图灵社区:欧拉计划:579. 格点立方体上的格点 中,我需要计算以下求和公式:

可以利用二项式定理展开这个被求和项,然后利用 Faulhaber 公式计算。但是这个过程非常繁琐。我们知道,这个求和公式的结果一定是个关于 n 的 7 次多项式,这个 7 次多项式有 8 个系数,我们只需确定这 8 个系数就行了。可以利用 S1(1), S1(2), ..., S1(8) 得到一个 8 元线性方程组,解这个方程组就行了。在 TeXmacs 中使用 PARI/GP 进行计算:

参考资料

  1. 图灵社区:欧拉计划:579. 格点立方体上的格点
  2. 图灵社区:PARI/GP 简介
  3. Wikipedia: Faulhaber's formula
  4. Wikipedia: Binomial theorem