第 1 章 镜子的独白

第 1 章 镜子的独白

“镜子呀镜子,在这世上谁最美?”

“女王陛下,在这世上您最美。”

女王很满意这个回答,因为这面镜子从不说谎。

——《白雪公主》

 

1.1 谁是老实人

1.1.1 镜子呀镜子

“哥哥,你知道《白雪公主》的故事吧?”尤里说。

“当然了,那个寻找掉了水晶鞋的公主的故事。”我答道。

“那是《灰姑娘》!哪是《白雪公主》啊!哼,真是的……”

“是吗?”我装傻。

“别装傻嘛~”尤里说完就笑了。

这里是我的房间,现在正值一月。新年假期马上就要结束了,开学以后还有个摸底考试。可是不知为何,房间里的气氛却很是悠闲。

尤里上初二,我上高二,她管我叫“哥哥”。不过,尤里不是我的亲妹妹。她的妈妈和我的妈妈是姐妹。换句话说,她是我的表妹。尤里从小就管我叫“哥哥”,现在也还这么叫我。

我的房间里有很多尤里喜欢的书。她住在我家附近,一放假就会过来玩。我学习的时候,尤里就在一旁悠然自得地看书。

尤里开了口:

“白雪公主的那个坏妈妈,是不是只要一对着镜子,就会这么问:镜子呀镜子,在这世上谁最美?”

“嗯,那个镜子就相当于‘美人测定仪’吧。”我回答。

“她是认为自己漂亮才那么问的吧。可是人家一照镜子就忍不住叹气,头发颜色这样,还分叉得厉害。”

尤里说着,开始拨弄她栗色的马尾辫。

我重新审视尤里。尤里觉得自己很差,但我却不那么觉得。她的表情总是千变万化,让人移不开眼,给人一种看到爆米花正在迸裂时的感觉。她的脑子也转得快,跟她说话从没感到无聊过。

“啊 —— 好想染头发啊 —— 好想变漂亮啊——”“没有没有,尤里。”我说。

尤里停下正在拨弄发梢的手,看向我。

“什么‘没有没有’啊?”

“就是说……尤里你这样也……嗯,足够……”

“足够?”

“就是说……”

“孩子们!吃百吉饼吗?”我妈在厨房喊道。

“吃 —— !”

她大声回答道,刚刚还一本正经的表情忽然来了个大逆转。

尤里站起身就来拽我。她穿着牛仔裤,身材非常纤细,没想到却这么有力气。

“快点儿啦,哥哥,我们赶紧去吃点心!”

1.1.2 谁是老实人

用餐。

“这本书有意思吗?”

尤里哗啦哗啦地翻着茶几上放着的数学谜题集。

“不知道,我还没看。放假前跟学校借的。”

“诶?高中图书室里还有这种书呐……哥哥,这道题你会吗?它问‘A1~A5 这 5 个人里谁是老实人’。”

谁是老实人

A1:“这里有 1 个人在说谎。”

A2:“这里有 2 个人在说谎。”

A3:“这里有 3 个人在说谎。”

A4:“这里有 4 个人在说谎。”

A5:“这里有 5 个人在说谎。

“来,选你们喜欢的口味。”我妈端着盛有百吉饼的盘子过来了,“这边是原味的,这边是核桃味的,这边是罗勒味的。”

“这个是什么味的?”尤里问道。

“那个是洋葱味的。”

“那我要吃这个。”

“你要吃哪个?”我妈把盘子递向我这边。热气散发了出来,闻起来很是香甜。

“哪个都行。—— 我说尤里,这个问题……”

“不行!好好选!”我妈边说边把盘子推到了我面前。

“那我要原味的。”

“我推荐你吃核桃味的。”

“呃……那就核桃味的吧。”

我拿了核桃味的百吉饼后,我妈就心满意足地回了厨房。——这不还是她帮我选的么。

“尤里,刚才你那个问题,是‘老实人总是在说真话’的那个么?”

