在大一那一年,教我的数学是代数(旧东西)、三角(学得太多)和解析几何(新发现)。

我的三角老师是一位研究生助教,姓名已不记得。他教我邻边比斜边(全新),用对数来“解”三角(麻烦无比的事)。他也教我等式(极有趣,像作容易的拼板游戏)。很久以后,当我开始教三角等式时,有个灵巧学生告诉我他有一个简单透顶的方法,几乎每次都能得满分。假如要你证明某个式子 A 等于一个表面上不同的式子 B,你就把 A 写在纸页的左上角,B 写在右下角,应用正确而简单的代换法,不断改变 A 和 B,从两头向中间凑。A 和 B 凑到一起时即停。如果给你的等式是真等式(总是真等式),那么写出的每一步都是真的。确实,在纸页中心附近要有巨大的一步,很可能像原题那么大,但是阅卷判分的人很少会发现它,即便发现,也不敢给你判低分──毕竟是真等式嘛!


那么我们来试试看吧。在网上随便找一道证明三角等式的题目来做:

如果你是阅卷判分的教师,将如何给分?你能发现“在纸页中心附近巨大的一步”吗?请读者先思考一下。后面我会补全这个证明。


BookA

BookB

本文最开头引用的文字来源于《我要作数学家》([美]保罗·哈尔莫斯,江西教育出版社,1999年10月第1版)第二章 大学教育三角和解几小节(第 31 页)。这本书的作者保罗·哈尔莫斯以他在许多数学领域的研究著称于世,其中包括泛函分析、遍历理论、测度论、布尔代数理论等。他对数学的其他领域也保持浓厚兴趣,对于数学的主要进展十分关注,这显示出他作为一位数学家的地位,远超出狭窄的工匠之上。

正如本书封底中所说:

然而,保罗·哈尔莫斯的这本数学自传,却大有可读之处。

我向各位读者推荐这本书。


回到这个三角等式,“在纸页中心附近巨大的一步”是:

其实这巨大的一步非常容易补全,只需证明:

而最后一个式子是显而易见的。可见,这个“证明三角等式的好方法”不仅可以用来在考试时欺骗老师得到高分,也有实际用途。