本帖转自豆瓣书评《很久不写的读后感》 作者:dongeliu

大一读微积分的时候就觉得数学分析(作为数学系专业基础课)是非看不可的,但是当时偷了个懒没有认真看,于是直到今天也没有完整地读过一本数学分析,估计以后也不会读了。看到这么薄的书原本心中窃喜,以为一定能完全领会。结果也未能实现。

所以只能记几点主要的收获,并开出“打算进一步学习”的空头支票。

先说作者,俄苏时代著名数学家,主要贡献在概率论。记得随机过程中有维纳-辛钦定理。再说译者,齐民友先生是数学分析方面的大师,就是写书稍嫌啰嗦。

全书行文流畅,不生枝节,读过任意一本微积分(即使是简明教程)的大学生都可以看懂,但不见得不费力。尤其后面几章的定理证明很吃脑细胞。

分章简述:

  1. 整个的高等数学是以函数为基础的。要研究函数必须先研究数。从整数到有理数(整系数线性方程的解)到代数数(整系数高次方程的解)到超越数(通过极限过程定义,典型的如e和π)。应该有一个一般的原则来刻画所有需要的数。该原则可以是:对有理数集合做分划,并定义其界限为一个数——从而得到实数或连续统。依此定义的实数,再对实数集合做分划,其界限必为实数——从而是完备的数集。

  2. 谈及极限时,一定是形如“当 x 趋近于 a 时 y 趋近于 b”,而回避了“x 如何可能趋近于 a”的问题。部分极限(当 x 取趋近于 a 的一部分数值时 y 趋近于 b)、上极限(部分极限的最大值)和下极限(部分极限的最小值)在极限不存在时可用来刻画函数的局部特征。

  3. 不能将函数理解为其解析表达式,事实上 sin(x) 就不能算一个解析表达式。一致连续的定义:只要两个自变量之间距离足够小,则对应函数值之间的差就足够小。函数在一点处的振幅是研究间断点的有力工具。第一类间断点是左右极限都存在的点,否则为第二类。有界变差函数(在闭区间上全变差有限的数)是两个不减函数的差。

  4. 级数是分析函数的有力工具。级数和的定义:部分和作为项数 n 的函数在 n 趋于无穷大时的值。绝对收敛的定义:每项的绝对值的和(作为另一个级数)的收敛。对于条件收敛的级数,通过交换各项的次序能够得到收敛于任意数、甚至是无穷大的另一个级数。函数级数的一致收敛定义:只要 n 足够大,(无论 x 取什么值,)余项(级数的和减去部分和)就足够小。函数序列的一致收敛定义:只要 n 足够大,(无论 x 取什么值,) 就足够接近 f。幂级数的收敛半径是 的上极限的倒数。

  5. “四个导数”的定义:函数在某点的左右两侧,δy/δx 的上下极限共四个值定义为“四个导数”。四个导数都相等且有限时,函数在该点可微。微分定义为导数乘以 δx,微分和 δy 之间的差对 δx 是高阶的无穷小。微分的拉格朗日中值定理非常重要。

  6. 将积分定义为和的极限存在许多技术上的困难,更好的方法是定义所有上和的下确界为上积分,所有下和的上确界为下积分,再令两者相等。事实上,曲边梯形的“面积”、不规则几何体的“体积”等都是以积分来给出其定义的,这些问题的特点是:1)所求为一个度量;2)该度量具有分部可加性;3)在平凡情形 f=C 下该度量能定义为乘积 C(b-a)。历史地看,只有在建立了微分和积分之间关系以后,计算积分才有了有效的通用方法;而物理地看,微分给出从整体刻画到局部刻画,积分给出从局部刻画到整体刻画。积分的中值定理同样非常重要。

  7. 给定函数的幂级数展开是唯一的,但反过来多个函数可能有同样的幂级数(这是因为某个特殊函数的幂级数展开系数全为0),但幂级数的和仍然是唯一的(这是因为该特殊函数不能从其幂级数展开复原)。维尔斯特拉斯定理:在闭区间上连续的函数可以被一致收敛的多项式序列逼近。三角级数的优点:1)对原函数的要求很低(其导函数有界且可积,这不是必要条件);2)自然地处理周期函数;3)三角函数系是正交且封闭的。傅里叶系数能够从最小化平方误差的准则得出。

  8. 求解微分方程的物理意义也是从局部刻画到整体刻画。微分方程理论研究解的存在性、唯一性、其对参数的依赖性。

有趣的课题:类比于无穷级数的无穷乘积。隐函数及其在条件极值问题中的应用。采用正交系展开函数即所谓调和分析。

最后,齐民友先生推荐小平邦彦的《微积分入门》和陶哲轩的《实分析》,人民邮电出版社。