“对对,骗子总是在说谎。A1~A5 这些人不是老实人就是骗子。”

“那就简单了。A4 是老实人,其他 4 个人是骗子。”

“嘁,真没意思喵……哥哥你一下子就明白了。”

我这个表妹有时候会在话里掺上猫语。没办法,毕竟是个小孩子……

“这个问题,如果用老实人的人数来分情况讨论,马上就能得出答案。”我说,“老实人可能有 0~5 个人。首先,老实人不可能是 0 个人,也就是说不可能 5 个人都是骗子。因为 A5 说了‘这里有 5 个人在说谎’,也就是说,如果 A5 说的是真的,那么 A5 就是老实人。但是这样一来,A5 所说的‘有 5 个人在说谎’就不成立了,这样于理不合。”

“嗯,嗯。”尤里附和道。

“下面考虑有 1 个老实人,也就是有 4 个骗子的情况。这种情况下,因为只有 A4 说的是对的,所以只有 A4 是老实人,剩下的 4 个人都是骗子。这样就合乎情理了。”

“确实呢。”尤里看上去很高兴。

“下面考虑有 2 个老实人,也就是有 3 个骗子的情况。这种情况下,只有 A3 说的是对的,但是从 A3 的话推断应该‘有 3 个人在说谎’,而事实却是‘有 4 个人在说谎’,这样说不通。有 3 个、4 个、5 个老实人的情况也同样不合乎情理。最后,就只有‘A4 是老实人’这一种情况成立—— 真有意思啊。”

“哪里有意思?”

“这里没有把人名设成 A, B, C, D, E,而是设成了 A1, A2, A3, A4, A5 这样的编号。”

“喔……”

“我来出个一般化 1 的问题。比如,下面这个你明白吗?”我问道。

1一般化是数学中带有普遍性的一种思想方法,指的是从考虑一个对象或较少对象的集合过渡到考虑包含已给对象的更大集合的一种思想方法。—— 译者注

谁是老实人?(一般化)

B1:“这里有 1 个人在说谎。”

B2:“这里有 2 个人在说谎。”

B3:“这里有 3 个人在说谎。”

B4:“这里有 4 个人在说谎。”

B5:“这里有 5 个人在说谎。”

……

Bn-1:“这里有(n - 1)个人在说谎。”

Bn:“这里有 n 个人在说谎。”

“这个 n 是什么?”尤里边嚼着百吉饼边问。

“嗯,这个问题问得好。字母 n 是某个自然数。”

“人家不明白呢。就给出了 n……难不成要从无限个人里找?”

“不是无限的哦。因为已经给出了 n 这个数,所以只有 B1, B2, ... , Bnn 个人,人数不可能是无限的。”

“这样啊,原来不是无限的呀。”

“可以用跟刚才 5 个人时一样的思路来思考这个问题。”

“嗯?啊!我知道了,Bn-1 是老实人。”

“没错,你很聪明嘛!”

“哦呵呵,很简单啊。因为老实人是 1 个,所以骗子就是(n - 1)个嘛。”尤里俏皮地说。

“这里用 n 这个字母把问题一般化了,也就是‘通过导入字母把问题一般化’,明白吗?”

“就是说 n 是几都无所谓?”

“对,n 只要是 1, 2, 3, ... 这些自然数中的任意一个就行。”

“唔,这不对劲,很奇怪啊。”尤里说,“当 n = 1 的时候,就没有老实人了!”

谁是老实人?(当 n = 1 时)

C1:“这里有 1 个人在说谎。”

“嗯?这种情况下答案就是‘没有老实人’啊。”我回答道。

“诶?太奇怪了!那么 C1 是老实人?还是说他是骗子?”

“是骗子吧。”

“那样的话,就有 1 个骗子啊,骗子就是 C1 本人。这样一来骗子就说了真话啦!”

“啊,是啊。但是 C1 也不是老实人,明明只有他自己,他还说‘这里有 1 个人在说谎’,这样的话,C1 这个老实人就把自己整成了骗子……嗯,这样问题就不成立了呢。”

“问题……不成立?”

“嗯,不成立。因为‘不是老实人就是骗子’这个前提条件很奇怪。所以当 n = 1 时,这个问题就不成立了。”

“就是说,没法判断 C1 属于哪一方?”

“嗯,我们没法判断 C1 是老实人还是骗子。话说回来,尤里你脑子转得真快啊。”

“喵哈哈,可是判断不了,感觉好讨厌啊。人家想‘咻’地一下把问题解开喵。”

“确实很讨厌啊。”

“我知道了,是‘出题人’在说谎!”

“这都哪儿跟哪儿呀……”

1.1.3 相同的回答

我想了一个新的谜题。

“尤里,你觉得这种谜题怎么样?”

使答案相同的问题是?

