前言

大家好!我是结城浩。欢迎阅读《程序员的数学》。

本书是为程序员朋友们写的数学书。

编程的基础是计算机科学,而计算机科学的基础是数学。因此,学习数学有助于巩固编程的基础,写出健壮的程序。

有的读者可能会说“但我数学不好啊”。特别是很多读者“一碰到算式就跳过不读”。坦率而言,我自己遇到书中的算式也想跳过不看。

本书尽可能减少了“大家不想看的算式”,也没有过多的定义、定理和证明。

这是为帮助程序员更容易理解编程而写的书。希望你能通过本书学到有助于编程的“数学思维”。

数学思维示例

学习“数学思维”说起来太抽象了,我们来举些具体的例子。

【条件分支和逻辑】

在编程时,我们按照条件将处理方法分为多个“分支”。C 语言和Java 语言中使用的是if 语句。处理方法为: 当满足条件时执行这条语句,不满足条件时执行另一语句。这时,我们就使用了数学领域的“逻辑”来控制程序。因此,编程时必须熟练掌握“ 与”“、或”“、非”、“蕴涵”等逻辑构成元素。

【循环和数学归纳法】

我们在处理大量的信息时,使用程序进行“循环”操作。比如使用for 语句可以循环处理大量数据。循环中使用的就是“数学归纳法”。

【分类和计数方法】

在将许多条件和数据“分类”时,程序员必须注意不能有遗漏。这时加法法则、乘法法则、排列、组合等“计数方法”将助你一臂之力。这是程序员应该熟记于心的数学工具。

通过本书,也可以学到递归、指数、对数、余数等重要的基础思维方式。

人类和计算机的共同战线

我们写程序是为了解决人类解决不了的问题。程序员理解问题,编写程序;计算机运行程序,解决问题。

人类不擅长重复劳动,很容易厌倦,有时还会出错,但人类擅长解决问题。与此相对,计算机擅长重复劳动,但不能自行解决问题。

于是,人机合力,如虎添翼。

遇到难题,光靠人类不能解决,光靠计算机也不能解决。而人机合力就能解决问题。这也是本书要传达的主旨之一。

不过,编写程序也非易事,无论人类和计算机如何齐心合力,总有解决不了的问题。本书也对人类和计算机的极限进行了分析。

希望你在读完本书后能对以程序为媒介的人机合作有更深刻的理解。

本书面向的读者

本书主要面向的读者是程序员。不过若你对编程或数学感兴趣,读起来也会一样有意思。

你不需要精通数学。书中不会出现∑和∫等很难的算式,因此自认为数学不太好的读者也完全可以阅读。阅读本书只需具备四则运算(+- ×÷)和乘方(23=2×2×2)等基础知识。除此以外的知识在书中皆有说明。

如果你对数字和逻辑感兴趣,可能会更喜欢本书。

你也不需要精通编程。不过如果稍有一些编程经验,可能会更容易理解本书内容。书中有个别例子是用C 语言写的程序,不过即使不懂C 语言也不妨碍理解。

本书结构

本书各章内容可以按任意顺序阅读,但笔者推荐从第1 章开始按顺序阅读。

第1 章对0 进行讨论。以按位计数法为核心,学习如何用0 来简化规则,并对“无即是有”的意义进行了思考。

第2 章学习使用逻辑来整理繁琐的内容。介绍逻辑表达式、真值表、德•摩根定律、三值逻辑、卡诺图等。 

第3 章讨论余数。我们要记住“余数就是分组”的观点。对于一些难题,有时只要找到周期性规律就能解决。

第4 章学习数学归纳法。数学归纳法只需要两个步骤就能证明无穷的断言。本章还会举例介绍使用循环不变式写出正确的循环。

第5 章学习排列组合等计数方法。计数的关键在于“认清对象的性质”。

第6 章学习自己定义自己的递归。通过汉诺塔、斐波那契数列、分形图形等,练习从复杂事物中发现递归结构。

第7 章学习指数爆炸。计算机也很难解决含有指数爆炸的问题。我们将在这里思考研究如何将指数爆炸为我所用,解决大型问题。另外本章还将以二分法检索为例,学习将问题空间一分为二的意义。

第8 章以停机问题为例,来说明许多程序上的问题是计算机如何发展都解决不了的。本章也会学到反证法和对角论证法。

第9 章回顾本书学习内容,思考人类全面把握结构的能力对解决问题有多大帮助,以及人机协作具有何种意义。

致谢

首先要感谢马丁•伽德纳。小时候我痴迷于阅读您所著的《数学游戏》,至今仍记忆犹新。

此外,还要感谢支持我的广大读者和为我祈祷的基督教朋友们。

以下各位为本书提出了宝贵建议并给予了极大帮助,在此深表谢意(按日语五十音图顺序):天野胜、石井胜、岩泽正树、上原隆平、佐藤勇纪、武笠夏子、前原正英、三宅喜义。

特别感谢在本书编写过程中给予我极大关怀和支持的SoftBank 出版有限公司的野泽喜美男主编。

感谢一直鼓励我的爱妻和两个儿子。

本书献给在餐桌上教我方程式乃至微积分的父亲。父亲,谢谢您!

2005 年2 月

结城 浩

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