这时,一个男孩向泰朵拉招手。似在询问是否能过去。

泰朵拉望向米尔嘉,米尔嘉点了点头。(嗯?)

“中国人。”米尔嘉说。

这时男孩也向我们说了话,“你们好,我是郑浩,泰朵拉的同班同学,我是来自中国的交换生。”

泰朵拉的脸突然变红,她看了我一眼。

真可爱。

他拿起了泰朵拉的笔记本。

“sin x=0的解集一定是实数啊。”

“郑浩……你。”泰朵拉说。

但郑浩开启了话痨模式。

话痨?

“我们可以用反证法。

我们假设存在复数a+ib并且a,b∈R,b≠0使得sin(a+ib)=0.
复数的正弦怎么可能,对啦,欧拉公式。

“我们有欧拉公式 enter image description here。 ”

“欧拉公式是怎么回事。”泰朵拉问

我想到之前给泰朵拉讲的级数,郑浩还没反应过来,我回答了。

“泰朵拉,是这样的

我们之前不是求出了sin x的幂级数吗, enter image description here

我们现在对cos x与e^x做同样的事。”

话还未完,泰朵拉就拿过了笔。…

“学长让我来。

“系数……cos x微分……e^x微分,嗯

学长是这个吗?

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enter image description here” “是的,很好。” 泰朵拉笑了。 “接下来我们把e^x的级数的x替换成ix,就有

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我们把不含 i 的放一边,含 i 的放在另一边,则可以得到: enter image description here enter image description here 把级数换成函数就得到了欧拉公式

enter image description here。 ”

“嗯,知道了谢谢学长。”泰朵拉说。

郑浩继续。

“我们知道

sin(a+ib)=sin a*cos ib+sin ib*cos a.

并且

只要将欧拉公式中的x替换成ix,-ix就有

e^i(ix)=e^(-x)=cos(ix)+isin(ix)

e^i(-ix)=e^x=cos(ix)-isin(ix) 解出

sin ix=(e^(-x)-e^x)/(i2)=i(e^x-e^(-x))/2=ish x,

cos ix=(e^x+e^(-x))/2=ch x.

因此,*sin(a+ib)=sin a*ch b+icos a*sh b.* ”

“sh x和ch x是双曲正弦sinh x和双曲余弦cosh x吗?”泰朵拉看着郑浩问道。

“是的。没想到你这也知道。”郑浩说。

“我在课外书上见过。”

郑浩继续。

“我们令sin(a+ib)=0,

所以sin a*ch b+icos a*sh b=0,

即是sin a*ch b=0且icos a*sh b=0,

之前我们有a,b∈R,b≠0;

所以sh b≠0则cos a=0,于是sin a≠0,ch b≠0,故sin a*ch b≠0,与之前in a*ch b=0矛盾。

sin x=0无复数解。 ”

"虽然没有表明正余弦的和角公式对复数也成立,你的证明已经很完整了。”米尔嘉说。

我还以为已经严谨了,原来还有问题,不过这用复指数就能证明了吧。

"郑浩原来你数学也这么好。”泰朵拉像是发现了新世界。

“唉,某人只知道向学长问那会管我。”语毕,泰朵拉脸颊微红,瞟了我一眼。
“泰朵拉你知道吗,虽然我们把
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叫欧拉公式,但欧拉老师不是第一个证明它的人,欧拉老师在1748年的《无穷小分析引论》首次出现,而罗杰·柯茨在1714年就得到了等价形式
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但欧拉老师是使用最多的人,所以叫欧拉公式。不过巴塞尔问题真是欧拉老师第一个广受赞誉的工作。”
“啊,还能这样!”泰朵拉感慨道。
“数学史上这样的事还很多呢。”郑浩偏头说道,“对啦,巴塞尔问题我还会其他的证法。”
他又一次开启了话痨模式。
“我会用到傅里叶级数。”
“什么是傅里叶级数呀!”泰朵拉站了起来。
“哎呀,我正在讲。
“每个以2π为周期的函数f(x)都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,就是说每个这样的函数都有
f(x)=enter image description here
米尔嘉将双掌交叉,将双手支在桌上平静的说:“1807-1822年,法国数学家傅里叶对它进行了实证物理观点的基本数学研究,不过他的研究还是以对于分析的基本概念的旧解释作为基础的。最后,在1829年,德国数学家狄里赫雷以近代数学中所要求的严谨性,证明了以2a/2π为周期,并且周期函数在有限的区间内,只有有限个和有限个极大值和极小值,就可以展开为一致收敛于它的傅里叶级数。”
“那么,问题就是求出系数enter image description here了。”
“用研究函数最有力的工具之一的微分吗。”泰朵拉说。
这是我之前告诉她的,真有心,细心。
“可不行欧,泰朵拉。sin x与cos x的微分是循环的。
enter image description here 所以微分是求不出系数的。”
“哦。谢谢学长。”泰朵拉有些丧气。
“不过,”郑浩说,“研究函数最有力的工具之一的还有,integral,积分。”
“郑浩!”
“哈!”
“我教你学英语时,你记单词可没那么积极啊。”泰朵拉看起来有些生气。
“嗯。。。这不一样啦。”
郑浩趁机继续。
“我们注意到
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enter image description here” “哎呀,积分是什么我还不知道呢。”泰朵拉突然说。

我又跟她解释了一下。

郑浩继续。

“如此,我们就可以得到
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