请想出这样的问题:假设回答的人不是老实人就是骗子,而且不管是老实人还是骗子,答案都是相同的。但是,回答的人只能用“是”或“否”来作答。

“不明白什么意思。‘答案都是相同的’是什么意思?”

“意思是,老实人的答案和骗子的答案相同。如果老实人回答‘是’,那么骗子也要回答‘是’。如果老实人回答‘否’,那么骗子也要回答‘否’……就是这种问题。”

“有这种问题吗?”

尤里一脸认真,开始思考。我喜欢她思考的神情,虽说她也有时候会直接放弃,表示“不知道”……

“如何?尤里,明白没?”

“很简单啊,这么问就好了:你是不是老实人?”

“对对,很棒很棒。”

“如果是老实人,那他就会老实回答‘是’;如果是骗子,那他就会说谎,回答‘是’。不管是老实人还是骗子,都会回答‘是’。”

“没错。老实人的‘是’是真话,骗子的‘是’是假话。像我这么问也可以:你是不是骗子?”

“嗯,这次老实人和骗子都会回答‘不是’了呢。”

“久等了。”我妈又拿来了饮料,“来,喝杯可可吧。”

“唔……我喜欢咖啡。”我说,“不过可可也行。”

“我喜欢阿姨冲的可可。”尤里说。

“尤里真乖。”我妈夸道。

“话说,哥哥,‘老实人和骗子’这个角色设定很了不起啊。因为老实人只说真话,只要开口就说的是真话。太厉害了。”

“是啊。尤里,骗子和老实人拥有一样的能力,这你明白吗?”

“诶?什么意思?”尤里看着我。

“骗子一定会说谎话,对吧?这样的话,骗子想当老实人,就必须在一定程度上了解真相,要不然就可能会一不小心把真相说了出来。”

“噢,确实!要是‘一不小心把真相说了出来’就有意思了喵。”

“就算一不小心犯错了,也不能骗人哦,你们俩。”我妈说道。

1.1.4 回答是沉默

“啊,人家也想到了一个新的谜题。刚才我们想的是老实人和骗子要作相同回答的问题,对吧?那么下面这个问题……当然,这个问题也只能用‘是’或‘否’来回答哦。”

让人无法回答的问题是?

什么问题骗子能够回答,但老实人无法回答?

“嗯,这样的啊……”我一边说一边思考着。“提一个不知道答案的问题就行了吧,比如说——‘孪生质数是不是无限多’?”

“孪生质数是什么?”

“差为 2 的两个质数构成的组合,例如 3 和 5,5 和 7,等等。关于是不是有无限多,还没人知道。”

“这话有点不对吧。关于‘孪生质数是不是无限多’,只是现在还没人知道而已,说不定什么时候就会有人知道的。而且,遇到‘孪生质数是不是无限多’这种问题,就连骗子也会沉默吧。不知道真相的话,骗子就没法撒谎了呀。”

“确实如此。”

“哥哥,人家想了个这样的问题:这个问题,你会回答‘否’吗?”

“有意思!尤里,这个很有意思!由老实人回答时……如果答了‘是’,那么因为他没有答‘否’,所以就说明他在撒谎;如果答了‘否’,那么因为他答了‘否’,所以他还在撒谎。好绕啊。老实人不会说谎,所以不能回答‘是’,也不能回答‘否’……”

“对吧。骗子只要回答‘是’就好了,因为这个‘是’是谎话,所以没有关系。”

“骗子回答‘否’也没有关系啊,因为这个‘否’也是谎话。”

“好绕啊……”尤里笑了。

“确实。”我也笑了。看来老实人只能用“沉默”来回答了。

1.2 逻辑谜题

1.2.1 爱丽丝、博丽丝和克丽丝

“这个问题太有意思了!”

尤里“哗啦哗啦”翻着数学谜题集,笑出了声。

三个人的装束

爱丽丝、博丽丝、克丽丝三个人都分别戴着帽子和手表,穿着上衣。帽子、手表、上衣各有红、绿、黄三种颜色,而且同一样物品没有颜色相同的。此外,三个人身上的这三件物品颜色各不相同。请基于下列条件,猜一猜这三个人身上的三件物品的颜色。

  • 爱丽丝的手表是黄色。
  • 博丽丝的手表不是绿色。
  • 克丽丝的帽子是黄色。

“呃……有这么有意思吗?”我说。

“你想想她们三个人的打扮嘛,这三人组看起来该多招眼呀!”

