这时,一个男孩向泰朵拉招手。似在询问是否能过去。

泰朵拉望向米尔嘉,米尔嘉点了点头。(嗯?)

“中国人。”米尔嘉说。

这时男孩也向我们说了话,“你们好,我是郑浩,泰朵拉的同班同学,我是来自中国的交换生。”

泰朵拉的脸突然变红,她看了我一眼。

真可爱。

他拿起了泰朵拉的笔记本。

“sin x=0的解集一定是实数啊。”

“郑浩……你。”泰朵拉说。

但郑浩开启了话痨模式。

话痨?

“我们可以用反证法。

我们假设存在复数a+ib并且a,b∈R,b≠0使得sin(a+ib)=0.
复数的正弦怎么可能,对啦,欧拉公式。

“我们有欧拉公式 enter image description here。 ”

“欧拉公式是怎么回事。”泰朵拉问

我想到之前给泰朵拉讲的级数,郑浩还没反应过来,我回答了。

“泰朵拉,是这样的

我们之前不是求出了sin x的幂级数吗, enter image description here

我们现在对cos x与e^x做同样的事。”

话还未完,泰朵拉就拿过了笔。…

“学长让我来。

“系数……cos x微分……e^x微分,嗯

学长是这个吗?

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“是的,很好。”

泰朵拉笑了。

“接下来我们把e^x的级数的x替换成ix,就有

enter image description here enter image description here

我们把不含 i 的放一边,含 i 的放在另一边,则可以得到: enter image description here enter image description here 把级数换成函数就得到了欧拉公式

enter image description here。 ”

“嗯,知道了谢谢学长。”泰朵拉说。

郑浩继续。

“我们知道

sin(a+ib)=sin a*cos ib+sin ib*cos a.

并且

只要将欧拉公式中的x替换成ix,-ix就有

e^i(ix)=e^(-x)=cos(ix)+isin(ix)

e^i(-ix)=e^x=cos(ix)-isin(ix) 解出

sin ix=(e^(-x)-e^x)/(i2)=i(e^x-e^(-x))/2=ish x,

cos ix=(e^x+e^(-x))/2=ch x.

因此,*sin(a+ib)=sin a*ch b+icos a*sh b.* ”

“sh x和ch x是双曲正弦sinh x和双曲余弦cosh x吗?”泰朵拉看着郑浩问道。

“是的。没想到你这也知道。”郑浩说。

“我在课外书上见过。”

郑浩继续。

“我们令sin(a+ib)=0,

所以sin a*ch b+icos a*sh b=0,

即是sin a*ch b=0且icos a*sh b=0,

之前我们有a,b∈R,b≠0;

所以sh b≠0则cos a=0,于是sin a≠0,ch b≠0,故sin a*ch b≠0,与之前in a*ch b=0矛盾。

sin x=0无复数解。 ”

"虽然没有表明正余弦的和角公式对复数也成立,你的证明已经很完整了。”米尔嘉说。

我还以为已经严谨了,原来还有问题,不过这用复指数就能证明了吧。

"郑浩原来你数学也这么好。”泰朵拉像是发现了新世界。

“唉,某人只知道向学长问那会管我。”语毕,泰朵拉脸颊微红,瞟了我一眼。
“泰朵拉你知道吗,虽然我们把
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叫欧拉公式,但欧拉老师不是第一个证明它的人,欧拉老师在1748年的《无穷小分析引论》首次出现,而罗杰·柯茨在1714年就得到了等价形式
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但欧拉老师是使用最多的人,所以叫欧拉公式。不过巴塞尔问题真是欧拉老师第一个广受赞誉的工作。”
“啊,还能这样!”泰朵拉感慨道。
“数学史上这样的事还很多呢。”郑浩偏头说道,“对啦,巴塞尔问题我还会其他的证法。”
他又一次开启了话痨模式。
“我会用到傅里叶级数。”
“什么是傅里叶级数呀!”泰朵拉站了起来。
“哎呀,我正在讲。
“每个以2π为周期的函数f(x)都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,就是说每个这样的函数都有
f(x)=enter image description here
米尔嘉将双掌交叉,将双手支在桌上平静的说:“1807-1822年,法国数学家傅里叶对它进行了实证物理观点的基本数学研究,不过他的研究还是以对于分析的基本概念的旧解释作为基础的。最后,在1829年,德国数学家狄里赫雷以近代数学中所要求的严谨性,证明了以2a/2π为周期,并且周期函数在有限的区间内,只有有限个和有限个极大值和极小值,就可以展开为一致收敛于它的傅里叶级数。”
“那么,问题就是求出系数enter image description here了。”
“用研究函数最有力的工具之一的微分吗。”泰朵拉说。
这是我之前告诉她的,真有心,细心。
“可不行欧,泰朵拉。sin x与cos x的微分是循环的。
enter image description here 所以微分是求不出系数的。”
“哦。谢谢学长。”泰朵拉有些丧气。
“不过,”郑浩说,“研究函数最有力的工具之一的还有,integral,积分。”
“郑浩!”
“哈!”
“我教你学英语时,你记单词可没那么积极啊。”泰朵拉看起来有些生气。
“嗯。。。这不一样啦。”
郑浩趁机继续。
“我们注意到
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总之就是对正余弦乘积的(上下限为π和-π)积分为零,而对正弦正弦乘积或余弦余弦乘积,只有当频率相同(也就是x的系数)时积分才为 π。 记住它后面就好办了。

