宇宙的形状

宇宙的形状

作者/春日真人

春日真人,生于1968年,日本东京大学力学系研究科理化学毕业。1993年加入日本NHK电视台,曾任职于长野放送局、节目制作部教养节目组、节目开发部等,现担任经济、社会情报节目导演、制作人。作品有《生命再临:生命科学家柳泽桂子》《认识父母》《流产婴儿去向的冲击》《论文捏造:梦幻医疗为何崩溃》等,主要制作前沿医疗与生命伦理类节目。


每一个曾经仰望星空的人,脑海中大概都有过这样的疑问,“遥远星空的尽头是什么模样?我们身处的宇宙究竟是什么形状?”

大家的回答肯定五花八门。“宇宙是没有边界的啊,所以根本就没有形状。”这是一个10岁男孩的回答。“我觉得是方形的,要不然肯定放不下圆形的行星啊。”另一个7岁小女孩是这样想的。一位18岁的年轻小伙子则认为“因为宇宙是无限扩展延伸的,所以形状大概会像是个巨大的盘子吧。”

成年人的回答则较为理智,一位30岁的女士怀疑:“人类有能力探明宇宙的形状吗?如果能够知道,这倒是非常有趣的。”另一位42岁男士则干脆说:“这个问题根本没有答案。你想在可能浩瀚无穷的宇宙面前,我们人类是多么渺小,哪里才是宇宙尽头,宇宙尽头是什么样子,人类是永远都找不到答案的。”

事实上,从上古时代延续至今,关于宇宙形状的谜题不断挑起我们人类的好奇心。在古代的印度,人们认为,天国在大地之上,大地则由四头大象背负着,大象站在一只巨大的海龟背上,这一切又被一条巨大的蛇所环绕,而这条巨蛇所围绕的空间应该就是整个宇宙了。在古代埃及人的宇宙起源说里,天空就是苍穹女神努特(Nut),月亮和星星都被悬挂在女神的身体之上。而在古希腊,主张“地心说”的托勒密则把以地球为同心的宇宙的最远端定义为一颗坚硬的恒星“天球”。

随着现代科学技术的发展,利用最先进的技术,关于宇宙的许多谜题已经被逐步破解。但是关于宇宙形状的全貌,很遗憾,至今仍是未解之谜。

然而就在近期,一个重要数学难题的破解,使探明宇宙形状的可能性大大增加。它就是被命名为“庞加莱猜想”的数学命题。

庞加莱猜想——揭开“形状”的谜题

庞加莱猜想的诞生要追溯到距今一个世纪之前的1904年,也就是亨利·庞加莱50岁之时。其原文正收录在庞加莱于1904年发表的论文《对位相分析学的第5次补充》当中。在这篇论文中,庞加莱采用自问自答的形式对自身进行了发问。最后,他提出了后来被称为“庞加莱猜想”的问题。他写道:“还有最后一个必须进行研究的问题,即使基本群可以与同胚空间互换,也不能形成单连通体,这个可能性存在吗?”

如果用严格的数学语言来表述,庞加莱猜想的具体内容应该是:任何一个单连通的、封闭的三维流形都与三维球面同胚。

这个疑问究竟与宇宙的形状有什么样的关系,本文接下来的部分将会对此详细说明。

南锡当地的一所高中开设了一门关于庞加莱猜想的特别课程,讲师是巴黎南大学的名誉教授瓦伦丁·贝纳胡博士,学生是理科毕业班在读的100名左右的高中生。瓦伦丁·贝纳胡博士的特别课堂上告诉大家,“庞加莱猜想”是一个与宇宙的形状及构造有关的数学问题。

贝纳胡博士随之拿出了一截红色的绳子,贴着投影在墙壁上的宇宙图片,他将绳子沿着宇宙形状绕了一圈。

“现在,请大家想象,有一个人带着足够长的绳子,从地球出发进行环绕宇宙一圈的旅行。假设这个人最后平安无事地返回了地球。这时,已经绕在宇宙上一圈的绳子,是不是会像这样,最终一定能够收回 到自己的手中?”贝纳胡博士把刚才铺开的绳子拉回到了自己手头。

“如果绳子一定能够收得回来,那么我们就应该可以判断宇宙是球形的。这就是‘庞加莱猜想’这个数学难题所要说明的内容。”

如果能把环绕在宇宙上的绳子收回来,就可以说宇宙是球形的。这样听起来天方夜谭式的话语,让庞加莱高中的学生们都流露出讶异的表情,课堂上鸦雀无声。

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图:贝纳胡博士将绳子环绕在投影于墙面上的宇宙图片上

博士这时提出,应该先去了解一下过去我们人类是怎样看待地球的形状的,从这个故事讲起,大家可能会更加容易理解庞加莱猜想。之后的课堂内容,博士带领大家从现代穿越到了16世纪的葡萄牙。