“确实……话说你知道答案了吗?”

“感觉好麻烦。算了,下一题。”

“这哪行啊,这时候应该‘用表格来想’。”

“用表格来想?”

1.2.2 用表格来想

“我们来画一个表示三人各自装束的表格。首先,写下题中条件。”

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写下题中条件

尤里拿出她那副树脂边框的眼镜戴上之后,看向表格。

“你把已知条件都写下来了呀。”

“嗯。整理复杂的问题时,不要在脑海里凭空想象,要用表格来想。这样博丽丝的手表颜色就一目了然了。首先,不是绿色。然后,因为不能跟爱丽丝的手表颜色一样,所以也不是黄色。那么剩下的就只有红色了。”

“原来如此。”

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已知博丽丝的手表颜色

“那么接下来,如果认真看看表格,也就能知道博丽丝的上衣颜色。”

“……没错。是黄色吧?”

“对对。能解释一下为什么吗?”

“我一眼看上去就想到‘博丽丝的上衣是黄色吧’。”

“可是,为什么呢?”

“因为黄色已经被用了 —— 你看,爱丽丝的手表是黄色,克丽丝的帽子也是黄色。也就是说,爱丽丝的上衣和克丽丝的上衣不能是黄色。这样一来,上衣能是黄色的就只有博丽丝了。”

“解释得很好。”

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爱丽丝的上衣和克丽丝的上衣不能是黄色

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已知博丽丝的上衣颜色

“克丽丝的手表颜色也就马上明白了。”我说。

“嗯。爱丽丝的手表是黄色,博丽丝的手表是红色,所以剩下的能用在手表上的颜色只有绿色!”

“就是这样。”

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已知克丽丝的手表颜色

“啊,哥哥!这样一来,克丽丝的上衣颜色也能确定。横着看克丽丝这边……既不能是帽子的颜色,又不能是手表的颜色,那就是红色了。克丽丝的上衣是红色。真是太俗气了!”

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已知克丽丝的上衣颜色

“下面这一步就需要想一下了。”

“……我知道!爱丽丝的帽子。你看嘛,博丽丝的手表是红色,克丽丝的上衣也是红色。也就是说,爱丽丝的手表和上衣都不能用红色,所以只能让爱丽丝的帽子用红色!”

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已知爱丽丝的帽子颜色

“剩下的……”

“别说别说!剩下的都让人家来!……首先,是爱丽丝的上衣。”

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已知爱丽丝的上衣颜色

“最后,是博丽丝的帽子……”

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已知博丽丝的帽子颜色

“这样就搞定了。”

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所有的颜色都定了

“好,填得很好。”我说。

1.2.3 出题者的心思

“太简单了,真没意思呀。”尤里说。

“刚刚你还说麻烦呢。一旦去体会出题者的心思,就会很有意思哦。”

“什么意思?”

“你看,这个问题给出了三个条件对吧?这些条件,不多也不少。”

  • 爱丽丝的手表是黄色。
  • 博丽丝的手表不是绿色。
  • 克丽丝的帽子是黄色。

“哥哥你说什么呢?人家不明白。”

“我是说,条件要是比这些多,就太简单了,没有意思;但是,要是比这些少,就解不开了。”

“喔,出题者的心思呀……唔,会么?条件少了也能解开的呀!比如说,假设没有‘克丽丝的帽子是黄色’这个条件,只有下面这两个条件,嗯……就有下面这两个答案。”

  • 爱丽丝的手表是黄色。
  • 博丽丝的手表不是绿色。

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没有“克丽丝的帽子是黄色”这个条件时的答案

“嗯。说‘解不开’是我搞错了,尤里。我应该说答案不只有一个。就是说,不止有一种思路。”

“哥哥你思考时总会去体会出题者的心思吗?”

“对啊,解题很有意思,出题也很有意思呀。所以我总会想,如果换成自己来出题,会怎么出呢……思考怎么出题这件事儿非常有意思。”

“就是说‘如何出有意思的题’是个有意思的题呗!”

1.3 帽子是什么颜色

1.3.1 不知道

“啊,我又发现了一个好像很有意思的问题。”尤里翻开了谜题集。

帽子是什么颜色?

