今日面试题:颠倒乾坤

在一棵二叉搜索树中,有两个节点颠倒了顺序。要求实现一个算法,在不改变树结构的前提下,恢复正确的二叉搜索树。给出一个空间为O(n)的实现很容易,那该如何给出一个空间O(1)的实现呢?

忘我之乘积分析

题目:

给你一个数组A[1..n],请你在O(n)的时间里构造一个新的数组B[1..n],使得B[i]=A[1]*A[2]*...*A[n]/A[i]。你不能使用除法运算。

分析:

看到题目,不要紧张,要头脑清晰,看穿面试官的本意,实际上,他是用除法公式,但又要求不用除法来迷惑你。

要求在不使用除法的情况下计算B[i]=A[0]*…*A[n]/A[i],简单变换一下形式,即可得到B[i]=A[0]*…*A[i-1]*A[i+1]*…*A[n],一共n-1次乘法。每一个B[i]计算一遍,总的时间复杂度为O(n^2)。不符合题目要求,必须减少乘法的次数。如何减少乘法的次数呢? 继续分析,通过上面的变换,我们可以得到B[i]是由两部分相乘得到的:

A[0]*…*A[i-1]  
A[i+1]*…*A[n]

先看第一部分,在计算B[i+1]的时候,是可以利用B[i]的第一部分结果的,只需要乘以A[i]即得到B[i+1]的第一部分。

第二部分同理,计算完A[i+1]*…*A[n],再计算A[i]*A[i+1]*…*A[n],只需要乘以A[i]即可。A[i]*A[i+1]*…*A[n]B[i-1]的第二部分。

由此分析,构建两个新的数组:C和D(为了方便解释,用了两个数组),

C[i] = A[0]*…*A[i-1] = C[i-1]*A[i-1]  
D[i] = A[i+1]*…*A[n] = D[i+1]*A[i+1}  

构建C和D都是O(n)的时间复杂度(C从前到后遍历一遍数组,D从后到前遍历一边数组),然后,B[i] = C[i]*D[i]也是O(n)的时间复杂度。整体算法的时间复杂度是O(n)

题目到这解答完毕。

但是面试官的问题还没有完,他们会继续问,这个解法的空间是O(n)的,能够空间O(1)的情况下实现么?

首先看看一个只有5个数的数组,A[1],A[2],A[3],A[4],A[5]

首先从头到尾遍历:

B[1] = A[1]
B[2] = B[1]*A[2]
B[3] = B[2]*A[3]
B[4] = B[3]*A[4]
B[5] = B[4], 临时变量 C=A[5]

然后从尾到头遍历:

B[4] = B[3]*C, C=C*A[4]
B[3] = B[2]*C, C=C*A[3]
B[2] = B[1]*C, C=C*A[2]
B[1] = C

通过这个小的例子,我们得到了算法,然后可以推广到任意多的元素。这个是面试中常用的技巧。

大家可以自己尝试把算法变成代码。

本文来自微信:待字闺中,2013-07-05发布,原创@陈利人 ,欢迎大家继续关注微信公众账号“待字闺中”。