《程序员的数学: 线性代数》是让我动手制作这个系列的主要原因, 也推荐大家阅读此书.

这次我们主要做一个回顾, 再进一步将行列式的几何意义用动画展示说明. 我们说矩阵 A 可以视为一种线性变换, 所以

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上面的式子意味着求一个向量 x 在线性变换 A 后的位置与向量 v 重合. 现在看个例子, 整个空间在矩阵 A 的作用下是怎样的变化过程:

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  • 原来向量(1, 0.5)在经过变换后是(2, 1.5);
  • 水平方向变成了原来的 2 倍; 纵向变成了原来的 3 倍;
  • 原来的直线变换后依然还是直线, 平行的依然保持平行;
  • 原点没有改变(如果没有原点, 则为仿射空间)

并且注意红色的方块面积扩大了 6 倍, 这样的面积(或体积)增大倍率就是行列式(Determinant)的几何意义, 记作: det(A) 或者 |A|

再看另一个作用矩阵线性变换的动画: enter image description here

观察看到:

  • 空间发生了倾斜, 但没有扭曲;
  • 直线依然还是直线, 平行的依然保持平行;
  • A 的第一列(1.5, -1)的落脚点为(1, 0) - 像, 第二列(-0.5, 2)的落脚点为(0, 1);
  • 单位红色小方块扩大为 2.5 倍, 也就是 det(A) = 2.5

再来看这个线性变换的例子, 注意矩阵 A 中两个列向量是成比例的 - 线性相关: enter image description here

观察得到:

  • 空间被压缩成一条线;
  • 向量(1, 0.5) 在整个变换过程中完全没有发生改变(这跟特征值与特征向量有关, 我们后文书再说);
  • 面积增大倍率为 0, 也就是 det(A)=0; 这跟上一节中矩阵对角线含有 0 元素情况类似, 在这种情况下意味着不存在逆矩阵, 不过也是以后要介绍的内容了.

行列式的几何意义表示面积(体积)的增大倍率, 如在经过镜像翻转后就为负值, 上一节我们看到三维矩阵的情况, 现在看一看二维中经过镜像翻转后行列式的变化, 请注意最下变换过程中 det(A) 值从正数到负数的变化过程:

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

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