主持人让A、B、C(您)3 个人入座。

主持人:“现在我要给各位戴上帽子。帽子总共有 5 顶,要戴的是其中 3 顶。5 顶帽子中有 3 顶是红色,2 顶是白色。大家看不到自己帽子的颜色,但可以看到其他人帽子的颜色。”

主持人给 3 个人戴上帽子,并把剩下的 2 顶帽子藏了起来。

主持人:“A 先生,您的帽子是什么颜色?”

参与者 A:“…… 不知道。”

主持人:“B 先生,您的帽子是什么颜色?”

参与者 B:“…… 不知道。” 

您是C,能看见 A 和 B 的帽子,2 顶帽子都是红色的。

主持人:“C 先生,您的帽子是什么颜色?”

参与者 C:“……” 

那么,C 先生,您的帽子是什么颜色?

“这场景真不可思议呀。”尤里说。

“确实。”

想象一下那个场面:我是 C,能看见 A 和 B 的帽子,2 顶都是红色。因为红色有 3 顶,所以我的帽子可能是剩下的那 1 顶红色,或者也有可能是白色。没那么容易就能知道?不,A 和 B 都说“不知道”自己的颜色。这也是提示。

“哥哥,你知道了?”尤里问我。

“我在想。”

一方面,A 能看见 B 和 C。既然 A 说了“不知道”,那么 B 和 C 就不会“都是白色”。

如果 B 和 C 都是白色,那么 A 就会知道自己是红色。因为 B 和 C 并非“都是白色”,所以 B 和 C 中“至少有 1 人是红色”。

另一方面,B 能看见 A 和 C。因为 B 也是这么想的,所以 A 和 C 中“至少有 1 人是红色”。唔……不好办。这问题也太难了吧?

“诶?哥哥,你还在想吗?”尤里一脸坏笑。

“诶?尤里你……解完了?”

“没想到这么简单,喵~”尤里得意洋洋。

好吧,那么我们来仔细分情况考虑。C 的帽子要么是白色,要么是红色。

假设 C 是白色,那么——

  • A 能看到 B(红色)和 C(白色)。A 确实不知道自己的颜色。
  • B 能看到 A(红色)和 C(白色)。嗯……

原来如此,A 说的那句“不知道”对 B 来说就成了提示了!

那么 B 应该会像下面这样想。

假设 C 是白色,那么 B 的想法是——

  • A 能看见 B(颜色不确定)和 C(白色)。
  • A 回答说“不知道”。
  • 因为 A 不知道,所以 B 和 C“至少有 1 人是红色”。
  • 因为 C 是白色,所以 B 是红色!

B 如果这么想,那么就会回答“我是红色”吧。

然而——

  • 然而现实是,B 回答说“不知道”。
  • 也就是说,C 是白色这个假设是错的。
  • 因为 C 是白色或红色,所以 C 如果不是白色,那么就是红色。
  • 也就是说,C 的帽子是红色!

“我知道了,C 的帽子是红色吧。”

“答对啦~”尤里回答。

1.3.2 对出题者的验证

我刚解释完我的思路,尤里就皱起了眉。

“话说,哥哥你刚才考虑的是‘假设 C 是白色’的情况,那么‘假设 C 是红色’的情况呢?不考虑也可以吗?”

“问得好。”我回应道,“不过,要解这道题,不用考虑也行。因为从问题中可以推导出‘C 是白色或红色’这个条件。”

“那个,人家考虑到了‘出题者在说谎的情况’。”

“什么意思啊?”

“这个嘛……因为 (1)C 是白色或红色,(2)C 不是白色,所以我们会想:(3) 所以,C 是红色。但是,如果 (1) 是假的,就不能推导出 (3) 了啊。”

“嗯,尤里你说得对。如果不满足‘C 是白色或红色’这个前提条件,就算知道‘C 不是白色’,也不能说‘所以,C 是红色’。考虑‘假设 C 是红色’的情况相当于验证出题者有没有把题出错。我们试试吧。”

“嗯。”

假设 C 是红色,那么——

  • A 能看见 B(红色)和 C(红色)。然而,A 不知道自己的颜色。

    →这跟 A 的回答相符。

  • B 能看见 A(红色)和 C(红色)。然而,B 不知道自己的颜色。

    →这跟 B 的回答相符。

“确实跟他们的回答相符。假设 C 是白色,就不合道理了;然而假设 C 是红色就合乎道理了。因此,‘C 是白色或红色’这个前提条件没有什么不对劲的。”

“了解。哥哥,这道题有点复杂,不过很有意思呢。”

“嗯,很有意思。要说哪里有意思……‘不知道’这句话能拿来当提示,还有站在 A 和 B 的立场,也就是对方的立场思考问题这里……”

“这就是爱吧!”

