600个世界著名数学征解问题》(冯贝叶编译,哈尔滨工业大学出版社,2017 年 1 月第 1 版)第 2 章第 34 题:

B-2-34. (AMM E1844) 在平面上是否存在三个点 A, B, C 使得对平面上任意一点 P,距离 PA, PB, PC 不都是有理数。

注:原文是“都不是”,有误。

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书上的答案:

       存在。
设 A = (0, 0), B = (√2, 0), C = (π, 0), P = (x, y),如果距离 PA, PB, PC 都是有理数,那么
       1/2 (PA2 - PB2 + 2) = √2x
和   PA2 - PC2 = 2πx - π2
也都是有理数,由此可以推出 π 是代数数,矛盾。因此 A, B, C 就是满足要求的三个点。

注:原文是“也都是无理数”,有误。

解答中隐含地利用了以下定理:

定理1   代数数系数多项式方程的根都是代数数。

书上的答案后面还有使用小字号排版的以下内容:

      (1) 如果把上面证明中有理数都换成代数数,那么证明仍然成立,因此结论可加强为平面上存在三个点 A, B, C,使得对平面上任意一点 P,距离 PA, PB, PC 不可能都是代数数。
(2) 不仅在平面中,在一般的 Hilbert 空间中,这一结论仍然成立。设 A 和 B 是两个固定点,C 是它们的中点,P 是任意一点,那么由平行四边形定律可知
AB2 = 2 PA2 + 2 PB2 - 4 PC2
取 AB = ,那么 PA, PB, PC 不可能都是有理数。

此外,如果取 AB = π,那么 PA, PB, PC 不可能都是代数数。

这里的平行四边形其中三个顶点是 P, A, B,平行四边形的相关性质(第 1 条就是平行四边形定律):

  • 平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和
  • 平行四边形的两条对角线互相平分
  • 平行四边形的对边长度相等

我有以下问题:

C-1. 对于平面上的两个点 A = (0, 0) 和 B = (π, 0),是否存在一点 P,使得距离 PA, PB 都是代数数?

C-2. 在平面上是否存在两个点 A, B 使得对平面上任意一点 P,距离 PA, PB 不都是有理数?

参考资料

  1. Wikipedia: Algebraic number: The field of algebraic numbers
  2. Wikipedia: Transcendental number
  3. Wikipedia: Hilbert space
  4. Wikipedia: Parallelogram
  5. Wikipedia: Parallelogram law