地球的形状

“在科学并不发达的过去,人们大都认为地球是一个无限扩展的水平世界。也有科学家提出了地球是圆形球体的推测,但是当时并没有人能够证明这一点,以至于竟有人相信,在地平线的尽头有一个巨大的瀑布,或者是耸立着一座巨大的山等。

“到底在地平线的尽头是什么样的情形?地球的形状成为当时挑起人们好奇心的最大谜团。这个谜团的破解要一直等到我们都熟知的一位人物登上历史舞台。对,正如大家所猜想的,这个人就是葡萄牙的航海家、冒险家费迪南德·麦哲伦。1519年,麦哲伦带领一支由5艘船组成的船队,开始了环游世界的挑战,在此之前,这一壮举还没有人完成过。在航行路线上,麦哲伦并没有选择当时已经广为人知的东方印度航线,而是带领舰队西向航行。在这个未知的航线上探索是极端困难的,舰队的船接连不断地毁损,就连麦哲伦本人也在旅途中丧命,地点就在今天的菲律宾。

“但是,在这段多灾多难旅途的最终阶段,五只船组成的舰队顺利地从东向回到了出发地点葡萄牙。”

这个故事相信读者们都有所耳闻,航海家麦哲伦以身作则,展现了日常我们只能看到的“水平”地球实际上是“巨大球体的一部分”这一事实。

我们接着来听博士所讲的故事。

“同学们,在麦哲伦船队航海成功大约400年之后,我们的天才科学家亨利·庞加莱却提出了不同的想法,他认为用麦哲伦的方法,根本无法证明地球是球形的。庞加莱是这样推论的:‘如果地球不是完美的球形又如何?假设,存在一个贯穿北极和南极的巨大孔洞,地球的形状就像一个甜甜圈,那么在这种情况下,麦哲伦的船队应当也可以回到最初出发的地点。所以,通过航行回到了出发地点,就认为地球是完美的球形,这个论断不能够完全成立。’

这里我们要向读者说明一下,事实上,并没有现存的文献证明,庞加莱曾经对麦哲伦船队的伟业提出过异议。毕竟庞加莱并不是冒险家或者地理学家,他只不过是个数学家。贝纳胡博士在这里编的这个小故事,只是为了说明在当时虽然大多数人都认为麦哲伦环行世界一周即是地球是球形的证明,但是身为数学家的庞加莱,应该会对这种武断的结论提出反对意见。

“同学们,请大家思考一下,在一个既没有人造卫星也没有飞机的年代,人们应该如何去调查地球的中心是否存在孔洞?实际上,庞加莱确实想出了一个非常好的办法。”

贝纳胡博士随之取出了两个地球仪,一个是普通的地球仪,一个是中空的甜甜圈形状的地球仪。博士告诉大家,有一种方法,不管地球实际上是什么形状,都可以仅用一根绳子就证明出来。

“首先请大家在脑海中想象,你手上拿着一根非常长的绳子,站在海边的岬角上。第一步先把绳子的一头紧紧固定在岬角上,另一头则绑在一艘船上,这艘船开始向远方起航。

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图:(从上至下)如果那只绑着绳子的船只从罗卡角起航,环绕地球航行一周,回到出发点时,如果绳子能够全部收回的话,就可以证明地球是球形的

“这艘船环绕地球一周,很快就归来。当船回到原先的出发地点时,你把绑在船上那一头的绳子解下来,同样也绑在岬角上。大家想象一下这个场景,你的手上握着一根绳子,而这是一根环绕了地球一圈的绳子。当你往回收绳子时,如果能够全部收回,那么我们就可以说,地球是球形的。庞加莱就是这样进行推论的。”

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读者们也许会问,世界上真的存在这样长的绳子吗?这是一个非常现实的问题。但是,请大家把这个和真实的实验区分开来,这个充其量也就是一种思想实验(在想象中进行的实验)。请读者们也和庞加莱高中的同学们一起,在脑海中拉动这条思维的绳索。

还有人会问,绳子会不会挂在喜马拉雅山上拉不动?其实喜马拉雅山虽然海拔很高,但是和地球的体量相比,还是可以忽略的。大家不要在意这些问题,继续想象我们在不断努力地往回拉动绳子。现在如何?在大家的想象中,应该已经把绳子都拉回来了吧。

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“如果能够把环绕地球一周的绳子全部收回来,那么我们就可以说地球是球形的。从太空眺望地球,这个论述的正确性可以很直观地证明。但是在那个时代,之所以说庞加莱的想法是革新性的,就是因为当时的人们无法从外太空远望地球,庞加莱仅仅用一根绳子就可以得出结论。

“那么接下来,请同学们想象,如果地球是甜甜圈的形状,会发生什么样的情况。再试着想象一下,你手中握着环绕了地球一圈的绳子,现在开始用力往回拉,大家用力!”