“……话说,尤里你比我解得快多了嘛!”

“嗯,不过人家不能像哥哥那样解释自己的思路。人家觉得因为并不‘都是白色’,所以‘至少有 1 人是红色’这里好厉害呀!人家都有点折服了。”

“在这个帽子谜题的世界里,回答‘不知道’的那个人看到的 2 个人里,至少有 1 人的帽子是红色—— 这就像‘定理’一样呢。”

“定理……”

“走吧,我们该回房间了。妈,谢谢你的百吉饼。”

“阿姨,多谢招待。”

“等会儿我去房间里给你们续茶哦。”

1.3.3 镜子的独白

一回到房间,尤里就“啪”地打了个响指。

“哥哥,刚刚那个帽子谜题,实际解起来挺简单的。”

“为什么?”

“在房间里装个镜子就行了,比如挂点闪亮亮的迪斯科球。”

“不准给我房间加多余的装饰……话说,靠镜子反射看帽子不是作弊么?!”

“这……这个房间里居然没有镜子!难道哥哥你是德古拉伯爵 2?!”

2德古拉伯爵,又译德拉库拉伯爵(dracula),是 Bram Stoker 于 1897 年所著的小说中的一个最著名的吸血鬼,其作为吸血鬼的代表曾在多部描写吸血鬼的影片中出现。——译者注

“德古拉伯爵的房间里没有镜子吗?”

“镜子里照不出德古拉伯爵呀。”

“‘镜子里照不出’这个套路,象征性地表现了德古拉伯爵不存在于这世上……”

“是是是,真不浪漫……好,我们来比绕口令!”

尤里“唰”地伸手指向我。

“绕口令?”

“你究竟能不能跟上人家呢?——迪斯科球,闪亮亮!德古拉伯舅,晕乎乎!”

“德古拉伯舅是什么鬼啊!”我笑喷了。

“咦?等一下。——迪斯科球,闪亮亮!德古拉伯爵,晕夫夫!”

“这又变成‘晕夫夫’了。”我笑到停不下来,“你想说的是‘德古拉伯爵,晕乎乎’吧?”

“对对,德古拉伯舅,晕夫……咦?”

尤里挑战了很多次。

“德古拉伯舅,晕夫夫!呼 —— 总算说好了。”

“没说好,没说好。”

我们放声大笑。

“啊~真是的,我眼泪都笑出来了。”尤里拿出一面小镜子。

“啊,你带着镜子呢?”

“当然了。”

她突然不吱声了,一脸郑重地看着镜子。

“……尤里?”

“女孩子照镜子的时候别来打扰!”

“好好,那好吧。”

她变换着各种角度,检查着自己的脸跟发型。没想到,尤里还有这么女生的一面。

“话说……哥哥,要想当世界上最美的人其实很简单啊。只要世界上只剩下自己一个人,那自己肯定就是最美的人了。啊……不行。如果世界上只剩下自己,就没人欣赏了,这不就没意义了么。”

尤里拿着镜子站起身,像在表演一样一边拿捏着腔调唱了起来,一边还转起了圈。

“镜子呀镜子,在这世上谁最美?”

这时,我妈拿着茶壶进来了。

“哎呀尤里,你在扮演灰姑娘?”

“我想你肯定是搞错了。

我敢肯定,你去的一定是另一间 208 号房。

确实也只能这么认为。”那个女人说。

—— 村上春树《奇鸟行状录》(又名《发条鸟编年史》)

目录

  • 版权声明
  • 致读者
  • 主页通知
  • 序言
  • 第 1 章 镜子的独白
  • 第 2 章 皮亚诺算术
  • 第 3 章 伽利略的犹豫
  • 第 4 章 无限接近的目的地
  • 第 5 章 莱布尼茨之梦
  • 第 6 章 ε - δ 语言
  • 第 7 章 对角论证法
  • 第 8 章 两份孤独所衍生的产物
  • 第 9 章 令人迷惑的螺旋楼梯
  • 第 10 章 哥德尔不完备定理
  • 尾声
  • 后记
  • 参考文献和导读