间,或是还清贷款的时间,其计算方法变得完全一样了。显然,代数成了不会限制研究对象的概念化工具。

随着时间的流逝,数学家们的抽象思维能力与日俱增。达朗贝尔与他的哲学家同事狄德罗共同编撰了《百科全书》,并提出了一个“波动方程”,在吉他琴弦的振动中,在潮汐现象中,甚至在今天的烤箱中,我们都会发现波动方程的身影。

在穿越历史的河流到达河岸的另一边之前,我想谈一谈贯穿各个时代的一个大问题:数学到底是被发现的,还是被发明的?

毕达哥拉斯曾被数学震惊:数字仿佛既存在于世界之中,又存在于世界之外。一年通常有 365 天,然而 365 是 10^2+11^2+12^2 这三个平方数之和,同时还是 13^2+14^2 这两个平方数之和。这不可能是一个偶然吧……

许多世纪之后,爱因斯坦仍然被数学震惊:人类创造的、独立于所有经验的数学,它是否可以很好地描述物理世界?

现在,我们来看两个简单的问题。

(1) 当我们看到 12 朵玫瑰的时候,我们涂染玫瑰色的经验是否与使用数字 12 的经验属于同一类型?

(2) 数字 1 000 000 000 在现实中通常是难以企及的,在地球上出现生命之前,这个数字存在吗?

如果你对第一个问题的回答是“否”,而对第二个问题的回答是“是”,那说明你赋予了数字一个特殊属性,即数字本身就是存在的。这样一来,数学就是被“发现”的。现在看来,这种柏拉图式的观点恐怕是大多数人的观点。对于持这种观点的人来说,数学具有一种与绘画或音乐等人类其他表达方式不同的性质。

但是,一些生物学家或认知主义者始终捍卫另一种观点。对于他们来说,数学是被“发明”的,而且数学仅是一种语言。几百万年来,人类观察自己的双手和双脚,这个行为让从“一”到“十”的数字慢慢出现,以此类推,人类又发明了其他数。但是,连把 4 和 3 相加都不会的四岁小孩们却能把自己的母语说得几乎没有任何错误,这又该如何解释?又是从什么时候开始,数学真理变成了真理?

数学到底是被发现的,还是被发明的?这是一个关键问题。因为,假如说数学是被发现的,这就如同承认了上帝以自己的形象创造了人,而另一种观点则于此恰恰相反!

因此,数学是被发现的,还是被发明,这个问题不再是一个数学问题……

目录

  • 封面插图
  • 版权声明
  • 献词
  • 前言
  • 第一部分 莱布尼茨之梦
  • 从前的数学故事
  • 最美的逻辑故事
  • 有缘无分,只因意气不相投
  • 插曲一 数学的乐趣
  • 第二部分 三座丰碑
  • 托马斯·贝叶斯,真正的互联网巨星
  • 香农证明,如何计算1 + 1
  • 诺伯特·维纳与控制论
  • 插曲 逻辑学的乐趣
  • 第三部分 自动化理性批判
  • 连接互联网,却脱离现实
  • 算法“布鲁斯”
  • 诺查丹玛斯与大数据
  • 全球化管理的重要性
  • 死亡电脑社
  • 人工智能:许多问题之一
  • 后记
  • 附录
  • 答案
  • 参考文献