在小学的数学课本上,我们就学习过下面这条规律:

如果一个数各个位数上数字之和能被3整除,那么这个数一定能被3整除。

那么被其他比较小的整数整除呢,比如4、5、7、9、11,有没有类似的性质呢?最近翻看《Mathematics: From the Birth of Numbers》,就看见了这样的性质,其中有些十分明了:

整除性质

被2整除:如果个位数是偶数

被4整除:如果最后两位数能够被4整除(100能够整除4)

被5整除:如果个位数是5或者0

被6整除:如果该数既能够被2整除,也能够被3整除

被7整除:设该数为n位数,如果该数去掉个位后变成的新的n-1位数减去个位数的2倍能够被7整除

被8整除:如果最后三位数能够被8整除(1000能够整除8)

被9整除:如果各个位上数字之和能够被9整除

被11整除:如果奇数位数字之和减去偶数位数字之和能够被11整除。

并举了一个例子4893能否被7整除,去掉个位后变成489,减去个位数3的2倍,等于483;还是不好判定,继续这样的步骤48 - 6 = 42,这就能够判定了,可以被7整除。

试着证明了一下7,并不是很难。感觉,这里困难的不是证明一条性质,而是发现这条性质。

N的十进制表示

同余证明

ps:上图中最后一个同余式不正确,并不能够得出这两个数对模7同余的结论,只能够得出:若右边的数能够被7整除,则N能够被7整除。