这回怎么样?对,不知道为什么,绳子拉不回来了。

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图:甜甜圈形状的地球,绳子会绑在环状上收不回来

从外太空的角度看地球,这个原因就很清楚了。绳子穿过了地球的中心孔洞,绕着环状地球的某一部分一圈。所以,往回拽绳子的时候,绳子已经绑在了环状地球上,收不回来了(图1-5左侧)。而且,即便是绳子沿着中心空洞的边缘环绕一周的情况下,也不能收回。

讲到这里,一位同学举手提问:“老师,我觉得如果绳子是环绕孔洞边缘一周的话,应该能收得回来啊?”(图1-5 右侧)

这个问题在贝纳胡博士的意料之中。博士叫了一名学生来到讲台上,和他一起给大家示范。

“现在,我们在甜甜圈形状的地球上进行实验,看能不能把绳子收回来。像这样慢慢地把绳子往回拉……大家看,绳子悬在了空中,这种情况下,我们不能说是成功收回了绳子。想要把沿孔洞一圈的绳子收回来,无论如何都会造成绳子离开地球表面的情况。如果不是严格地沿着地球表面收回绳子,那就不能将其视为调查地球形状的实验了。”

确实,从实际出发的话,要想这样拉回长绳,就必须让其能够对抗地球引力进而飘浮在宇宙中,这是非常困难的。也就是说,沿地球中心空洞边缘环绕一周的绳子,我们是不可能收回的。

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图:如果在这种情况下想要收回,绳子必然会离开地表

宇宙的形状

“同学们,宇宙是比地球更为强大的存在。不同于地球,无论我们的科学技术如何发达,现在的我们还是不可能到达宇宙之外。刚才,我们探讨了如何在无法去到外太空的情况下证明地球形状的方法,那么现在请大家思考一下,是否也有一种方法,可以让我们不用踏出宇宙,就弄明白宇宙的形状?”

贝纳胡博士也讲道:“庞加莱思考的了解宇宙形状的方法,就是使用所谓的‘宇宙火箭’。他在自己的脑海中,想象把一根绳子绑到火箭上,让火箭飞向太空。绑着绳子的火箭在宇宙空间中只是不间断地自由飞行,最终绕宇宙一周并安全返回地球。请大家也想象一下,现在你手中握着的绳子的两端,构成了一个环绕宇宙的、异乎寻常庞大的绳圈。现在,我们再一次把绳子拉回来,大家用力!

“如果这长长的绳子都能够收回来的话,那么对于宇宙的形状,我们可以做出怎样的推论?虽然现实中不可能发生,但是现在请大家试着想象一下,如果我们能够从外部观察宇宙整体,那么当绳子必然能够完全收回的情况下,就与地球实验相同,宇宙空间也不应该存在孔洞或者裂缝。也就是说,可以推断其形状为球形。庞加莱就是如此构想的。

“当然,宇宙是在三维空间上不断扩展的,存在的问题比地球的情形更加复杂。但庞加莱猜想的意义就在于推出了这样一个问题:如果用这样的方式去实验并且结果成立,那么就可以证明宇宙是球形的。这个实验中‘地球表面’换成了‘宇宙空间’,问题的难度就飞跃性地提高了。”

大家可能认为像这样用绳子来证明地球是球形的方法非常简单,而且谁都可以想得到。但是,对于宇宙的形状,作为现代人的我们目前是无法想象的。因为凭借现有的科学技术水平,人类还无法实现飞出宇宙这一目标。

如果宇宙是球形的,那么人在宇宙中沿同一方向前进,也有可能会发现,不知不觉中又回到了出发点。在地球时,我们是沿地球表面(二维)向同一方向前进回到原点;而在宇宙中,我们则是在宇宙空间(三维)中沿同一方向飞行回到原点。

举个例子来说,我们甚至可以想象在球形的宇宙空间中向正前方射出的一颗子弹,明明飞行路线没有变,最终却打中了自己的后脑勺。那么,宇宙空间存在什么扭曲的地方吗?宇宙整体又是什么形状的呢?

这正是疑难之处。正是为了解决这些疑问,才有了庞加莱猜想,才有了数学的发展。


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《庞加莱猜想:追寻宇宙的形状》是日本NHK特别节目制作组关于“庞加莱猜想”的专题纪录,追寻宇宙的形状与神秘数学家的线索、谜题与真相。