“哎呀,积分是什么我还不知道呢。”泰朵拉突然说。

我又跟她解释了一下。

郑浩继续。

“如此,我们就可以得到
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k≠0 enter image description here

这样系数就求出来啦:

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“哎呀,看得我头疼,好复杂。”泰朵拉抱怨道。

我笑了笑,安慰道:“其实也不复杂,它们是对应的,如果你要求cos nx的系数就用f(x)cos kx积分,如果你要求sin nx的系数就用f(x)sin kx积分,最后记住因子enter image description here就好了。”

泰朵拉思考了一会儿,点头道:“谢谢学长。”

“如果用图像来理解就会更加理解。”米尔嘉接过笔,“我们考虑这样的函数f(x)它在-π到0为-1,0到π为1,以2π为周期。enter image description here
然后用级数有限项和去逼近它。为了方便,我们只考虑-π到π内的图像。 因为这是一个奇函数,所以不用管常数项和余弦系数。我们经过积分便有
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也就是说
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这样
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“呀!这样的段段函数被连续的函数表示出来啦!”泰朵拉很是惊讶。

什么段段函数呀?唉,泰朵拉。

“这可是一个动态过程,让我们继续下去。”米尔嘉继续。

“我们在坐标系上分别画出

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enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here

“这好像一层层的波浪的叠加呀!波浪的起伏相消相减就得到了f(x)吗?”泰朵拉用手在空中比划着。

“嗯,是的。还像音乐。”米尔嘉将手放在桌上,手指弹着她心里的琴,“x的最小系数-1-(也就是级数中频率最小的一项)是基音,而其他项是高次谐音,它们合起来就是一种音色,一个这样的函数就是一种音色。你们听到了吗。”

这就用无限得到了有限吗。

这时,郑浩继续。

“对巴塞尔问题我们用它就行了。我们令x=π/2就可以得到 enter image description here
是不是有一点巴塞尔问题的味道了,能平方就好!还好我们有积分。只要对函数在0到π积分 enter image description here
也就是enter image description here 可是,这里只有奇数。本来从奇数得到偶数二倍加一就好了,但是这里不行,只好乘二

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好了,巴塞尔问题解决了。 ”

哇,真是一次神奇的旅行呢。

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“郑浩,没想到你真厉害。”泰朵拉惊叹。

“小意思。”郑浩脸上满是骄傲。

“既然你们那么积极,我们再将我们之前的完善一下。”米尔嘉说了话。

代数基本定理和因式分解定理吗?

郑浩和泰朵拉的眼里放了光。

不过……

“放学啦。”瑞谷老师可真准时呀。看来只好作罢了,下次再讲了。

…………

我们走到校门。

“学长学姐,我们走啦。再见。”泰朵拉向我们说。

他们一起?

“泰朵拉,……”郑浩欲言又止。

“什么?”

"没,还有时间……”声音渐渐听不到了。

我们看着他们的背影远去。

“郑浩怎么样。”米尔嘉问。

“还可以。”

“嗯,他好像和你有些相像呢。”

是吗,相像,哪里。我没说话。

“好,我们也走吧。”风扶着米尔嘉的黑发。

校外的树叶沙沙作响,起了绿浪。

水波,音波和音相奏。

                                                               就数学家而言,

                                                            数学绝不仅是人类文化的创造物,

                                                          她有自身的客观存在性和生命轨迹,

                                               而且其中大部分表现出与物理世界惊人的一致性。

                                                                                                     ---罗杰·彭罗斯

参考书目
1.【日】结城 浩《数学女孩》朱一飞译----北京:人民邮电出版社,2016.1(2017.8重印)
2.【英】罗杰·彭罗斯《通向实在之路》 王文浩译----长沙:湖南科技出版社,2013.11
3.【德】菲利克斯·克莱因《高观点下的初等数学》(第一卷) 复旦大学出版社
4.【俄】亚历山大等《数学--它的内容,方法和意义》(第二卷)孙小礼等译----北京:科学出版社,2001
5.【英】高尔斯(Gowers,T.)主编《普林斯顿数学指南》 齐民友译----北京:科学出版社,2014.1