题目

单项选择题:

  1. π 是圆周率,e 是自然对数的底,则:
    A. eπ < πe     B. eπ = πe     C. eπ > πe     D. 以上都不对

  2. π 是圆周率,e 是自然对数的底,i 是虚数单位,则:
    A. eπi < πei     B. eπi = πei     C. eπi > πei     D. 以上都不对

如果在高考中遇到第 1 题,如何解答?

附加题:

  1. eπ 是有理数还是无理数?
  2. πe 是有理数还是无理数?
  3. 以下命题是否正确?

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

单项选择题第2题解答

我们知道,eπi = -1,而 πei ≈ -0.9995532 + 0.029889754 i,所以答案是 D

注意:这些值按照参考资料4计算,避免出现多值函数的情况。

附:令 θ = e ln π,则 πei = e = cos θ + i sin θ 。


单项选择题第1题解答

方法1:比较 ex 和 xe

令 f(x) = ex - xe,则 f'(x) = ex - exe-1。显然,f'(1) = 0, f'(e) = 0,由于指数函数比幂函数增长得更快,所以当 x > e 时 f'(x) > 0,即当 x > e 时 f(x) 是增函数。则:f(π) > f(e),eπ - πe > 0,我们得到:eπ > πe

实际上,当 x ≥ 0 时,ex ≥ xe,且当且仅当 x = e 时取等号。

方法2:使用泰勒级数

我们知道:ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...,所以,当 x > 0 时,ex > 1 + x。因此:

eπ/e – 1 > π / e
eπ/e / e > π / e
eπ/e > π
eπ > πe

方法3:使用 ln x / x 函数

来自 Proofs without Words 的证明:

令 f(x) = ln x / x,则 f'(x) = (1 - ln x) / x2,我们有 f'(e) = 0,所以当 x = e 时 f(x) 取最大值。

1 / e > ln π / π
π > e ln π
π > ln πe
eπ > πe

方法4:使用计算器

eπ = 23.140692632779269005729...
πe = 22.459157718361045473427...

更多的方法见参考资料1。


附加题第3题解答

通过比较 πx 和 xπ,得到答案:

参考资料

  1. Mind Your Decisions: Monday puzzle: what is greater: e^pi or pi^e?
  2. Mathematics Stack Exchange: Comparing pi^e and e^pi without calculating them
  3. Wikipedia: Exponential function
  4. Wikipedia: Exponentiation: Complex exponents with positive real bases